Deddfau De Morgan
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Demorganlaws.svg/220px-Demorganlaws.svg.png)
Mewn rhesymeg osodiadol ac algebra Boole, mae deddfau De Morgan[1][2] yn bâr o reolau trawsnewidiad dilys. Fe'u henwir ar ôl Augustus De Morgan, mathemategydd Prydeinig o'r 19eg ganrif. Mae'r rheolau yn caniatáu mynegi uniadau a chroestoriadau yn nhermau ei gilydd trwy eu cyflenwad.
Gellir mynegi'r rheolau yn Gymraeg fel:
- mae cyflenwad uniad dwy set yr yn hafal i groestoriad eu cyflenwadau; a
- mae cyflenwad croestoriad dwy set yn hafal i uniad eu cyflenwadau.
neu
- nid (A neu B) = nid A ac nid B; a
- nid (A a B) = nid A neu beidio B.
Mewn damcaniaeth setiau ac algebra Boole, ysgrifennir y rhain yn ffurfiol fel
lle
- Setiau yw A a B,
- A yw cyflenwad A,
- ∩ yw'r croestoriad, ac
- ∪ yw'r uniad.
Hanes
[golygu | golygu cod]Enwir y deddfau ar ôl Augustus De Morgan (1806-1871),[3] a gyflwynodd fersiwn ffurfiol o'r deddfau hyn mewn rhesymeg osodiadol glasurol. Cafodd ffurfiad De Morgan ei ddylanwadu gan waith George Boole a chymhwysodd algebra i resymeg. Serch hynny, gwnaeth Aristoteles sylw tebyg, ac roedd yn hysbys i logistegwyr Groegaidd a Chanoloesol.[4] Er enghraifft, yn y 14g, ysgrifennodd William o Ockham y deddfau mewn geiriau.[5] Gwnaeth Jean Buridan, yn ei Summulae de Dialectica, hefyd disgrifio rheolau tebyg i ddeddfau De Morgan.[6] Ond rhoddir clod i De Morgan am nodi’r deddfau yn nhermau rhesymeg ffurfiol fodern, a’u hymgorffori yn iaith rhesymeg. Gellir profi deddfau De Morgan yn hawdd, a gallant hyd yn oed ymddangos yn ddibwys.[7] Serch hynny, mae'r deddfau hyn yn ddefnyddiol wrth wneud casgliadau dilys mewn profion a dadleuon diddwythol.
Prawf ffurfiol
[golygu | golygu cod]Fan hyn defnyddiwn i ddynodi cyflenwad A. Mae'r prawf bod yn cael ei gwblhau mewn dau gam trwy brofi bod a bod .
Rhan 1
[golygu | golygu cod]Gadewch i . Yna, .
Oherwydd bod , rhaid ei fod yn wir fod neu .
Os yw , yna mae , felly mae .
Yn yr un modd, os yw , yna mae , felly mae .
Felly, ;
hynny yw, .
Rhan 2
[golygu | golygu cod]I brofi'r cyfeiriad gwrthwyneb, gadewch i , ac er mwyn cael gwrthddywediad tybiwch fod .
O dan y dybiaeth honno, rhaid ei bod yn wir fod ,
felly mae'n dilyn bod ac , ac felly bod a.
Fodd bynnag, mae hynny'n golygu bod , yn groes i'r rhagdybiaeth bod ,
felly, ni all y dybiaeth fod yn wir, sy'n golygu bod .
Felly, ,
hynny yw, .
Casgliad
[golygu | golygu cod]Os yw ac , yna mae ; mae hyn yn cyflawni prawf deddf De Morgan.
Gallwn brofi'r ddeddf De Morgan arall, , yn yr un modd.
Cyfeiriadau
[golygu | golygu cod]- ↑ Copi, Irving M. (1994). Introduction to logic. Cohen, Carl, 1931- (arg. 9th ed). New York: Macmillan Pub. ISBN 0-02-325041-0. OCLC 27266936.CS1 maint: extra text (link)
- ↑ Hurley, Patrick J., 1942-. A concise introduction to logic (arg. Twelfth edition). Australia. ISBN 978-1-285-19654-1. OCLC 868318644.CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: extra text (link)
- ↑ DeMorgan’s Theorems Archifwyd 2008-03-23 yn y Peiriant Wayback at mtsu.edu
- ↑ BOCHE SKI, I. M. (2015). History of formal logic (classic reprint). FORGOTTEN Books. ISBN 1-330-37650-1. OCLC 983489835.
- ↑ William of Ockham, Summa Logicae, part II, sections 32 and 33.
- ↑ Jean Buridan, Summula de Dialectica. Trans. Gyula Klima. New Haven: Yale University Press, 2001. See especially Treatise 1, Chapter 7, Section 5. ISBN 0-300-08425-0
- ↑ Augustus De Morgan (1806–1871) Archifwyd 2010-07-15 yn y Peiriant Wayback gan Robert H. Orr