การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์

การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ (อังกฤษ: Householder transformation) ในคณิตศาสตร์ และในปริภูมิสามมิติ เป็นการสะท้อนเวกเตอร์กับระนาบ ในปริภูมิยูคลิเดียนทั่วไป การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์เป็นการแปลงเชิงเส้นซึ่งเวกเตอร์กับระนาบเกินที่ผ่านจุดกำเนิด

อัลสตัน สกอตต์ เฮาส์โฮลเดอร์ ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับการแปลงชนิดนี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2501 การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์เป็นเครื่องมือสำคัญในการหาการแยก QR ของเมทริกซ์

นิยามและสมบัติ

ระนาบเกินที่จะใช้สะท้อนเวกเตอร์นั้นสามารถแทนได้โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย $v$ ซึ่งตั้งฉากกับระนาบเกินนั้น

ถ้า $I$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ การแปลงเชิงเส้นที่กล่าวในบทนำของบทความนี้สามารถแทนใดโดยเมทริกซ์เฮาส์โฮลเดอร์

$Q=I-2vv^{T}$.

โดยแมทริกซ์เฮาส์โฮลเดอร์มีสมบัติดังต่อไปนี้

• มันเป็นเมทริกซ์สมมาตร: $Q=Q^{T}$
• มันเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก: $Q^{-1}=Q^{T}$
• ดังนั้นมันจึงเป็นอาวัตนาการ: $Q^{2}=I$.

และ $Q$ สะท้อนเวกเตอร์ $x$ ใดๆ กับระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ $v$ โดยข้อความนี้สามารถแสดงให้เห็นจริงได้โดยสมการ

$Qx=x-2vv^{T}x=x-2\langle v,x\rangle v$,

เมื่อ $\langle v,x\rangle$ คือผลคูณจุดของ $x$ และ $v$ ซึ่งมีค่าเท่ากับระยะห่างของจุดปลายที่ไม่ใช่จุดกำเนิดของ $x$ จากระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ $v$ ด้วยเหตุนี้จุดปลายที่ไม่ใช่จุดกำเนิดของ $Qx$ จึงอยู่คนละข้างของระนาบเกินกับจุดปลายของ $x$ และห่างจากระนาบเกินเท่ากับระยะห่างจากจุดปลายของ $x$ กับระนาบเกิน กล่าวคือเป็นภาพสะท้อนของ $x$ นั่นเอง

การประยุกต์ใช้ในการแยก QR

ในการแยก QR เราต้องการเขียนเมทริกซ์ $A_{n\times n}$ ที่ำกำหนดให้ในรูป $A=QR$ โดย $Q$ เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากและ $R$ เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน เราสามารถใช้การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ในการคำนวณ $Q$ และ $R$ ได้ดังต่อไปนี้

ให้ $e_{1}$ แทนเวกเตอร์ $(1,0,\dots ,0)^{T}$ ที่มีศูนย์อยู่ $n$ ตัว ให้ $\|x\|$ แทนนอร์มของเวกเตอร์ $x$ ใดๆ และให้ $a_{1}$ เป็นเวกเตอร์หลักที่ 1 ของ $A$ แล้ว กำหนด

$v_{1}=a_{1}-\|a_{1}\|e_{1}$

และ

$Q_{1}=I_{n}-2{\frac {v_{1}v_{1}^{T}}{\|v_{1}\|^{2}}}$

($I_{n}$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด $n\times n$) เป็นการแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ที่สะท้อนเวกเตอร์กับระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ $v_{1}$ แล้ว เราจะได้ว่า

$Q_{1}a_{1}=\|a_{1}\|e_{1}$

หรือ

$Q_{1}A={\begin{bmatrix}\|a_{1}\|&\star &\dots &\star \\0&&&\\\vdots &&A'_{2}&\\0&&&\end{bmatrix}}$

โดยที่ $A'_{2}$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $(n-1)\times (n-1)$ กล่าวคือ $Q_{1}$ ทำให้หลักแรกของ $A$ มีสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์อยู่เพียงตัวเดียว

เราสามารถใช้กรรมวิธีข้างต้นหาการแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ $Q'_{2}$ ที่ทำให้

$Q_{1}A'_{2}={\begin{bmatrix}\star &\star &\dots &\star \\0&&&\\\vdots &&A'_{3}&\\0&&&\end{bmatrix}}$

และ $Q'_{3}$, $Q'_{4}$, $\dots$, $Q'_{n-1}$ ที่มีผลเช่นเดียวกันกับ $A'_{3}$, $A'_{4}$, $\dots$, $A'_{n-1}$ ตามลำดับ และเมื่อเราให้

$Q_{k}={\begin{bmatrix}I_{k-1}&0\\0&Q_{k}'\end{bmatrix}}$

สำหรับ $2\leq k\leq n-1$ แล้ว เราจะได้ว่า

$Q_{n-1}Q_{n-2}\cdots Q_{2}Q_{1}A={\begin{bmatrix}\|a_{1}\|&\star &\star &\dots &\star &\star \\0&\star &\star &\dots &\star &\star \\0&0&\star &\dots &\star &\star \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\star &\star \\0&0&0&0&0&\star \end{bmatrix}}=R$

เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน ดังนั้น

$A=(Q_{n-1}Q_{n-2}\cdots Q_{1})^{-1}R=Q_{1}Q_{2}\cdots Q_{n-1}R$

และเนื่องจาก $Q_{i}$ ทุกตัวเป็นเมทริกซ์ฮาส์โฮลเดอร์ซึ่งเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก ทำให้ $Q=Q_{1}Q_{2}\cdots Q_{n-1}$ เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากตามไปด้วย $A=QR$ จึงเป็นการแยก QR ตามที่เราต้องการ

ขั้นตอนวิธีตามที่ได้บรรยายข้างต้น สามารถนำไปเขียนเป็นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ทำการคำนวณด้วยจำนวนจุดเลื่อนซึ่งมีเสถียรภาพทางตัวเลข เป็นผลให้เราสามารถแก้สมการเชิงเส้น และหาค่าเฉพาะเจาะจงของเมทริกซ์ได้โดยค่าที่หาได้จะไม่คลาดเคลื่อนมากนักหากเมทริกซ์ที่เป็นข้อมูลเข้ามีเลขเงื่อนไขต่ำ

อ้างอิง

• Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947
• David D. Morrison, Remarks on the Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 7 (2), 1960, 185-186. DOI:10.1145/321021.321030