Lleis de De Morgan
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Demorganlaws.svg/220px-Demorganlaws.svg.png)
Les lleis de De Morgan són una part de la lògica proposicional i analítica, i va ser creada per Augustus De Morgan (Madurai, 1806 - Londres, 1871).[1]
Història
[modifica]Les lleis porten el nom d’Augustus De Morgan (1806–1871),[2] que va introduir una versió formal de les lleis a la lògica proposicional clàssica. La formulació de De Morgan va estar influenciada per l’algebraització de la lògica empresa per George Boole, que posteriorment va consolidar la pretensió de De Morgan a la troballa. Tot i això, Aristòtil va fer una observació similar, que era coneguda pels lògics grecs i medievals. Per exemple, al segle XIV, Guillem d'Ockham va escriure les paraules que resultarien llegint les lleis.[3] Jean Buridan, a la seva Summulae de Dialectica, també descriu les regles de conversió que segueixen les línies de les lleis de De Morgan.[4] Tot i així, a De Morgan se li dona el mèrit d’enunciar les lleis en els termes de la lògica formal moderna i d’incorporar-les al llenguatge de la lògica. Les lleis de De Morgan es poden demostrar fàcilment i fins i tot poden semblar trivials.[5] Tanmateix, aquestes lleis són útils per fer inferències vàlides en proves i arguments deductius.
Les lleis de De Morgan
[modifica]Les lleis de De Morgan declaren que la suma de n variables globalment negades (o invertides) és igual al producte de les n variables negades individualment, i que inversament, el producte de n variables globalment negades és igual a la suma de les n variables negades individualment.[6]
Prova
[modifica]Cal utilitzar les taules de valors de veritat,[7]
V | V | V | F | F | F | F | |||
V | F | V | F | F | V | F | |||
F | V | V | F | V | F | F | |||
F | F | F | V | V | V | V |
Demostració formal
[modifica]si i només si i .
per a qualsevol x:[7]
inclusió:
o
o
Per tant
inclusió:
o
o
Per tant
i per tant Q.E.D.
per es pot utilitzar un mètode similar.
Amb proposicions
[modifica]La prova utilitza l'associativitat i la distributivitat de les lleis i .[8]
- Veritat
- Si veritat per n
Referències
[modifica]- ↑ Hurley, Patrick J. A Concise Introduction to Logic. 12th. Cengage Learning, 2015. ISBN 978-1-285-19654-1.
- ↑ DeMorgan’s Theorems Arxivat 2008-03-23 a Wayback Machine. at mtsu.edu
- ↑ William of Ockham, Summa Logicae, part II, sections 32 and 33.
- ↑ Jean Buridan, Summula de Dialectica. Trans. Gyula Klima. New Haven: Yale University Press, 2001. See especially Treatise 1, Chapter 7, Section 5. ISBN 0-300-08425-0
- ↑ Augustus De Morgan (1806–1871) Arxivat 2010-07-15 a Wayback Machine. by Robert H. Orr
- ↑ 2000 Solved Problems in Digital Electronics by S. P. Bali
- ↑ 7,0 7,1 ; Wu, Vincent«De Morgan's Laws».
- ↑ Boolean Algebra by R. L. Goodstein. ISBN 0-486-45894-6