Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Симетрична різниця Формула
A
△
B
=
(
A
∖
B
)
∪
(
B
∖
A
)
=
{
x
|
x
∈
A
∨
˙
x
∈
B
}
{\displaystyle \displaystyle A\mathbin {\vartriangle } B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=\{x|x\in A\mathbin {\dot {\lor }} x\in B\}}
Позначення у формулі
△
{\displaystyle \mathbin {\vartriangle } }
∖
{\displaystyle \setminus }
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
∨
˙
{\displaystyle \mathbin {\dot {\lor }} }
Нотація
⊖[d] [ 1] Підтримується Вікіпроєктом
Вікіпедія:Проєкт:Математика Симетрична різниця у Вікісховищі
Симетрична різниця двох множин — теоретико-множинна операція, результатом якої є нова множина, що включає всі елементи вихідних множин, які не належать одночасно обом вихідним множинам. Іншими словами, якщо є дві множини A і B, їх симетрична різниця є об'єднання елементів A, що не входять в B, з елементами B не членами A. На письмі для позначення симетричної різниці множин A і B використовується позначення A △ B.
В математиці та теорії множин , симетричною різницею двох множин є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох.
Симетричну різницю можна визначити двома способами:
симетрична різниця двох заданих множин А В
(
A
△
B
)
=
(
A
∖
B
)
∪
(
B
∖
A
)
{\displaystyle (A\triangle B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}
симетрична різниця двох заданих множин A B
(
A
△
B
)
=
(
A
∪
B
)
∖
(
A
∩
B
)
{\displaystyle (A\triangle B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}
Симетрична різниця є бінарною операцією у будь-якому булеані ;
Симетрична різниця є комутативною :
A
△
B
=
B
△
A
;
{\displaystyle A\bigtriangleup B=B\,\triangle \,A;}
Симетрична різниця є асоціативною :
(
A
△
B
)
△
C
=
A
△
(
B
△
C
)
;
{\displaystyle \left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triangle \,C\right);}
Перетин множин є дистрибутивним відносно симетричної різниці:
A
∩
(
B
△
C
)
=
(
A
∩
B
)
△
(
A
∩
C
)
;
{\displaystyle A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);}
Порожня множина є нейтральним елементом симетричної різниці:
A
△
∅
=
A
;
{\displaystyle A\bigtriangleup \varnothing =A;}
Будь-яка множина обернена сама собі відносно операції симетричної різниці:
A
△
A
=
∅
;
{\displaystyle A\bigtriangleup A=\varnothing ;}
Булеан з операцією симетричної різниці є абелевою групою ;
(
A
1
∩
A
2
)
△
(
B
1
∩
B
2
)
⊂
(
A
1
△
B
1
)
∪
(
A
2
△
B
2
)
;
{\displaystyle \left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}
(
A
1
∪
A
2
)
△
(
B
1
∪
B
2
)
⊂
(
A
1
△
B
1
)
∪
(
A
2
△
B
2
)
;
{\displaystyle \left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}
(
A
1
∖
A
2
)
△
(
B
1
∖
B
2
)
⊂
(
A
1
△
B
1
)
∪
(
A
2
△
B
2
)
;
{\displaystyle \left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}
Об'єднання симетричної різниці з перетином двох множин дорівнює об'єднанню вихідних множин
(
A
△
B
)
∪
(
A
∩
B
)
=
A
∪
B
{\displaystyle (A\bigtriangleup B)\cup (A\cap B)=A\cup B}
Між симетричною різницею та об'єднанням множин такий зв'язок:
A
△
B
=
(
A
∖
B
)
∪
(
B
∖
A
)
{\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}
(
A
△
B
)
=
(
A
∪
B
)
∖
(
A
∩
B
)
{\displaystyle (A\triangle B)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}
Діаграма Венна для симетричної різниці A ΔB 1. Нехай
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
,
B
=
{
3
,
4
,
5
,
6
,
7
}
.
{\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\quad B=\{3,4,5,6,7\}.}
Тоді
A
△
B
=
{
1
,
2
,
6
,
7
}
.
{\displaystyle A\,\triangle \,B=\{1,2,6,7\}.}
2. Симетрична різниця множини усіх студентів та усіх осіб жіночої статі, містить множину усіх студентів-чоловіків та усіх жінок, які не є студентами.
Симетрична різниця у Вікісховищі
