선형 중력

일반 상대성 이론에서, 선형화된 중력은 시공간 기하학을 설명하는 미터법 텐서에 섭동 이론을 적용하는 것이다.결과적으로, 선형화된 중력은 중력장이 약할 때 중력의 효과를 모델링하는 효과적인 방법이 된다.선형화된 중력의 사용은 중력파와 약장 중력 렌즈 연구에 필수적이다.

약장 근사

시공간 기하학을 설명하는 아인슈타인 필드 방정식(EFE)은 (자연 단위를 사용하여) 다음과 같이 주어진다.

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=8\pi GT_{\mu \nu }

$R_{\mu \nu }$ 서 R μ $R_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle R_{\mu \nu$ }}은 $R_{\mu \nu }$ Ricci 텐서,R {\ $displaystyle$ R $}$ 은 $R$ Ricci 스칼라, $T_{\mu \nu }$ μ $T_{\mu \nu }$ ${\mu \nu$ }는 $T_{\mu \nu }$ 에너지-모멘텀 텐서, $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ μ {\ $displaystyle g_{\mu\nu }$ 은 $g_{\mu \nu }$ 시공간 방정식을 나타내는 시공간 방정식이다.

아인슈타인 표기법을 사용하여 작성할 때는 간결하지만, 리치 텐서와 리치 스칼라 안에 숨겨져 있는 것은 대부분의 시스템에서 정확한 해법을 찾을 가능성을 만드는 측정기준에 대한 예외적인 비선형 의존성이다.때에 블랙 홀의 곡률은 작은(그것은 EFE에서 g에 2차 용어들μ 의미 ν{\displaystyle g_{\mu \nu}}는 동작의 방정식에 기여하지 않는)특정 시스템을 설명하는 하지만, 하고 있는 사람은 민코프 스키 metric[노트 1]η μ ν으로 이 분야에서 방정식을 해결책 될 수 있다.{) $displaystyle \eta$ _ ${\mu \nu$ }}에 $\eta _{\mu \nu }$ 작은 $h_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$ ${\$ {\ $displaystyle h_{\mu \nu$ 을 추가합니다.다른 말로 하면 다음과 같습니다.

\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad h_{\mu \nu } \lll1 . }

이 상태에서 일반 $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ μ $g_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle g_{\mu \nu$ }}}을 $g_{\mu \nu }$ (를) 이 섭동 근사치에 대입하면 Ricci 텐서에 대한 식이 단순화된다.

R_{\mu \nu } = flac {1}{{\nu }^{\nu}^{\nu}^{\nu} +\displaystyle _{\display }h_{\nu }^{\nu }-{\nu}_nu }_nu }_nu } _displaystypaffirclax _nu

$h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ 서 h $h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ $h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ $h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ μ $h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ μ μ µ $μ$ ® {\ $mu \nu }h_$ ${\$ $mu$ \ $nu$ $h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ }}}는 섭동의 흔적이며, $\partial _{\mu }$ μ ${\$ $\partial _{\mu }$ x $^{\mu$ }}}}는 $\partial _{\mu }$ $x^{\mu }$ 및 ◻= $\square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ μ μ μ $\square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ $\square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ μcolative μcolution μl μl μl μr)의 좌표에 $x^{\mu }$ 대한 부분 도함수이다.eta ^{\ $mu \nu }\partial$ _ ${\mu$ }\ $partial$ _ ${\nu$ }}는 $\square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ d'Alembert 연산자입니다.

리치 스칼라와 함께,

R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\display_{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,

필드 방정식의 좌변은 로 감소한다.

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{{\mu \nu }=flac {1}{{\flac}{\flac }h_{\nu }^{\frac }+\flac {\nu }\frac {\nu } } } ^{{\f} }

따라서 EFE는 $h_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle h_{\mu \nu$ $h_{\mu \nu }$ 의 $h_{\mu \nu }$ 에서 선형 2차 편미분 방정식으로 환원됩니다.

게이지 불변성

일반 $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ μ $g_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle g_{\mu \nu$ }}}을 $g_{\mu \nu }$ (를) 민코프스키 메트릭과 섭동 항으로 분해하는 과정은 고유하지 않다.이는 좌표 선택에 따라 $h_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$ †(\ $displaystyle h_{\mu\nu$ 에 대해 다른 형태가 나타날 수 있기 때문입니다. 이러한 현상을 포착하기 위해 게이지 대칭의 적용이 도입되었습니다.

게이지 대칭은 기본 좌표계가 극소량 "이동"되어도 변하지 않는 시스템을 설명하기 위한 수학적 장치입니다.따라서 섭동 $h_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$ h μ $h_{\mu \nu }$ μ $h_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle h_{\mu \nu$ }}}는 $h_{\mu \nu }$ 서로 다른 좌표계 간에 일관되게 정의되지 않지만, 그것이 설명하는 전체 계는 정의된다.

이를 공식적으로 포착하기 위해, $h_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$ ${\$ {\ $displaystyle h_{\mu \nu$ }}의 $h_{\mu \nu }$ 비고유성은 $h_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$ ${\$ {\ $displaystyle h_{\mu \nu$ }}}를 $h_{\mu \nu }$ 충분히 작게 $h_{\mu \nu }$ 시공간상의 다양한 미분 동형상의 집합의 결과로 표현된다.따라서 $h_{\mu \nu }$ 하려면 h μ $h_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle h_{\mu \nu$ }}을 $h_{\mu \nu }$ (를) 일반적인 미분 동형의 관점에서 정의한 후 약한 영역 근사에 필요한 작은 스케일을 보존하는 하위 집합을 $h_{\mu \nu }$ 해야 합니다.따라서 ${\$ { displaystyle $\phi }$ 를 $\phi$ 정의하여 평탄한 민코프스키 시공간을 $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ $μ {\$ { \ $mu$ \ $nu }$ 로 나타나는 보다 일반적인 시공간으로 매핑하는 임의의 미분동형을 나타낼 수 있다. 따라서 섭동 메트릭은 $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ μ {\ { \ mu \ $nu$ $g_{\mu \nu }$ } 의 풀백의 $g_{\mu \nu }$ 로 정의할 수 있다. $ystyle g_{\mu \nu }}$ 및 $g_{\mu \nu }$ 민코프스키 메트릭:

h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}.

$\phi$ $differencyle$ \ $phi는$ $|h_{\mu \nu }|\ll 1$ μ $|h_{\mu \nu }|\ll 1$ $\$ $displaystyle h_{\mu \nu$ $|h_{\mu \nu }|\ll 1$ \ $ll$ 1로 $|h_{\mu \nu }|\ll 1$ 할 수 있습니다.

감안할 때는 벡터장 ξμ{\displaystyle\xi ^{\mu}}이 없는 납작한 배경 블랙 홀에 정의된, diffeomorphisms의 추가적인 가족 ϵ{\displaystyle \psi_{\epsilon}}그ξ μ{\displaystyle\xi ^{\mu}에 의해 생성된}과ϵ 을에 의해 parameterized 정의할 수 있다.;0{\displaystyle \epsilon>0}ψ..이러한 새로운 미분 동형은 위에서 설명한 바와 같이 "최종 이동"에 대한 좌표 변환을 나타내기 위해 사용됩니다. $§(\displaystyle\phi$ 와 함께 섭동 패밀리는 다음과 같이 지정됩니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}h_{\mu \nu}^{(\epsilon)}&, =[(\phi \circ \psi_{\epsilon})^{*}g]_{\mu \nu}-\eta _{\mu \nu}\\&, =[\psi_{\epsilon}^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu}-\eta _{\mu \nu}\\&,=\psi _ᆴ^ᆵ(h+\eta)_{\mu \nu}-\eta _{\mu \nu}\\&, =(\psi_{\epsilon}^{*}h)_{\mu \nu}+\epsilon \left는 경우{\frac{(\psi_{\epsilon}.^{*}\eta)_{\mu\nu }-\eta _{\mu \nu }}{\silon }}\right]\end { aligned}}

따라서 $\epsilon \rightarrow 0$ $\epsilon \rightarrow 0$ $(\displaystyle \silon \rightarrow$ 0 $\epsilon \rightarrow 0$ 에서는

h_{\mu \nu }^{{\mu \nu }+\ilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }}

${\mathcal {L}}_{\xi }$ 서 L ${\$ { { $displaystyle$ { $L } _$ { \ $xi }$ $}$ 은 벡터 ${\mathcal {L}}_{\xi }$ 필드 $\xi _{\mu }$ { \ $displaystyle$ \ $xi$ _ { \ $mu$ 의 Lie 도함수입니다.

Lie 도함수는 섭동 $h_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$ μ $h_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle h_{\mu \nu$ $h_{\mu \nu }$ 의 최종 게이지 변환을 산출합니다.

\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\silon)=h_{\mu \nu }+\silon(\silon_{\nu}+\silon_{\nu}\xi_{\mu}),

동일한 물리적 시스템을 설명하는 일련의 섭동 메트릭을 정확하게 정의합니다.즉, 선형화된 필드 방정식의 게이지 대칭을 특징짓습니다.

게이지 선택

게이지 불변성을 이용함으로써 적절한 벡터 필드 $\xi ^{\mu }$ \xi ^{\ $mu$ 를 선택함으로써 섭동 메트릭의 특정 속성을 보장할 수 있습니다.

가로 게이지

$h_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$ $†$ {\ $displaystyle h_{\mu \nu }}$ 이 $h_{{\mu \nu }}$ (가) 길이의 측정을 어떻게 왜곡하는지 연구하려면 다음 공간 텐서를 정의하는 것이 유용합니다.

({displaystyle s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\flac^{flac}h_{flac}\flash_{ij})

(인덱스는 공간 컴포넌트 $i,j\in \{1,2,3\}$ , $i,j\in \{1,2,3\}$ $i,j\in \{1,2,3\}$ { $i,j\in \{1,2,3\}$ , $i,j\in \{1,2,3\}$ , 3 $}$ { $displaystyle$ i, $j\in$ \ { $1, 2$ , 3 $i,j\in \{1,2,3\}$ \ $i,j\in \{1,2,3\}$ } ）。따라서 $s_{ij}$ j $(\$ ij $s_{ij}$ 를 $s_{ij}$ 하여 섭동의 공간 구성요소를 다음과 같이 분해할 수 있습니다.

({displaystyle h_{ij}=s_{ij}-\Psi \passion_{ij})

여기서 $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$ $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$ 1 $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$ $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$ k $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$ $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$ k $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$ \ $Psi = fr$ frac { $1}$ { } \ $flac ^$ { $time$ } $h$ _ { $time$ } $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$ 。

$s_{ij}$ $s_{ij}$ j $(\$ 는 $s_{ij}$ 구조상 트레이스리스이며, 섭동이 공간의 측정치를 늘리거나 수축하는 양을 나타내기 때문에 변형률이라고 합니다.중력복사를 연구할 때 스트레인은 가로게이지와 함께 사용할 때 특히 유용하다.이 게이지는 $\xi ^{\mu }$ {\ $displaystyle \xi ^{\mu$ }}의 $\xi ^{\mu }$ 공간 구성요소를 선택하여 관계를 충족시킵니다.

\displayla ^{2}\xi ^{j}+{\frac {1}{3}\display_{j}\display_{i}=-\display_{i}s^{ij

다음으로 시간 성분 $\xi ^{0}$ 0 { $\xi ^{0}$ ^ { $0}$ 을 $\xi ^{0}$ 선택합니다.

\displaystyle \displayla ^{2}\xi ^{0}=\display_{i}h_{0i}+\display_{i}\xi^{i}.}

이전 섹션의 공식을 사용하여 게이지 변환을 수행한 후에는 변형률이 공간적으로 횡방향으로 변합니다.

_{i}s_{(\silon)}^{ij}=0,

추가 속성 포함:

_{i}h_{(\explilon)}{0i}=0.

동기 게이지

동기 게이지는 메트릭이 시간 측정을 왜곡하지 않도록 요구하여 섭동 메트릭을 단순화합니다.보다 정확하게는 동기 게이지는 $h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}$ $h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}$ ( $h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}$ $){$ $display$ style $h_{\mu \nu }^{(엡실론)}}$ 의 $h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}$ 비공간 성분이 0이 되도록 선택된다.

(\displaystyle h_{0\nu }^{(\silon)}=0).}

이는 $(\$ })의 $\xi ^{\mu }$ 시간 성분이 다음을 만족하도록 요구함으로써 달성할 수 있습니다.

\displaystyle _{0}\xi ^{0}=-h_{00}

그리고 공간적인 요소들을 만족시켜야 한다.

\displaystyle _{0}\xi ^{i}=\display _{i}\xi ^{0i}-h_{0i}.}

고조파 게이지

고조파 게이지(로렌츠^{[note 2]} 게이지라고도 함)는 선형화된 필드 방정식을 최대한 줄여야 할 때마다 선택됩니다.이 작업은 조건이 다음과 같은 경우 수행할 수 있습니다.

_{\mu }h_{\nu }^{\mu } = flac {1}{2}}\displaystyle _{\nu }h

정말이에요.이를 위해서는 $\xi _{\mu }$ {\ $displaystyle \xi$ _ ${\mu$ }}이 $\xi _{\mu }$ (가) 필요합니다.

\displaystyle \square \xi _{\mu }=-\display _{\nu }h_{\nu }+{\frac {1}{2}}\displaystyle _{\mu }h}

따라서 조화 게이지를 사용하여 아인슈타인 $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ δ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ - 1 $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ μ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ {\ $mu \nu$ } = $R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}} Rg_{\mu \nu$ }}는 $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ 다음과 같이 감소한다.

(\displaystyle G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}^{(\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\오른쪽).}

따라서, 이것을 "colon-mu" 메트릭으로 표기함으로써, ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$ μ ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$ μ ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$ （ ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$ ） - ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$ 2 h ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$ ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$ ） ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$ （） ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$ （ $displaystyle {h}_{\mu$ \ $nu$ }^{((\ $silon$ ) $= h_{\mu$ \nu }^{{{\ $nu$ } - $frclon$ } { } fr1} fr1} fr1} fr1} fr1} $fr1$

\square {h}_{\mu \nu }^{(\silon)}=-16\pi GT_{\mu \nu }}.

중력 방사선을 정의하는 파동 해법으로 정확하게 해결할 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 이것은 배경 시공간이 평평하다고 가정합니다.이미 곡선을 그리고 있는 시공간에서 적용된 섭동 이론은 이 용어를 곡선을 이룬 배경을 나타내는 지표로 대체함으로써 똑같이 작동할 수 있다.
^ 로렌츠와 혼동하지 마세요.

추가 정보

Sean M. Carroll (2003). Spacetime and Geometry, an Introduction to General Relativity. Pearson. ISBN 978-0805387322.

[1] 이것은 배경 시공간이 평평하다고 가정합니다.이미 곡선을 그리고 있는 시공간에서 적용된 섭동 이론은 이 용어를 곡선을 이룬 배경을 나타내는 지표로 대체함으로써 똑같이 작동할 수 있다.

[2] 로렌츠와 혼동하지 마세요.

[note 2]

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