Tam tikrai loginei funkcijai f dualioji funkcija yra tokia funkcija f*, kad kiekvienam parametrų rinkiniui galioja lygybė
.
Pavyzdžiui, Būlio algebros funkcijai IR dualioji funkcija yra ARBA, nes
[1]
Formuluotė: Jei
, tai
Įrodymas:
. Remėmės prielaida, kad
, o tai teisinga, nes su bet kokias argumentais f ir g reikšmės sutampa.
Išvada:
tada ir tik tada, kai
- (f*)* =f
- lengva įsitikinti…
- Dualumo dėsnis
- Įrodymas ankstesnioje pastraipoje
- Jei
, tai ![{\displaystyle f*(x_{1},...,x_{n})=g*(f_{1}*(x_{11},...,x_{1n}),...,f_{n}*(x_{n1},...,x_{nn}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be93ed56aa7fcf3be20d7f4472a9693dce16838d)
![{\displaystyle =g*(f_{1}*(x_{11},...,x_{1n}),...,f_{n}*(x_{n1},...,x_{nn})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1c225b95d7ea66271eb3fe060e12bedd15b8b9)
Apibrėžimas:
Teorema: Jei
, tai pakeitę joje kai kuriuos kintamuosius į x ir
galime gauti funkciją - konstantą
,
Pavyzdys:
Įrodymas: Jei
, tai atsiras toks
reikšmių rinkinys, kad
. Pažymėkime visus a kaip
, kas ai=1 reikštų x, o ai =0 –
ir apibrėžkime
. Tada
. Matome, jog
funkcija nepriklauso nuo x, todėl ji yra konstanta
- Aibė S yra uždara
- Tarkime, kad
,
. Tada pagal 3 dualių funkcijų savybę ir autodualių funkcijų apibrėžimą:
. Autoduali funkcija g egzistuos tada ir tik tada kai, f ir fi funkcijos bus autodualios, todėl ši aibė yra uždara
- Richard Lassaigne, Michel de Rougemont „Logika ir Informatikos pagrindai“. vert. Stanislovas Norgėla. 1996 Leidykla „Žodynas“