Перетворення Хаусхолдера

Запит «Матриця Хаусхолдера» перенаправляє сюди; див. також інші значення.

Перетворення Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — лінійне перетворення $\ H_{u}$ векторного простору $\ V$ , що описує його віддзеркалення (симетрію) щодо гіперплощини, яка проходить через початок координат.

Було запропоноване в 1958 американським математиком Елстоном Скотом Хаусхолдером.

Визначення

Якщо гіперплощина описується одиничним вектором $\ u$ , що є ортогональним до неї; та $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — скалярний добуток в $\ V$ , тоді

\ H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u

— оператор Хаусхолдера.

Матриця Хаусхолдера має вигляд:

\ H=I-2uu^{*}.

Матриця Хаусхолдера є ермітовою: $\ H=H^{*}.$
Матриця Хаусхолдера є унітарною: $\ H^{*}H=I.$
Отже вона є інволюцією: $\ H^{2}=I.$ .
Перетворення $\ H_{u}(x)$ відображає точку $\ x$ в точку $\ x-2\langle u,x\rangle u.$
Матриця Хаусхолдера має одне власне значення рівне -1, що відповідає власному вектору $\ u$ , усі інші власні значення дорівнюють (+1).
Визначник матриці Хаусхолдера дорівнює -1.
Перетворення Хаусхолдера в метричному просторі зберігає відстані^{[джерело?]}.