프랙탈

Fractal
기타 용도는 프랙탈(동음이의)을 참조하십시오.
Cardioid 좌측 경계에 설정된 Mandelbrot
만델브로 집합: 하우스도르프 차원이 2인 프랙탈 곡선의 경계
12개의 원형으로 구성된 만델브로 세트

Mandelbrot 집합의 경계 확대

프랙탈(fractal)은 수학에서 임의의 작은 척도로 세부 구조를 포함하는 기하학적 형상으로, 보통 위상 차원을 엄격하게 초과하는 프랙탈 차원을 갖습니다.많은 프랙탈들은 만델브로 집합의 연속적인 확대에서 볼 수 있듯이 다양한 척도에서 유사하게 나타납니다.[1][2][3][4]점점 더 작은 스케일에서 유사한 패턴의 전시를 확장 대칭 또는 펼침 대칭이라고도 하는 자기 유사성이라고 합니다. 만약 이 복제가 모든 스케일에서 완전히 동일하다면, 멩거 스펀지에서와 같이 모양은 아핀 자기 유사성이라고 불립니다.[5]프랙탈 기하학은 측도 이론의 수학적 분기 안에 있습니다.

프랙탈이 유한한 기하학적 도형과 다른 한 가지 방법은 그들이 어떻게 확장되는지입니다.채워진 다각형의 모서리 길이를 두 배로 늘리면 면적에 4가 곱해지는데, 이는 2의 거듭제곱(새 변 길이와 이전 변 길이의 비율)을 2의 거듭제곱(채운 다각형의 기존 치수)으로 높이는 것입니다.마찬가지로, 채워진 구의 반지름이 두 배가 되면 부피는 8배로 확장되는데, 이는 3의 거듭제곱(채운 구의 기존 차원)에 대해 2(새로운 반지름과 이전 반지름의 비율)가 됩니다.그러나 프랙탈의 1차원 길이가 모두 두 배로 증가하는 경우 프랙탈의 공간적 내용은 반드시 정수는 아니며 일반적으로 기존 차원보다 큰 힘으로 확장됩니다.[1]이 거듭제곱을 기하학적 객체의 프랙탈 차원이라고 하며, 이를 기존 차원(형식적으로 위상 차원이라고 함)과 구별합니다.[6]

분석적으로 보면, 많은 프랙탈들은 어디에서도 구별할 수 없습니다.[1][4]무한 프랙탈 곡선은 일반적인 선과 다르게 공간을 감는 것으로 생각할 수 있습니다. – 위상학적으로 여전히 1차원이지만 프랙탈 차원은 일반적인 선보다 공간을 더 효율적으로 채우는 것을 나타냅니다.[1][6]

Sierpinski 카펫(레벨 6까지), 위상 차원이 1이고 하우스도르프 차원이 1.893인 프랙탈
선분은 고유 부분과 비슷하지만 프랙탈은 거의 없습니다.

17세기에 재귀 개념으로 시작한 프랙탈은 19세기에 베르나르 볼자노, 베른하르트 리만, 카를 바이어슈트라스의 중요한 업적에 의해 점점 엄격한 수학적 처리를 거쳐 연속적이지만 미분할 수 없는 함수에 대한 연구로 나아갔습니다.[7]그리고 프랙탈이라는 단어가 20세기에 만들어지면서 프랙탈에 대한 관심과 20세기 컴퓨터 기반 모델링에 대한 관심이 급증했습니다.[8][9]

프랙탈의 개념이 어떻게 공식적으로 정의되어야 하는지에 대해 수학자들 사이에 약간의 의견 차이가 있습니다.만델브로 자신은 이를 "아름답고, 빌어먹을, 점점 더 유용해지고 있다"고 요약했습니다.그건 프랙탈입니다."[10]1982년에 만델브로는 프랙탈을 다음과 같이 정의하였다: "프랙탈은 정의상 하우스도르프-베시코비치 차원이 위상차원을 엄격하게 초과하는 집합이다."[11] 나중에 이것이 너무 제한적이라고 보고, 그는 정의를 이것으로 단순화하여 확장하였다: "프랙탈은 거칠거나 조각난 기하학적 모양으로 i를 나눌 수 있습니다.각각의 부품은 (적어도) 전체의 축소된 크기의 복사본입니다."[1]그러나 나중에 만델브로는 "학문적 정의 없이 프랙탈을 사용하고, 프랙탈 차원을 모든 변형에 적용할 수 있는 일반적인 용어로 사용할 것"을 제안했습니다.[12]

수학자들 사이에서는 이론적 프랙탈이 무한히 자기 유사적이고 상세한 수학적 구조이며, 그 중 많은 예들이 공식화되고 연구되어 왔습니다.[1][2][3]프랙탈은 기하학적 패턴에 국한되지 않고 시간에 따라 공정을 설명할 수도 있습니다.[5][4][13][14][15][16]Fractal patterns with various degrees of self-similarity have been rendered or studied in visual, physical, and aural media[17] and found in nature,[18][19][20][21] technology,[22][23][24][25] art,[26][27] architecture[28] and law.[29]프랙탈은 대부분의 혼란스러운 과정의 기하학적 묘사에 나타나기 때문에 혼돈 이론 분야에서 특히 중요합니다.[30]

어원

프랙탈이라는 용어는 1975년 수학자 베노 î트 만델브로에 의해 만들어졌습니다.만델브로는 이를 라틴어 프락투스(fractus)에 기초하여 "파손된" 또는 "파손된"을 의미하며, 이론적 분수 차원의 개념을 자연의 기하학적 패턴으로 확장하는 데 사용했습니다.[1][32][33]

서론

단순한 프랙탈 나무
프랙탈 "트리"에서 11번 반복

프랙탈이라는 단어는 대중들이 수학적 개념보다 프랙탈 아트에 더 익숙할 가능성이 높은 수학자들과는 달리 일반 대중들에게는 다른 의미를 가지고 있는 경우가 많습니다.수학적 개념은 수학자에게도 형식적으로 정의하기 어렵지만, 핵심적인 특징은 수학적 배경을 조금만 가지고 이해할 수 있습니다.

예를 들어, "자기 유사성"의 특징은 디지털 이미지를 확대하여 이전에는 보이지 않았던 더 미세한 새로운 구조를 발견하는 렌즈 또는 다른 장치로 확대하는 것과 유사합니다.그러나 프랙탈에 대해 이 작업을 수행하면 새로운 세부 정보가 나타나지 않습니다. 아무것도 변하지 않고 동일한 패턴이 반복되거나 일부 프랙탈의 경우 거의 동일한 패턴이 반복되어 다시 나타납니다.자기 유사성 그 자체가 반드시 반직관적인 것은 아닙니다. 예를 들어, 사람들은 자기 유사성을 비공식적으로 숙고해 왔습니다. 예를 들어, 평행 거울의 무한 회귀나 호문쿨루스, 머리 속의 작은 남자의 머리 안에 있는 작은 남자와 같이 말이죠.프랙탈의 차이점은 재현된 패턴이 상세해야 한다는 것입니다.[1]: 166, 18 [2][32]

자세한 내용은 수학적 배경 없이도 이해할 수 있는 또 다른 기능과 관련이 있습니다.예를 들어 위상 차원보다 큰 프랙탈 차원을 갖는 것은 일반적으로 기하학적 형태가 인식되는 방식과 비교하여 프랙탈 규모가 어떻게 되는지를 나타냅니다.예를 들어, 직선은 일반적으로 1차원으로 이해됩니다. 만약 그러한 도형이 원래의 길이의 1/3마다 조각으로 다시 다듬어진다면, 항상 세 개의 같은 조각이 있습니다.입체 사각형은 2차원으로 이해할 수 있습니다. 이러한 도형을 두 차원에서 각각 1/3씩 축소된 조각으로 다시 다듬으면 총 3개 = 9개의 조각이 됩니다.

우리는 일반적인 자기 유사 물체의 경우 n차원이라는 것은 그것이 1/r의 스케일 팩터에 의해 축소된 조각들로 다시 타일링될 때 총n r개의 조각들이 있다는 것을 의미합니다.자, 코흐 곡선을 생각해 보세요.4개의 하위 복사본으로 재타일링할 수 있으며, 각 복사본은 1/3의 스케일 팩터로 축소됩니다.따라서 엄밀하게 유추하자면, 우리는 코흐 곡선의 "dimension"이 3 = 4를 만족하는 고유 실수 D라고 생각할 수 있습니다.이 숫자를 Koch 곡선의 프랙탈 차원이라고 합니다. 이는 일반적으로 인식되는 곡선의 차원이 아닙니다.일반적으로 프랙탈의 주요 특성은 프랙탈 차원이 기존에 이해된 차원(형식적으로 위상 차원이라고 함)과 다르다는 것입니다.

3D 컴퓨터가 생성한 프랙탈

이것은 또한 수학 방정식으로서의 프랙탈이 "미분할 수 있는 곳이 없다"는 세 번째 특징을 이해하도록 합니다.구체적인 의미에서 프랙탈은 전통적인 방법으로는 측정할 수 없다는 것을 의미합니다.[1][4][34]자세히 설명하자면, 물결 모양의 비분절 곡선의 길이를 찾으려고 할 때, 어떤 측정 도구의 직선 부분이 파도 위에 끝까지 놓여 있을 정도로 충분히 작고, 줄자로 측정하는 일반적인 방법으로 곡선에 부합하는 것으로 간주될 수 있을 정도로 조각이 작아질 수 있다는 것을 발견할 수 있습니다.그러나 Koch 눈송이와 같은 무한히 꼬불꼬불한 프랙탈 곡선을 측정할 때, 들쭉날쭉한 패턴이 임의의 작은 척도로 항상 다시 나타나기 때문에 곡선에 부합할 수 있을 만큼 충분히 작은 직선 부분은 결코 발견할 수 없을 것입니다.기본적으로 줄자를 곡선에 점점 더 팽팽하게 맞추려고 할 때마다 측정된 총 길이로 조금 더 당깁니다.결과적으로 눈송이의 둘레가 무한한 것과 같은 곡선 전체를 완벽하게 덮으려면 무한 테이프가 필요합니다.[1]

역사

Koch 눈송이는 정삼각형으로 시작하여 모든 선분의 중간 3분의 1을 정삼각형을 이루는 선분의 한 쌍으로 대체하는 프랙탈입니다.
캔터(삼차) 세트.

프랙탈의 역사는 주로 이론적 연구에서 컴퓨터 그래픽스의 현대적 응용에 이르는 과정을 추적하고 있으며, 그 과정에서 몇몇 주목할 만한 사람들이 표준 프랙탈 형식에 기여했습니다.[8][9]전통적인 아프리카 건축에서 공통적인 주제는 프랙탈 스케일링(practal scaling)의 사용인데, 이로 인해 구조물의 작은 부분들이 원형의 집으로 만들어진 원형의 마을과 같이 더 큰 부분들과 비슷하게 보이는 경향이 있습니다.[35]픽오버에 따르면 프랙탈 뒤의 수학은 17세기에 수학자이자 철학자인 고트프리트 라이프니츠가 재귀적 자기 유사성을 숙고하면서 구체화되기 시작했습니다(비록 그는 이런 의미에서 직선만 자기 유사하다고 생각하는 실수를 저질렀지만).[36]

라이프니츠는 그의 글에서 "분수 지수"라는 용어를 사용했지만, "기하학"이 아직 그것들을 알지 못했다고 한탄했습니다.[1]: 405 실제로, 다양한 역사적 설명에 따르면, 그 시점 이후에, 때때로 수학적인 "괴물"이라고 불리는 그러한 생소한 새로운 개념에 대한 저항 때문에 그 문제들을 다룬 수학자들은 거의 없었고, 그렇게 한 사람들의 업적은 주로 모호하게 남아있었습니다.[34][8][9]따라서 2세기가 지난 1872년 7월 18일 카를 바이어슈트라스는 함수의 첫 번째 정의를 오늘날 프랙탈로 간주되는 그래프로 제시했습니다. 모든 곳에서 연속적이지만 어디에서도 구별할 수 없는 직관적이지 않은 특성을 가지고 있습니다.[8]: 7 [9]

또한 합산 지수가 증가할수록 몫 차이가 임의로 커집니다.[37]그로부터 얼마 지나지 않아 1883년, 바이어슈트라스의 강의에 참석한 게오르크 칸토어는 특이한 성질을 가지고 현재 프랙탈로 인정되는 칸토어 집합으로 알려진 실제 선의 부분집합의 예를 발표했습니다.[9][8]: 11–24 또한 그 세기의 마지막 부분에 펠릭스 클라인과 앙리 푸앵카레는 "자기 역" 프랙탈이라고 불리게 된 프랙탈의 범주를 소개했습니다.[1]: 166

줄리아 세트, 만델브로 세트와 관련된 프랙탈.
시에르핀스키 개스킷은 프랙탈 트리에 의해 생성될 수 있습니다.

다음 이정표 중 하나는 1904년에 나타났는데, 푸앵카레의 아이디어를 확장하고 바이어스트라스의 추상적이고 분석적인 정의에 불만을 가진 헬게 폰 코흐는 현재 코흐 눈송이라고 불리는 유사한 함수의 손으로 그린 이미지를 포함하여 더 기하학적인 정의를 내렸습니다.[8]: 25 [9]10년 후 1915년 와츠와프 시에르피 ń스키가 그의 유명한 삼각형을 만들었을 때, 1년 후, 그의 카펫이 또 하나의 이정표가 되었습니다.1918년까지, 두 명의 프랑스 수학자 피에르 파투와 가스통 줄리아는 비록 독립적으로 연구했지만, 본질적으로 동시에 복잡한 수와 반복 함수를 매핑하는 것과 관련된 프랙탈 행동으로 보이고 끌거나 다시 끌리는 점에 대한 추가적인 생각으로 이어지는 결과에 도달했습니다.pel other points). 이는 프랙탈 연구에서 매우 중요하게 되었습니다.[4][8][9]

그 연구가 제출된 직후 1918년 3월까지 펠릭스 하우스도르프는 프랙탈 정의의 진화를 위해 "차원"의 정의를 크게 확장하여 집합이 정수가 아닌 차원을 가질 수 있도록 했습니다.[9]자기 유사 곡선에 대한 아이디어는 폴 레비(Paul Levy)가 1938년 논문 '전체와 유사한 부품으로 구성된 평면 또는 공간 곡선과 표면'에서 새로운 프랙탈 곡선인 레비 C 곡선을 설명했습니다.[notes 1]

멀티 프랙탈 스케일링을 보여주는 이상한 어트랙터
균일 질량 중심 삼각형 프랙탈
120도 재귀 IFS 2배

다른 연구자들은 현대 컴퓨터 그래픽의 도움 없이 초기 연구자들은 수동 그림으로 묘사할 수 있는 것에 한정되어 있기 때문에 아름다움을 시각화하고 그들이 발견한 많은 패턴의 의미를 이해할 수 있는 수단이 부족하다고 추측했습니다(예를 들어 줄리아 세트).매우 단순한 도면으로 몇 번의 반복 작업을 통해서만 시각화할 수 있었습니다.[1]: 179 [34][9]그러나 1960년대에 Benoit Mandelbrot가 "While Is the Coast of Britain"과 같은 논문에 자기 유사성에 대해 쓰기 시작하면서 그것은 바뀌었습니다. Lewis Fry Richardson의 초기 연구를 기반으로 구축된 [38][39]통계적 자기 유사성과 분수 차원.

1975년에 [32]만델브로는 "프랙탈"이라는 단어를 만드는 데 수백 년의 사고와 수학적 발전을 공고히 했고 놀라운 컴퓨터로 구성된 시각화로 그의 수학적 정의를 설명했습니다.그의 표준적인 만델브로 세트와 같은 이러한 이미지들은 대중적인 상상력을 사로잡았습니다; 그것들 중 많은 것들이 "프랙탈(fractal)"이라는 용어의 대중적인 의미로 이끌면서, 재귀에 기반을 두었습니다.[40][34][8][36]

1980년, 로렌 카펜터는 SIGGRAPH에서 프레젠테이션을 했는데, 그곳에서 그는 프랙털로 생성된 풍경을 생성하고 렌더링하는 소프트웨어를 소개했습니다.[41]

정의 및 특성

만델브로가 기하학적 프랙탈을 묘사하기 위해 출판한 한 가지 자주 인용되는 설명은 "부분으로 쪼개질 수 있는 거칠거나 조각난 기하학적 모양이며, 각각은 (적어도) 전체의 축소된 크기의 사본입니다";[1] 이것은 일반적으로 도움이 되지만 제한적입니다.저자들은 프랙탈의 정확한 정의에 대해 동의하지 않지만, 대부분의 경우 자기 유사성에 대한 기본적인 생각과 프랙탈이 내재된 공간과 갖는 특이한 관계에 대해 자세히 설명합니다.[1][5][2][4][42]

한 가지 합의된 점은 프랙탈 패턴이 프랙탈 차원에 의해 특징지어지는 반면, 이 숫자들은 복잡성을 정량화하는 반면, 특정 프랙탈 패턴을 구성하는 방법에 대한 고유한 설명이나 세부 사항을 명시하지 않는다는 것입니다.[43]1975년 만델브로가 "프랙탈"이라는 단어를 만들었을 때, 그는 하우스도르프-베시코비치 차원이 위상 차원보다 더 큰 물체를 나타내기 위해 그렇게 했습니다.[32]그러나 이 요구 사항은 힐베르트 곡선과 같은 공간 채우기 곡선으로는 충족되지 않습니다.[notes 2]

프랙탈에 대한 하나의 정의를 찾는 것에 관련된 문제 때문에, 일부 사람들은 프랙탈을 엄밀하게 정의하지 말아야 한다고 주장합니다.Falconer에 따르면 프랙탈은 일반적으로 다음과 같은 특징의 게스탈트로만 특징지어져야 합니다.[2]

  • 자기 유사성은 다음을 포함할 수 있습니다.
  • 정확한 자기 유사성: Koch 눈송이와 같은 모든 척도에서 동일함
  • 유사 자기 유사성: 동일한 패턴을 다른 척도로 근사화합니다. 전체 프랙탈의 작은 사본을 왜곡되고 퇴화된 형태로 포함할 수 있습니다. 예를 들어, 만델브로 집합의 위성은 전체 집합의 근사치이지만 정확한 사본은 아닙니다.
  • 통계적 자기 유사성: 확률적으로 패턴을 반복하여 수치나 통계적 측정치가 척도에 걸쳐 보존됩니다. 예를 들어,코흐 눈송이처럼 프랙탈을 정의하는 반복 단위만큼 정확하게 축척되고 반복되는 부분을 발견하기를 기대하지 않는 영국 해안선의 잘 알려진 예처럼 무작위로 생성된 프랙탈.[4]
  • 질적 자기 유사성: 시계열에서와[13] 같이
  • 멀티 프랙탈 스케일링: 둘 이상의 프랙탈 차원 또는 스케일링 규칙으로 특징지어짐
  • 임의로 작은 규모로 미세하거나 세부적인 구조.이 구조의 결과로 프랙탈은 (이 목록의 다음 기준과 관련된) 특성을[44] 가질 수 있습니다.
  • 재귀적으로 정의된 단계 시퀀스의 한계를 제외하고는 전통적인 유클리드 기하학의 언어로 쉽게 설명할 수 없는 불규칙성.프랙탈 패턴의 이미지의 경우, 이는 "면을 부드럽게 쌓다" 및 "나선을 따라 회전하다"와 같은 문구로 표현됩니다.[6] 프랙탈을 생성하는 일반적인 기술을 참조하십시오.

이러한 기준은 그룹적으로 다른 전형적인 프랙탈 특징을 갖지 않고 자가 유사할 수 있는 경우와 같은 특정 경우를 제외하기 위한 지침을 형성합니다.예를 들어, 직선은 자기 유사형이지만 세부적인 부분이 없기 때문에 프랙탈은 아니며, 유클리드 언어로 재귀의 필요 없이 쉽게 설명됩니다.[1][4]

프랙탈 생성을 위한 일반적인 기술

참고 항목:프랙탈 생성 소프트웨어

L-system 원리를[21] 이용한 silico의 자기유사 분기패턴 모델링

프랙탈의 이미지는 프랙탈 생성 프로그램에 의해 생성될 수 있습니다.나비 효과 때문에 단일 변수의 작은 변화는 예측할 수 없는 결과를 초래할 수 있습니다.

교대 링크에 대한 유한 부분 규칙에 의해 생성된 프랙탈

적용들

모의 프랙탈

프랙탈 패턴은 물리적인 시간과 공간의 현실적인 한계 때문에 무한한 범위가 아닌 범위 내에서 광범위하게 모델링되었습니다.모형은 이론적 프랙탈 또는 프랙탈 특징을 가진 자연 현상을 시뮬레이션할 수 있습니다.모델링 프로세스의 출력은 매우 예술적인 렌더링, 조사를 위한 출력 또는 프랙탈 분석을 위한 벤치마크일 수 있습니다.기술에 대한 프랙탈의 몇 가지 구체적인 적용 사례는 다른 곳에 나열되어 있습니다.영상 및 모델링의 다른 출력은 일반적으로 프랙탈 특성이 전혀 나타나지 않는 프랙탈 영상의 영역을 확대하는 것이 가능한 경우와 같이 엄격하게 프랙탈 특성을 갖지 않더라도 "프랙탈"로 지칭됩니다.여기에는 참 프랙탈의 특성이 아닌 계산 또는 표시 아티팩트가 포함될 수도 있습니다.

모델링된 프랙탈은 소리,[17] 디지털 이미지, 전기화학적 패턴, 일주기 리듬 [50]등일 수 있습니다.프랙탈 패턴은 물리적인 3차원 공간에서[24]: 10 재구성되었고 사실상 종종 "실리코" 모델링이라고 불립니다.[47]프랙탈 모델은 일반적으로 위에서 설명한 것과 같은 기술을 구현하는 프랙탈 생성 소프트웨어를 사용하여 생성됩니다.[4][13][24]예를 들어, 나무, 양치식물, 신경계의 세포,[21] 혈액 및 폐 혈관,[47] 그리고 자연의 다른 가지 패턴은 재귀적 알고리즘과 L-시스템 기술을 사용하여 컴퓨터에서 모델링될 수 있습니다.[21]

일부 패턴의 재귀적 특성은 어떤 예에서 명확합니다. 나무의 가지 또는 양치식물의 가지는 전체의 축소 모형입니다. 동일하지는 않지만 본질적으로 유사합니다.마찬가지로, 랜덤 프랙탈은 매우 불규칙적인 실제 물체를 묘사/생성하는 데 사용되었습니다.프랙탈 모델링의 한계는 프랙탈 모델이 자연 현상과 유사하다는 것은 모델링되는 현상이 모델링 알고리즘과 유사한 프로세스에 의해 형성된다는 것을 증명하지 않는다는 것입니다.

프랙탈 특징을 가진 자연현상

상세정보 : 자연의 패턴

자연에서 발견되는 근사 프랙탈은 확장되었지만 유한한 스케일 범위에 걸쳐 자기 유사성을 나타냅니다.예를 들어, 프랙탈과 잎 사이의 관계는 현재 나무에 포함된 탄소의 양을 측정하기 위해 사용되고 있습니다.[51]프랙탈 특징을 가진 것으로 알려진 현상은 다음과 같습니다.

세포생물학의 프랙탈

프랙탈은 종종 분기 과정과 다른 복잡한 패턴 형성을 통해 발생하는 살아있는 유기체의 영역에서 나타납니다.Ian Wong과 동료들은 이주하는 세포들이 군집과 가지를 이루면서 프랙탈을 형성할 수 있다는 것을 보여주었습니다.[71]신경세포는 표면 대 부피비를 크게 증가시킴으로써 향상되는 현상과 함께 세포 표면에서의 과정을 통해 기능합니다.결과적으로 신경세포는 종종 프랙탈 패턴으로 형성되는 것으로 발견됩니다.[72]이러한 과정들은 세포 생리학과 다양한 병리학에서 매우 중요합니다.[73]

다수의 세포하 구조는 또한 프랙탈로 조립되는 것으로 발견됩니다.Diego Krapf는 분기 과정을 통해 인간 세포의 액틴 필라멘트가 프랙탈 패턴으로 조립된다는 것을 보여주었습니다.[58]마찬가지로 마티아스 바이스는 소포체가 프랙탈 특징을 나타낸다는 것을 보여주었습니다.[74]현재 이해되고 있는 것은 프랙탈이 단백질, 소기관, 세포 전체에 이르기까지 세포생물학에서 어디에나 존재한다는 것입니다.

창조적인 작품에서.

자세한 정보:프랙탈 미술과 수학과 미술

1999년부터 수많은 과학 단체들이 수평 캔버스에 직접 페인트를 붓는 방식으로 Jackson Pollock에 의해 만들어진 50개가 넘는 그림들에 대해 프랙탈 분석을 해왔습니다.[75][76]

최근에는 프랙탈 분석을 사용하여 실물과 모조 폴락을 구별하는 데 93%의 성공률을 달성했습니다.[78]인지신경과학자들은 폴락의 프랙탈이 컴퓨터로 생성된 프랙탈과 자연의 프랙탈과 같은 스트레스 감소를 관찰자들에게 유발한다는 것을 보여주었습니다.[79]

막스 에른스트(Max Ernst)와 같은 예술가들이 사용하는 기술인 데칼코마니아(Decalcomania)는 프랙탈과 같은 패턴을 만들 수 있습니다.[80]그것은 두 표면 사이에 페인트를 누르고 그것들을 분리시키는 것을 포함합니다.

사이버네틱스 학자 론 에글래쉬는 프랙탈 기하학과 수학이 아프리카 예술, 게임, 점술, 무역, 건축에 널리 퍼져 있다고 제안했습니다.원형 주택은 원을 그리며 나타나고, 직사각형 주택은 직사각형을 그리며 나타납니다.이러한 스케일링 패턴은 아프리카의 직물, 조각, 그리고 심지어는 옥수수 머리 스타일에서도 찾아볼 수 있습니다.[27][81]호키 시퉁키르 또한 인도네시아의 전통 예술, 바틱, 전통 가옥에서 볼 수 있는 장식품과 비슷한 특성을 제안했습니다.[82][83]

민족수학자 론 에글래시(Ron Eglash)는 프랙탈을 기초로 베냉 도시의 계획된 배치를 도시 자체와 마을뿐만 아니라 집의 방에서도 논의했습니다.그는 "유럽인들이 아프리카에 처음 왔을 때, 그들은 그 건축물이 매우 체계적이지 않고 따라서 원시적이라고 생각했습니다.그들은 아프리카인들이 아직 발견하지도 못한 수학의 형태를 사용하고 있었는지도 모른다는 생각을 전혀 하지 못했습니다."[84]

1996년 마이클 실버블랫과의 인터뷰에서 데이비드 포스터 월리스는 그가 편집자 마이클 피에트쉬에게 준 무한 제스트 초안의 구조가 프랙탈, 특히 시에르핀스키 삼각형에서 영감을 받았다고 인정했습니다.시에르핀스키 개스킷), 그러나 편집된 소설은 "편향된 시에르핀스키 개스킷에 더 가깝다".[26]

Circle Limit III와 같은 네덜란드 예술가 M. C. Esher의 일부 작품은 가장자리에 가까워질수록 점점 작아지는 무한대로 반복되는 모양을 포함하고 있으며 확대하면 항상 동일하게 보이는 패턴입니다.

프랙탈 기반 디자인의 미학과 심리적 효과:[85]자연에서 매우 널리 퍼져있는 프랙탈 패턴은 다양한 크기 척도로 반복되는 자기 유사 구성 요소를 가지고 있습니다.이러한 자연 패턴을 포함하면 인간이 만든 환경의 지각적 경험에 영향을 줄 수 있습니다.이전 연구에서는 프랙탈 패턴에 대한 선호도 및 복잡성 추정치의 일관된 추세를 보여주었습니다.그러나 다른 시각적 판단의 영향에 대해서는 제한적인 정보가 수집되었습니다.여기서는 인간이 만든 공간에 이미 설치된 프랙탈 '지구-숲' 디자인의 심미적, 지각적 경험을 살펴보고 프랙탈 패턴 구성요소가 거주자의 안녕을 증진시키기 위해 사용될 수 있는 긍정적인 심리적 경험과 어떻게 관련되는지 보여줍니다.이 디자인들은 '글로벌 프랙탈 숲'을 만들기 위해 결합된 개별 프랙탈 '나무 씨앗'으로 구성된 복합 프랙탈 패턴입니다.로컬 '나무씨앗' 패턴, 나무씨앗 위치의 글로벌 구성 및 전체적으로 생성된 '글로벌-숲' 패턴은 프랙탈 특성을 갖습니다.이러한 설계는 여러 매체에 걸쳐 있지만, 공간의 기능과 전체적인 설계를 손상시키지 않으면서 탑승자의 스트레스를 줄이기 위한 것입니다.이 일련의 연구에서는 먼저 다양한 시각적 속성 간의 상이한 관계를 설정하고, 패턴 복잡성, 선호도 및 참여 등급은 동일하거나 복잡성에 따라 감소하는 재충전 및 이완 등급에 비해 프랙탈 복잡성에 따라 증가합니다.이어서, 지역 구성 프랙탈('나무 씨앗') 패턴이 전체 프랙탈 디자인의 인식에 기여한다고 판단하고 프랙탈 디자인 설치에서 미적, 심리적 효과(예: 인지된 참여 및 이완의 개별 경험)의 균형을 맞추는 방법을 다루었습니다.이 일련의 연구는 프랙탈 선호도가 증가된 각성(참여 및 복잡성에 대한 욕구)과 감소된 긴장(완화 또는 재충전에 대한 욕구) 사이의 균형에 의해 주도된다는 것을 보여줍니다.'나무 씨앗' 구성 요소로 구성된 이러한 복합 중고 복잡성 '지구-숲' 패턴의 설치는 이러한 대조적인 요구 사이의 균형을 유지하며, 사용자의 안녕을 증진시키기 위해 인간이 만든 환경에서 생물 친화적 패턴의 실용적인 구현 역할을 할 수 있습니다.

  • A fractal that models the surface of a mountain (animation)

    산의 표면을 본뜬 프랙탈(애니메이션)

  • 3D recursive image

    3차원 재귀적 이미지

  • Recursive fractal butterfly image

    재귀적 프랙탈 나비 영상

  • A fractal flame

    프랙탈 불꽃

생리적 반응

인간은 특히 D 값이 1.3에서 1.5 사이인 프랙탈 패턴 처리에 잘 적응하는 것으로 보입니다.[86]인간이 D 값이 1.3에서 1.5 사이인 프랙탈 패턴을 볼 때, 이것은 생리적 스트레스를 감소시키는 경향이 있습니다.[87][88]

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메모들

  1. ^ 원래 논문은.Lévy, Paul (1938). "Les Courbes planes ou gauches et les surfaces composées de parties semblables au tout". Journal de l'École Polytechnique: 227–247, 249–291.에드가(Edgar) 181-239쪽으로 Lévy, Paul (1938). "Les Courbes planes ou gauches et les surfaces composées de parties semblables au tout". Journal de l'École Polytechnique: 227–247, 249–291.번역되어 있습니다.
  2. ^ 힐베르트 곡선 지도는 동형이 아니므로 위상 차원을 보존하지 않습니다.R에서2 힐베르트 지도의 이미지의 위상 차원과 하우스도르프 차원은 모두 2입니다.그러나 힐베르트 지도의 그래프(R의 집합3)의 위상 차원은 1입니다.

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