כללי דה מורגן – הבדלי גרסאות
מ בוט מסיר: de:De Morgan’sche Gesetze (strong connection between (2) he:כללי דה מורגן and de:De Morgansche Gesetze) |
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q173300 |
||
שורה 73: | שורה 73: | ||
[[קטגוריה:לוגיקה בוליאנית]] |
[[קטגוריה:לוגיקה בוליאנית]] |
||
[[קטגוריה:משפטים בתורת הקבוצות|דה מורגן]] |
[[קטגוריה:משפטים בתורת הקבוצות|דה מורגן]] |
||
[[en:De Morgan's laws]] |
|||
[[ar:قوانين دي مورجان]] |
|||
[[ca:Lleis de De Morgan]] |
|||
[[cs:De Morganovy zákony]] |
|||
[[da:De Morgans love]] |
|||
[[es:Leyes de De Morgan]] |
|||
[[fi:De Morganin lait]] |
|||
[[fr:Lois de De Morgan]] |
|||
[[hu:De Morgan-azonosságok]] |
|||
[[is:De Morgan-reglan]] |
|||
[[it:Teoremi di De Morgan]] |
|||
[[ja:ド・モルガンの法則]] |
|||
[[ko:드 모르간의 법칙]] |
|||
[[la:Leges De Morgan]] |
|||
[[lt:Dualioji funkcija]] |
|||
[[lv:De Morgana likumi]] |
|||
[[nl:Wetten van De Morgan]] |
|||
[[pl:Prawa De Morgana]] |
|||
[[pt:Teoremas de De Morgan]] |
|||
[[ru:Законы де Моргана]] |
|||
[[simple:De Morgan's laws]] |
|||
[[sk:De Morganove zákony]] |
|||
[[sv:De Morgans lagar]] |
|||
[[ta:த மோர்கனின் விதி]] |
|||
[[th:กฎเดอมอร์แกน]] |
|||
[[tr:De Morgan yasası]] |
|||
[[uk:Правила де Моргана]] |
|||
[[vi:Luật De Morgan]] |
|||
[[zh:德摩根定律]] |
גרסה מ־19:27, 26 בפברואר 2013
כללי דה מורגן, הקרויים על-שמו של המתמטיקאי והלוגיקן בן המאה ה-19, אוגוסטוס דה מורגן, הם שני כללים בלוגיקה, בתורת הקבוצות ובאלגברה בוליאנית (בפרט, לוגיקה בוליאנית), הקושרים את הפעולות הבסיסיות בתחומים אלה.
- לוגיקה: הכללים קושרים את הפעולות "או", "גם", "לא". באופן מילולי בכתיב לא פורמלי, קובעים הכללים כי השלילה של קיום א' וגם קיום ב', היא אי קיום א' או אי קיום ב'; וכן כי השלילה של קיום א' או קיום ב', היא אי קיום א' וגם אי קיום ב'.
בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:
- אלגברה בוליאנית: הכללים קושרים את הפעולות "חיבור", "כפל", "שלילה".
- בהתאם להגדרת השלילה, הביטוי '(P+Q) הוא שלילת הביטוי (P+Q), ועל כן יקבל ערך אמת רק אם P+Q הוא בעל ערך 0, כלומר ערך שקרי. כללי דה מורגן קובעים כי שלילת P+Q זהה למכפלת שלילת P בשלילת Q, ואילו שלילת P*Q זהה לחיבור שלילת P עם שלילת Q. בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:
או כך:
למעשה, ההבדל בין הגרסאות השונות לניסוח הכלל אשר הוצגו לעיל הוא בסימון בלבד.
שימוש בכללי דה מורגן
לכללים אלה מספר שימושים, ביניהם:
- פישוט של ביטויים מתחומי הלוגיקה והמתמטיקה המתואים לעיל.
- פישוט התניות בעת כתיבת תוכניות מחשב.
- שימוש באלקטרוניקה ספרתית (בה במקרים רבים נעשה שימוש בשתי רמות מתח בלבד) לצורכי פישוט תכנונם של מעגלים חשמליים, למשל, כאלה העושים שימוש בשערים לוגיים.
- ניתן לעשות שימוש בכללים אלה לצורך ייצוג של ביטויים על ידי שימוש בסוג אחד בלבד של פעולות, למשל פעולות NAND. להרחבה ראו הערך NAND לוגי.
הוכחה
ההוכחה של כללי דה-מורגן מתבצעת באינדוקציה שלמה. כלומר, הצבה של כל הצירופים האפשריים בכל אחד מהפסוקים, נותנת ערכים שווים. כך, אם נציב ערכי אמת ב-P וב-Q, אזי הביטוי (P+Q) יקבל את הערך "אמת" והביטוי '(P+Q), ערכו יהי שקר, כמו גם ערכו של 'p'*q. לאחר הצבת כל הצירופים האפשריים של P ו-Q מתקבל, למעשה, הכלל.
הכלל בנוגע לתורת הקבוצות, ניתן להוכחה על נקלה בעזרת הכללים הנ"ל, זאת, בהינתן ההגדרות של חיתוך, איחוד ומשלים של קבוצה. ההוכחה היא כדלהלן:
ובצורה דומה מוכח גם המשפט השני.