כללי דה מורגן

כללי דה מורגן, הקרויים על-שמו של המתמטיקאי והלוגיקן בן המאה ה-19, אוגוסטוס דה מורגן, הם שני כללים בלוגיקה, בתורת הקבוצות ובאלגברה בוליאנית (בפרט, לוגיקה בוליאנית), הקושרים את הפעולות הבסיסיות בתחומים אלה.

• לוגיקה: הכללים קושרים את הפעולות "או", "גם", "לא". באופן מילולי בכתיב לא פורמלי, קובעים הכללים כי השלילה של קיום א' וגם קיום ב', היא אי קיום א' או אי קיום ב'; וכן כי השלילה של קיום א' או קיום ב', היא אי קיום א' וגם אי קיום ב'.

בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

$\neg (P\wedge Q)=(\neg P)\vee (\neg Q)$

$\neg (P\vee Q)=(\neg P)\wedge (\neg Q)$

הדגמה של אחד הכללים בעזרת דיאגרמת ון. שתי התמונות העליונות הן המשלימים של הקבוצות המיוצגות על ידי המעגלים. התמונה התחתונה מייצגת את החיתוך שלהן- השטח המשותף לשתיהן, שהוא המשלים של האיחוד שלהן.

• תורת הקבוצות: הכללים קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

$(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$

$(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$

ובאופן כללי: $\ \left(\bigcup _{}A_{i}\right)^{C}=\bigcap _{}A_{i}^{C}$, ו-$\ \left(\bigcap _{}A_{i}\right)^{C}=\bigcup _{}A_{i}^{C}$

• אלגברה בוליאנית: הכללים קושרים את הפעולות "חיבור", "כפל", "שלילה".

בהתאם להגדרת השלילה, הביטוי '(P+Q) הוא שלילת הביטוי (P+Q), ועל כן יקבל ערך אמת רק אם P+Q הוא בעל ערך 0, כלומר ערך שקרי. כללי דה מורגן קובעים כי שלילת P+Q זהה למכפלת שלילת P בשלילת Q, ואילו שלילת P*Q זהה לחיבור שלילת P עם שלילת Q. בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

$(P+Q)^{\prime }=P'\cdot Q'$

$\!\,(P\cdot Q)'=P'+Q'$

או כך:

${\overline {p+q}}={\bar {p}}\cdot {\bar {q}}$

${\overline {p\cdot q}}={\bar {p}}+{\bar {q}}$

למעשה, ההבדל בין הגרסאות השונות לניסוח הכלל אשר הוצגו לעיל הוא בסימון בלבד.

שימוש בכללי דה מורגן

לכללים אלה מספר שימושים, ביניהם:

1. פישוט של ביטויים מתחומי הלוגיקה והמתמטיקה המתואים לעיל.
2. פישוט התניות בעת כתיבת תוכניות מחשב.
3. שימוש באלקטרוניקה ספרתית (בה במקרים רבים נעשה שימוש בשתי רמות מתח בלבד) לצורכי פישוט תכנונם של מעגלים חשמליים, למשל, כאלה העושים שימוש בשערים לוגיים.
4. ניתן לעשות שימוש בכללים אלה לצורך ייצוג של ביטויים על ידי שימוש בסוג אחד בלבד של פעולות, למשל פעולות NAND. להרחבה ראו הערך NAND לוגי.

הוכחה

ההוכחה של כללי דה-מורגן מתבצעת באינדוקציה שלמה. כלומר, הצבה של כל הצירופים האפשריים בכל אחד מהפסוקים, נותנת ערכים שווים. כך, אם נציב ערכי אמת ב-P וב-Q, אזי הביטוי (P+Q) יקבל את הערך "אמת" והביטוי '(P+Q), ערכו יהי שקר, כמו גם ערכו של 'p'*q. לאחר הצבת כל הצירופים האפשריים של P ו-Q מתקבל, למעשה, הכלל.

הכלל בנוגע לתורת הקבוצות, ניתן להוכחה על נקלה בעזרת הכללים הנ"ל, זאת, בהינתן ההגדרות של חיתוך, איחוד ומשלים של קבוצה. ההוכחה היא כדלהלן:

$a\in (A\cap B)^{C}$

$\iff a\not \in (A\cap B)$

$\iff \neg (a\in (A\cap B))$

$\iff \neg (a\in A\wedge a\in B)$

$\iff (a\not \in A)\vee (a\not \in B)$

$\iff a\in A^{C}\vee a\in B^{C}$

$\iff a\in A^{C}\cup B^{C}$

ובצורה דומה מוכח גם המשפט השני.