양자 컨볼루션 코드

양자 블록 코드는 양자 컴퓨팅 및 양자 통신에서 유용합니다.큰 블록 코드의 부호화 회로는 일반적으로 복잡도가 높지만 최신 코드의 부호화 회로는 복잡도가 낮습니다.

양자 컨볼루션 부호화 이론은 양자 정보를 부호화하기 위한 다른 패러다임을 제공한다.컨볼루션 구조는 송신자가 수신자에게 보낼 큐비트 스트림을 소유하는 양자 통신 시나리오에 유용합니다.양자 컨볼루션 코드의 부호화 회로는 큰 블록 코드에 필요한 부호화 회로보다 복잡도가 훨씬 낮다.또한 동일한 물리적 장치 또는 동일한 루틴이 양자 정보의 흐름을 조작할 수 있도록 반복 패턴을 가지고 있습니다.

양자 컨볼루션 스태빌라이저 코드는 고전적인 코드들의 구조에서 많은 것을 차용한다.양자 컨볼루션 코드는 큐비트 중 일부가 반복 부호화 유니타리에 피드백되어 코드에 고전적인 컨볼루션 코드와 같은 메모리 구조를 주기 때문에 유사하다.양자 코드는 큐비트의 온라인 인코딩 및 디코딩을 특징으로 합니다.이 기능은 양자 컨볼루션 코드에 낮은 인코딩 및 디코딩 복잡도와 유사한 매개 변수를 가진 블록 코드보다 더 큰 오류 집합을 수정할 수 있는 기능을 제공합니다.

정의.

양자 컨볼루션 스태빌라이저 코드는 힐버트 공간 H $,$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal$ { $H$ $}},$ 정수 a 0 $\left\{{\mathcal {H}}_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ { $\left\{{\mathcal {H}}_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ $\left\{{\mathcal {H}}_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ $\left\{{\mathcal {H}}_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ Z $\left\{{\mathcal {H}}_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ + {\ $displaystyle \$ {\ $mathcal {H} {\$ mathbbb} \ $in\i}$ \displaystyle ${\mathcal {H}},$ 에 작용합니다.

{{displaystyle {H}}=\displaystyle \bigotimes _{i=0}^{\infty }}\{mathcal {H}}_{i}.}

Pauli $\left\{A_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 행렬 { $\left\{A_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ $\left\{A_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ $\left\{A_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ Z $\left\{A_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ + {\ $displaystyle \left\}$ 의 $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ A(\ $displaystyle \mathbf {A})$ $A_{i}\right\}_{i\in$ \ $mathbb {Z$ 여기서

\mathbf {A} = displaystyle \bigotimes \displaystyle _{i=0}^{\infty }}\A_{i}

는 H $(\$ 의 상태에 대해 동작할 수 있습니다. $\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}$ Z + {\ $displaystyle$ \Pi $^{\mathbb$ {Z $}$ ^{+}}}}은 $\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}$ 모든 Pauli 시퀀스의 집합을 나타냅니다.Pauli $\mathbf {A}$ A $(\$ })의 $\mathbf {A}$ 지원 부록 $\left(\mathbf {A} \right)$ )(\ $displaystyle \left(\mathbf {A}$ \ $right)$ 은 $\left({\mathbf {A}}\right)$ A $(\$ 에서 $\mathbf {A}$ ID와 일치하지 않는 엔트리의 인덱스 세트입니다. $시퀀스$ $\mathbf {A}$ A의 무게(\ $displaystyle$ $\$ $mathbf$ $\left\vert {\text{supp}}\left(\mathbf {A} \right)\right\vert$ { $A})$ 는 $\mathbf {A}$ 서포트 크기 $A$ vert ${text{$ sup $}}\left$ (\ $mathbf {A}\right)\$ vert입니다 $\left\vert {\text{supp}}\left(\mathbf {A} \right)\right\vert$ $.$ $\mathbf {A}$ 의 $\mathbf {A}$ 지연 del $\left(\mathbf {A} \right)$ )(\ $displaystyle \left(\$ $mathbf {A}$ \ $right)$ 은 $\left({\mathbf {A}}\right)$ ID와 동일하지 않은 엔트리의 최소 인덱스입니다. $\mathbf {A}$ A $(\$ 의 $\mathbf {A}$ 도 $A)$ {displaystyle $\left(\mathbf {A}\right)$ 는 $\left({\mathbf {A}}\right)$ 동일하지 않은 엔트리의 최대 인덱스입니다.예: 다음 Pauli 시퀀스

{array} {ccccc}I&X&I&Y&Z&I&I&\cdots \end{array}

에는 $\left\{1,3,4\right\}$ { $\left\{1,3,4\right\}$ , 4 $}({displaystyle\left\{1,3,4\$ right $\left\{1,3,4\right\}$ 중량 3, 지연 1, 및 도 4가 지원됩니다.무게가 유한할 경우 시퀀스는 유한한 지지를 가집니다. $F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})$ Z $F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})$ + $)(\Displaystyle$ F $(\Pi ^{\mathbb {Z}$ ^{+}}))로 $F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})$ 하자.양자 컨볼루션 코드에 대한 다음 정의는 $F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})$ F $F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})$ Z $F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})$ + $)(\displaystyle$ F $(\Pi ^{\mathbb {Z}$ ^{+}})를 $F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})$ 설명에 사용합니다.

$k/n$ k / $k/n$ { $displaystyle$ k $/n$ ${\mathcal {G}}_{0}$ - convolutional $k/n$ stabilizer code $0\leq k\leq n$ $0\leq k\leq n$ ${\mathcal {G}}_{0}$ {\ ${\$ n ${$ $displaystyle$ 0 \ $leq$ n $0\leq k\leq n$ }은 기본 ${\mathcal {G}}_{0}$ ${\mathcal {G}}_{0}$ G0 $(\$ ${G})$ 의 $n$ $쿼비트$ 시프트 중 ${\mathcal {G}}$ 세트 G(\ $displaystylekyle {G})$ 입니다 ${\mathcal {G}}$ .기본 제너레이터 ${\mathcal {G}}_{0}$ ${\mathcal {G}}_{0}$ 0 $({$ 에는 ${\mathcal {G}}_{{0}}$ 유한 지원 n $n-k$ - $n-k$ ({ $displaystyle n-k})$ 의 $n-k$ Pauli 시퀀스가 $n-k$ .

{\displaystyle{{G\mathcal}}_{0}=\left\{\mathbf{G}_{나는}\in F(\Pi ^{\mathbb{Z}^{+}}):1\leq i\leq n-k\right\}.}

발전기의 G0의 코드 그 제약 길이ν{\displaystyle \nu} 있는 최대 정도{\displaystyle{{G\mathcal}}_{0}}. 코드 A프레임 n{n\displaystyle}qubits로 구성되어 있다.

양자 돌림형 부호가 지연된 변환, D{D\displaystyle}-transform의 조건에 상당하는 정의 입장할 수 있다.D{D\displaystyle}-transform 파악은 기본적인 발전기의 변화 G 0{\displaystyle{{G\mathcal}}_{0}세트}. 우리에게 D어떤 파울리에 작용하는{D\displaystyle}은 n{n\displaystyle}-qubit 지연 사업자 시퀀스 A∈Π Z+{\displaystyle \mathbf{A}\in\Pi ^{\mathbb{Z}^{+}}}설명하겠습니다. 다음과 같이:

D\left(\mathbf{A}\right)=I^{\otimes의 스녀}\otimes \mathbf{A.}

D{D\displaystyle}의 힘으로{j\displaystyle}D에 대한 반복 응용 프로그램{D\displaystyle}우리는:j를 쓸 수 있다.

D^{j}(\mathbf{A}\right)=I^{\otimes jn}\otimes \mathbf{A.}

G0{\displaystyle{{G\mathcal}}_{0}의 요소들의 교대j{j\displaystyle}({\displaystyle D^{j}({\mathcal{G}}_{0}일 경우 \right)}세트}Dj자.그리고 전체 안정 장치 G{\displaystyle{{G\mathcal}}}의 나선형의. 안정제 코드는.

{\mathcal {G}=textstyle \bigcup \display_{j\in \mathbb {Z}^{+}}D^{j}\left({\mathcal {G}}_{0}\오른쪽).

작동

컨볼루션 스태빌라이저 코드의 동작은 다음과 같습니다.이 프로토콜은 (Grassl 및 Roetteler 2006)과 같은 온라인 부호화 회로를 사용하여 큐비트 스트림을 부호화하는 것으로 시작됩니다.부호화 회선은 한번에 몇 개의 큐비트로 동작하는 경우 온라인입니다.송신자는 첫 번째 유니타리가 큐비트 처리를 마치자마자 큐비트 세트를 전송합니다.수신기는 G $(\$ 의 ${\mathcal {G}}$ 모든 제너레이터를 측정하고 온라인으로 인코딩된 큐비트를 수신할 때 오류를 수정합니다.그는 마침내 복호화 회로로 부호화된 큐비트를 복호화한다.이 컨볼루션 절차에서 디코딩된 큐비트는 오류가 없어야 하며 수신측에서 양자 계산을 수행할 수 있어야 합니다.

유한 심도 회로는 유한 웨이트의 Pauli 시퀀스를 유한 웨이트의 시퀀스에 매핑합니다(Ollivier 및 Tilich 2004).가중치가 유한한 Pauli 시퀀스를 가중치가 무한인 시퀀스에 매핑하지 않습니다.이 속성은 디코딩 회로가 정정되지 않은 오류를 정보 큐비트스트림(Johannesson 및 Zigangirov 1999)에 전파하지 않도록 하기 때문에 중요합니다. ${\mathcal {G}}$ G $(\$ 에 ${\mathcal {G}}$ 대응하는 유한심도 복호회로는 (Grassl 및 Roetteler 2006)에 제시된 알고리즘에 의해 존재한다.

예

Forney 등은 특정 4차 컨볼루션 코드를 가져와 속도 1/3 양자 컨볼루션 코드의 예를 제공했다(Forney 및 Guha 2005).Grassl과 Roetteler는 Forney 등의 rate-1/3 양자 컨볼루션 코드(Grassl과 Roetteler 2006)에 대해 비파괴적 부호화 회로를 결정했다.기본 스태빌라이저와 그 첫 번째 변속은 다음과 같습니다.

\displaystyle \cdots \begin{array}{ ccc ccc ccc }I&I&I&X&X&X&X&Z&Y&I&I&I\I&I&Z&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I\I&I&I&I&X&X&X&Z&Y&I&I\\I&I&I&I&I&II&Z&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I&I\\end{array}}\cdots}

코드는 상기 제너레이터의 3비트 시프트로 구성됩니다.세로 막대는 기본 제너레이터의 3비트 시프트를 시각적으로 보여 줍니다.이 코드는 다른 프레임의 임의의 싱글비트 오류를 수정할 수 있습니다.

내선번호

와일드와 브룬은 얽힘 보조 양자 컨볼루션 코드 이론을 일련의 기사(와일드와 브룬 2007a, 2007b, 2008, 2009)에 통합하여 얽힘 보조 양자 컨볼루션 코드 이론을 형성했다.이 이론은 송신자와 수신자가 양자 정보의 흐름을 보호하기 위해 이용할 수 있는 잡음 없는 초당적 얽힘을 공유한다고 가정한다.

(Wilde 2009)는 (Ollivier와 Tilich 2004)와 (Grassl과 Roetteler 2006)의 작업을 기반으로 하여 이러한 코드를 고전적인 시프트 레지스터 회로의 자연스러운 확장인 양자 시프트 레지스터 회로로 인코딩하는 방법을 보여주었다.

레퍼런스

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Ollivier, H.; Tillich, J. -P. (2004). "Quantum convolutional codes: Fundamentals". arXiv:quant-ph/0401134. Bibcode:2004quant.ph..1134O. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
Forney, G. David (2005). "Simple rate-1/3 convolutional and tail-biting quantum error-correcting codes". Proceedings. International Symposium on Information Theory, 2005. ISIT 2005. pp. 1028–1032. arXiv:quant-ph/0501099. doi:10.1109/ISIT.2005.1523495. ISBN 0-7803-9151-9. S2CID 14484674.
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Grassl, Markus; Rotteler, Martin (2006). "Non-catastrophic Encoders and Encoder Inverses for Quantum Convolutional Codes". 2006 IEEE International Symposium on Information Theory. pp. 1109–1113. arXiv:quant-ph/0602129. doi:10.1109/ISIT.2006.261956. ISBN 1-4244-0505-X. S2CID 1442.
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추가 정보

출판물

Houshmand, Monireh; Wilde, Mark M. (2013). "Recursive Quantum Convolutional Encoders are Catastrophic: A Simple Proof". IEEE Transactions on Information Theory. 59 (10): 6724–6731. arXiv:1209.0082. doi:10.1109/TIT.2013.2272932. S2CID 15309497.
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Poulin, David; Tillich, Jean-Pierre; Ollivier, Harold (2007). "Quantum serial turbo-codes". arXiv:0712.2888. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
Djordjevic, Ivan (2012). Quantum information processing and quantum error correction: an engineering approach. Academic press. ISBN 9780123854919.
Brun, Todd A. (2013). Lidar, Daniel A.; Brun, Todd A. (eds.). Quantum error correction. Cambridge University Press. arXiv:1910.03672. ISBN 9780521897877.

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