„De Morgan-azonosságok” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
a képlinkek javítása, magyarítása |
|||
1. sor: | 1. sor: | ||
[[Kép:DeMorgan Logic Circuit diagram DIN.svg| |
[[Kép:DeMorgan Logic Circuit diagram DIN.svg|bélyegkép|A de Morgan-féle azonosságok [[logikai kapu]]kkal ábrázolva]] |
||
A '''de Morgan-azonosságok''' a [[matematikai logika]], illetve a [[halmazelmélet]] két alapvető tételét fogalmazzák meg. Az azonosságok [[Augustus De Morgan|Augustus de Morgan]] angol matematikusról kapták a nevüket, jóllehet [[Wilhelm von Ockham]] már a középkorban felismerte őket. Ezek az azonosságok minden [[Boole-algebra|Boole-algebrában]] érvényesek. |
A '''de Morgan-azonosságok''' a [[matematikai logika]], illetve a [[halmazelmélet]] két alapvető tételét fogalmazzák meg. Az azonosságok [[Augustus De Morgan|Augustus de Morgan]] angol matematikusról kapták a nevüket, jóllehet [[Wilhelm von Ockham]] már a középkorban felismerte őket. Ezek az azonosságok minden [[Boole-algebra|Boole-algebrában]] érvényesek. |
||
A lap 2008. október 30., 13:07-kori változata
A de Morgan-azonosságok a matematikai logika, illetve a halmazelmélet két alapvető tételét fogalmazzák meg. Az azonosságok Augustus de Morgan angol matematikusról kapták a nevüket, jóllehet Wilhelm von Ockham már a középkorban felismerte őket. Ezek az azonosságok minden Boole-algebrában érvényesek.
Azonosságok
A de Morgan-azonosságokat logikailag a következőképpen fejezhetjük ki:
A de Morgan-féle azonosságok felírására a matematikában számos különböző jelölés használatos. Az ítéletkalkulus formuláival például
- vagy
A halmazelméletben ezen formulák megfelelői a következők:
ahol A az A komplementerhalmaza, jelöli két halmaz metszetét és jelöli két halmaz egyesítését.
Ezek az azonosságok tetszőleges sok elemre is érvényben maradnak, beleértve a véges, megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálható I indexhalmazok esetét is:
- és .
Következmények
Egy konjunkció (ÉS-kapcsolat) a de Morgan-azonosságok segítségével átalakítható három negáció és egy diszjunkció (VAGY-kapcsolat) kompozíciójára a következőképpen:
Hasonlóképpen egy diszjunkció átalakítható három negáció és egy konjunkció kompozíciójára:
Alkalmazás
A de Morgan-azonosságok fontos alkalmazási területe a diszkrét matematika, az elektrotechnika, a fizika és az informatika. Gyakran használják őket a digitális áramkörök fejlesztésében az alkalmazott logikai kapuk típusának egymással való felcserélésére, illetve a használt kapuk számának a csökkentésére.