„De Morgan-azonosságok” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
jav |
aNincs szerkesztési összefoglaló |
||
| (9 közbenső módosítás, amit 6 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva) | |||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
[[Fájl:DeMorgan Logic Circuit diagram DIN.svg|bélyegkép|A de Morgan-féle azonosságok [[logikai kapu]]kkal ábrázolva]] |
[[Fájl:DeMorgan Logic Circuit diagram DIN.svg|bélyegkép|A de Morgan-féle azonosságok [[logikai kapu]]kkal ábrázolva]] |
||
A ''' |
A '''De Morgan-azonosságok''' a [[matematikai logika]], illetve a [[halmazelmélet]] két alapvető tételét fogalmazzák meg. Az azonosságok [[Augustus De Morgan]] angol matematikusról kapták a nevüket, jóllehet [[William Ockham]] már a középkorban felismerte őket. Ezek az azonosságok minden [[Boole-algebra (informatika)|Boole-algebrában]] érvényesek. |
||
== Azonosságok == |
== Azonosságok == |
||
A |
A De Morgan-azonosságokat logikailag a következőképpen fejezhetjük ki: |
||
:[[Negáció|nem]] (a [[Konjunkció|és]] b) = (nem a) [[Diszjunkció|vagy]] (nem b) |
:[[Negáció|nem]] (a [[Konjunkció|és]] b) = (nem a) [[Diszjunkció|vagy]] (nem b) |
||
:nem (a vagy b) = (nem a) és (nem b) |
:nem (a vagy b) = (nem a) és (nem b) |
||
A |
A De Morgan-azonosságok felírására a matematikában számos különböző jelölés használatos. Az [[ítéletkalkulus]] formuláival például |
||
:<math>\begin{matrix} |
:<math>\begin{matrix} |
||
| 23. sor: | 23. sor: | ||
:<math>\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}</math> |
:<math>\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}</math> |
||
ahol ''<font style="text-decoration:overline">A</font>'' az ''A'' [[ |
ahol ''<font style="text-decoration:overline">A</font>'' az ''A'' [[Halmaz (matematika)#Komplementer halmaz|komplementerhalmaza]], <math>\cap</math> jelöli két [[Halmaz (matematika)|halmaz]] [[metszet (halmazelmélet)|metszetét]] és <math>\cup</math> jelöli két halmaz [[unió (halmazelmélet)|unióját]]. |
||
Ezek az azonosságok tetszőleges sok elemre is érvényben maradnak, beleértve a [[számosság#Véges halmaz|véges]], [[megszámlálhatóan végtelen]] és nem megszámlálható ''I'' indexhalmazok esetét is: |
Ezek az azonosságok tetszőleges sok elemre is érvényben maradnak, beleértve a [[számosság#Véges halmaz|véges]], [[megszámlálhatóan végtelen]] és nem megszámlálható ''I'' indexhalmazok esetét is: |
||
| 31. sor: | 31. sor: | ||
== Következmények == |
== Következmények == |
||
Egy [[konjunkció]] (ÉS-kapcsolat) a |
Egy [[konjunkció]] (ÉS-kapcsolat) a De Morgan-azonosságok segítségével átalakítható három [[negáció]] és egy [[diszjunkció]] (VAGY-kapcsolat) kompozíciójára a következőképpen: |
||
:<math>a \wedge b = \neg(\neg{a} \vee \neg{b})</math> |
:<math>a \wedge b = \neg(\neg{a} \vee \neg{b})</math> |
||
| 40. sor: | 40. sor: | ||
== Alkalmazás == |
== Alkalmazás == |
||
A |
A De Morgan-azonosságok fontos alkalmazási területe a [[diszkrét matematika]], az [[elektronika]], a [[fizika]] és az [[informatika]]. Gyakran használják őket a digitális áramkörök fejlesztésében az alkalmazott [[logikai kapu]]k típusának egymással való felcserélésére, illetve a használt kapuk számának a csökkentésére. |
||
<!-- |
<!-- |
||
== Beispiel in der Mengenlehre == |
== Beispiel in der Mengenlehre == |
||
Es soll anhand der Beziehung |
Es soll anhand der Beziehung |
||
: <math> \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} </math> |
: <math> \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} </math> |
||
die Gültigkeit der De Morganschen Regeln illustriert werden. |
die Gültigkeit der De Morganschen Regeln illustriert werden. |
||
Es sind zwei Mengen A und B gegeben, die Teilmengen einer Obermenge Ω sind. Die Grafik 1 zeigt die Lage der Mengen und ihrer Gegenmengen <font style="text-decoration:overline">A</font> und <font style="text-decoration:overline">B</font>. |
Es sind zwei Mengen A und B gegeben, die Teilmengen einer Obermenge Ω sind. Die Grafik 1 zeigt die Lage der Mengen und ihrer Gegenmengen <font style="text-decoration:overline">A</font> und <font style="text-decoration:overline">B</font>. |
||
In der Grafik 2 wird gezeigt, wie <math>\overline{A} \cup \overline{B}</math> gebildet wird. In der Grafik 3 wird das Komplement zu <math>A \cap B</math> dargestellt und man sieht, dass beide Mengen gleich sind. |
In der Grafik 2 wird gezeigt, wie <math>\overline{A} \cup \overline{B}</math> gebildet wird. In der Grafik 3 wird das Komplement zu <math>A \cap B</math> dargestellt und man sieht, dass beide Mengen gleich sind. |
||
| 63. sor: | 63. sor: | ||
<br style="clear: left"/> |
<br style="clear: left"/> |
||
* Eine Interpretation wäre: |
* Eine Interpretation wäre: |
||
In einer Abnahmeprüfung werden hochwertige Kochmesser überprüft, ob die Schneide fehlerfrei ist (Menge A) und ob die Schneide ordnungsgemäß im Griff verankert ist (Menge B). Ein Messer wird nicht angenommen, wenn es zur Menge <font style="text-decoration:overline">A</font> oder zur Menge <font style="text-decoration:overline">B</font> oder zu beiden gehört, also wenn mindestens eine Beanstandung vorliegt: <math>\overline{A} \cup \overline{B}</math>. Das Messer wird angenommen, wenn es beide Anforderungen erfüllt, wenn es also zur Menge <math>A \cap B</math> gehört, das heißt, es wird nicht angenommen, wenn es zu <math>\overline{A \cap B}</math> gehört. |
In einer Abnahmeprüfung werden hochwertige Kochmesser überprüft, ob die Schneide fehlerfrei ist (Menge A) und ob die Schneide ordnungsgemäß im Griff verankert ist (Menge B). Ein Messer wird nicht angenommen, wenn es zur Menge <font style="text-decoration:overline">A</font> oder zur Menge <font style="text-decoration:overline">B</font> oder zu beiden gehört, also wenn mindestens eine Beanstandung vorliegt: <math>\overline{A} \cup \overline{B}</math>. Das Messer wird angenommen, wenn es beide Anforderungen erfüllt, wenn es also zur Menge <math>A \cap B</math> gehört, das heißt, es wird nicht angenommen, wenn es zu <math>\overline{A \cap B}</math> gehört. |
||
--> |
--> |
||
== |
== Források == |
||
*[http://mathworld.wolfram.com/deMorgansLaws.html De Morgan-azonosságok a MathWorld-ön] {{en}} |
|||
| ⚫ | |||
*[http://planetmath.org/DeMorgansLaws De Morgan-azonosságok a PlanetMath-en] {{en}} |
|||
| ⚫ | |||
{{Portál|Matematika}} |
|||
[[Kategória:Halmazalgebra]] |
[[Kategória:Halmazalgebra]] |
||
A lap jelenlegi, 2023. november 13., 23:02-kori változata
A De Morgan-azonosságok a matematikai logika, illetve a halmazelmélet két alapvető tételét fogalmazzák meg. Az azonosságok Augustus De Morgan angol matematikusról kapták a nevüket, jóllehet William Ockham már a középkorban felismerte őket. Ezek az azonosságok minden Boole-algebrában érvényesek.
Azonosságok
[szerkesztés]A De Morgan-azonosságokat logikailag a következőképpen fejezhetjük ki:
A De Morgan-azonosságok felírására a matematikában számos különböző jelölés használatos. Az ítéletkalkulus formuláival például
- vagy
A halmazelméletben ezen formulák megfelelői a következők:
ahol A az A komplementerhalmaza, jelöli két halmaz metszetét és jelöli két halmaz unióját.
Ezek az azonosságok tetszőleges sok elemre is érvényben maradnak, beleértve a véges, megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálható I indexhalmazok esetét is:
- és .
Következmények
[szerkesztés]Egy konjunkció (ÉS-kapcsolat) a De Morgan-azonosságok segítségével átalakítható három negáció és egy diszjunkció (VAGY-kapcsolat) kompozíciójára a következőképpen:
Hasonlóképpen egy diszjunkció átalakítható három negáció és egy konjunkció kompozíciójára:
Alkalmazás
[szerkesztés]A De Morgan-azonosságok fontos alkalmazási területe a diszkrét matematika, az elektronika, a fizika és az informatika. Gyakran használják őket a digitális áramkörök fejlesztésében az alkalmazott logikai kapuk típusának egymással való felcserélésére, illetve a használt kapuk számának a csökkentésére.
Források
[szerkesztés]- De Morgan-azonosságok a MathWorld-ön (angolul)
- De Morgan-azonosságok a PlanetMath-en (angolul)
- Halmazelméleti bizonyítás tetszőleges indexhalmazra (angolul)
