Ортогональна матриця

Ортогональна матриця — невироджена квадратна матриця $\ A$ (зазвичай із дійсними елементами) така, що

\ AA^{T}=A^{T}A=I

,

де

\ A^{T}

\ A

,

\ I

\!A^{-1}=A^{T}.

Ортогональна матриця є частковим випадком унітарної матриці.

Властивості

Визначник ортогональної матриці дорівнює $\ \pm 1$ .
Скалярний добуток рядка матриці (чи стовпця) на інший рядок (чи стовпець) дорівнює нулю, а скалярний добуток на самого себе дорівнює одиниці (стовпці й рядки ортогональної матриці утворюють ортонормовані системи).

тобто, для ортогональної матриці

\ A=(a_{ij})

справедливі формули:

\ \sum _{i}a_{ij}a_{ik}=\delta _{jk},\qquad \sum _{i}a_{ji}a_{ki}=\delta _{jk},

де

\ \delta _{jk}

Ортогональні матриці відповідають лінійним операторам, що переводять ортонормований базис векторного простору в ортонормований.
Довільна дійсна ортогональна матриця подібна блочно-діагональній матриці з блоками виду

\ (\pm 1),\qquad {\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.

Ортогональні матриці порядку $n$ над полем $k$ утворюють групу за множенням. Це ортогональна група, що позначається $\ O_{n}(k)$ (якщо $\ k$ опущено — вважається $k=\mathbb {R}$ ).

Ортогональна матриця з визначником +1 є матрицею повороту.
Ортогональну матрицю з визначником -1 можна подати у вигляді добутку двох матриць: матриці повороту на матрицю симетрії відносно (гіпер)площини (перетворення Хаусхолдера).