클라인-고든 방정식

에 대한 일련의 기사의 일부
양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}} \psi(t)\rangle ={\hat {H} \psi(t)\rangle }$ 슈뢰딩거 방정식
서론 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라켓 표기법 해밀토니안 방해다
펀더멘털 상보성 디코히어런스 얽힘 에너지 준위 측정. 비국소성 양자수 주 중첩 대칭성 터널링 불확실성 파동함수 쓰러짐
실험 벨의 부등식 다비송-독일 더블슬릿 Elitzur–Vaidman 프랭크-헤르츠 레게트 – 가르기 등식 마하젠더 포퍼 양자지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 슈테른-게를라흐 휠러의 지연 선택
제형 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 이력 합계(경로 적분)
방정식 디랙 클라인고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 베이지안 일관 이력 코펜하겐 드브로이-봄 앙상블 숨은 변수 현지의 초결정론 다세계 대물붕괴 양자논리학 관계형 거래적 폰 노이만-비그너
고급주제 상대론적 양자역학 양자장이론 양자정보과학 양자전산 양자 혼돈 EPR 역설 밀도행렬 산란설 양자통계역학 양자기계학습
사이언티스트 아하로노프 벨 베테 블래킷 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드브로이 콤프턴 디랙 데이비슨 데비 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크라머르스 파울리 새끼 양 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 온네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 웨일 빈 위그너 지만 자일링거
v t

클라인-고든 방정식(Klein-Fock-Gordon equation)은 슈뢰딩거 방정식과 관련된 상대론적 파동 방정식입니다. 그것은 시공간에서 2차적이고 명백하게 로렌츠 공변입니다. 상대론적 에너지- momentum 관계 E 2 =($)$ 2 + (m 0 c 2) 2 {\displaystyle E^{2}= (pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,}의 양자화된 버전입니다. 솔루션에는 양자가 스핀 없는 입자인 양자 스칼라 또는 유사 스칼라 필드가 포함됩니다. 이론적 관련성은 디랙 방정식과 유사합니다.^[1] 전자기 상호작용을 통합하여 스칼라 전기역학의 주제를 형성할 수 있지만 파이온과 같은 일반적인 스핀 없는 입자는 불안정하고 강한 상호작용(해밀턴어에서 알려지지 않은 상호작용 용어)을 경험하기 때문에 실용적인 유용성은 제한적입니다.^[2]

그 방정식은 슈뢰딩거 방정식의 형태로 들어갈 수 있습니다. 이 형태에서 이는 각각 시간의 첫 번째 순서인 두 개의 결합 미분 방정식으로 표현됩니다.^[3] 솔루션에는 상대성 이론의 전하 자유도를 반영하는 두 가지 구성 요소가 있습니다.^[3][4] 보존된 수량을 인정하지만, 이것은 긍정적으로 확실하지 않습니다. 따라서 파동함수는 확률 진폭으로 해석될 수 없습니다. 보존된 양은 대신 전하량으로 해석되고 파동함수의 규범제곱은 전하밀도로 해석됩니다. 이 방정식은 양전하, 음전하, 영전하를 가진 스핀 없는 모든 입자를 설명합니다.

자유 디랙 방정식의 임의의 해는 각각의 네 가지 성분에 대하여 자유 클라인-고든 방정식의 해입니다. 클라인-고든 방정식은 일관된 양자 상대론적 일입자 이론의 기초를 형성하지 않습니다. 스핀의^{[citation needed]} 입자에 대해서는 알려진 이론이 없습니다. 양자역학과 특수 상대성 이론의 완전한 조화를 위해서는 클라인-고든 방정식이 모든 자유 양자장의 구성 요소가 준수하는 방정식으로 다시 등장하는 양자장 이론이 필요합니다.^{[nb 1]} 양자장 이론에서 원래 방정식의 자유(비상호작용) 버전의 해는 여전히 역할을 합니다. 그들은 힐베르트 공간(Fock space)을 구축하고 파동함수의 완전한 집합(힐베르트 공간의 스패닝 집합)을 사용하여 양자장을 표현하는 데 필요합니다.

진술

클라인-고든 방정식은 다른 방식으로 작성될 수 있습니다. 방정식 자체는 일반적으로 분리된 공간 및 시간 성분(t, x) ${\displaystyle (t,\mathbf {x})}$ 또는 이들을 4개의 vector x= ($c$t, x ) {\displaystyle x = (ct,\mathbf {x})}로 결합하여 위치 공간 형태를 나타냅니다. 필드를 운동량 공간으로 푸리에 변환함으로써, 솔루션은 일반적으로 특수 상대성 이론의 에너지- momentum 분산 관계를 따르는 평면파의 중첩으로 작성됩니다. 여기서 클라인-고든 방정식은 두 개의 공통 메트릭 서명 규칙 η μ ν = 다이어그램(± 1, ∓ 1, ∓1) {\displaystyle \eta_{\mu \n$u }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)}$.

미터법 서명 η μ ν =diag (± 1, ∓$1,$ ∓ 1) {\displaystyle \eta_{\mu \n을 사용한 정상 단위의 클라인-고든 방정식

	위치공간 ${\displaystyle x=(ct,\mathbf {x})}$	푸리에 변환 ${\displaystyle \omega = E/\hbar,\quad \mathbf {k} =\mathbf {p} /\hbar}$	운동량 공간 ${\displaystyle p=(E/c,\mathbf {p})}$
분리된 시·공간	${\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (t,\mathbf {x} )=0}$	${\displaystyle \psi (t,\mathbf {x})=\int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi \hbar}}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi \hbar )^{3}}\,e^{\mpi(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x})\psi(\omega,\mathbf {k})}$	${\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$
4벡터형태	${\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi (x)=0,\quad \mu = mc/\hbar }$	${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi \hbar )^{4}}}e^{-ip\cdot x/\hbar }\psi (p)}$	${\displaystyle p^{2}=\pm m^{2}c^{2}}$

여기서 ◻ =±η μ ν ∂ μ ∂ ν {\displaystyle $\Box$ =\pm \eta^{\mu \n$u}\partial _{\mu}\partial _{\n$$u}}$은(는) 웨이브 $연산자이며$$∇$ 2 ${\displaystyle$ \n입니다.$abla^{2}}$는 Laplace 연산자입니다. 빛의 속도 c ${\displaystyle c}$와 플랑크 상수ℏ ${\$displaystyle \hbar }는 종종 방정식을 어지럽히는 것으로 보이기 때문에 c = ℏ = 1 {\displaystyle c =\hbar = 1}인 자연 단위로 표현됩니다.

미터법 서명 η를 가진 자연 단위의클라인-고든 방정식 μ ν = $diag$(± 1, ∓ 1, ∓ 1) {\displaystyle \eta _{\mu \n

	위치공간 ${\displaystyle x=(t,\mathbf {x})}$	푸리에 변환 ${\displaystyle \omega = E,\quad \mathbf {k} =\mathbf {p}$	운동량 공간 ${\displaystyle p=(E,\mathbf {p})}$
분리된 시·공간	${\displaystyle \left(\partial _{t}^{2}-\nabla^{2}+m^{2}\right)\psi (t,\mathbf {x})=0}$	${\displaystyle \psi (t,\mathbf {x})=\int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi}}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi)^{3}}e^{\mpi(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x}}\psi(\omega,\mathbf {k})}$	${\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}$
4벡터형태	${\displaystyle(\Box +m^{2})\psi(x)=0}$	${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip\cdot x}\psi (p)}$	${\displaystyle p^{2}=\pm m^{2}}$

슈뢰딩거 방정식과 달리 클라인-고든 방정식은 각 k에 대해 하나의 양과 하나의 음의 두 가지 ω 값을 허용합니다. 양의 주파수와 음의 주파수 부분을 분리해야만 상대론적 파동함수를 설명하는 방정식을 얻을 수 있습니다. 시간에 독립적인 경우, 클라인-고든 방정식은

${\displaystyle \left[\n]abla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0,}$

동차 스크리닝된 포아송 방정식과 형식적으로 동일합니다.

자유입자용해

여기서, 자연 단위의 클라인-고든 방정식, (◻+ m 2)ψ (x ) = 0 ${\$displaystyle (\Box + m^{2})\psi (x) = 0}, 메트릭 서명 η μ ν = diag ( + 1, - 1, - $1$) {\displaystyle \eta _{\mu \n$u$}$=${\$text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$는 푸리에 변환으로 해결됩니다. 푸리에 변환 삽입

그리고 복소 지수의 직교성을 사용하면 분산 관계를 얻을 수 있습니다.이것은 운동량을 껍질 위에 있는 운동량으로 제한하여 양의 에너지 및 음의 에너지 솔루션을 제공합니다.새로운 상수 집합 C (p) ${\displaystyle C(p)}$에 대하여, 해는양의 에너지와 음의 에너지 솔루션을 분리하여 처리하고 양의 p 0 {\$displaystyle p^{0}}$으로만 작동하는 것이 일반적입니다.마지막 단계에서 B(p) → B(- p) ${\displaystyle B(p)\rightarrow B($ - p$)}$의 이름이 변경되었습니다. 이제 p 0 ${\$ p$^{0}$ - 적분을 수행하여 델타 함수에서 양의 주파수 부분만 선택할 수 있습니다.

이것은 일반적으로 클라인-고든 방정식의 일반적인 해로 받아들여집니다. 초기 푸리에 변환에는 p ⋅ x = p $μ$ x ${\$displaystyle p\cdot x = p_{\mu }x^{\mu }와 같은 로렌츠 불변량이 포함되어 있기 때문에 마지막 표현도 클라인-고든 방정식에 대한 로렌츠 불변 솔루션입니다. 로렌츠 불변성이 필요하지 않은 경우 1/2 E(p) ${\displaystyle 1/2E(\mathbf {p})}$ - 팩터를 계수 $($ {\$displaystyle$ A$(p)}$ 및 $)$ {\$displaystyle$ B$(p)}$에 흡수할 수 있습니다.

역사

이 방정식은 물리학자 오스카 클라인과^[5] 월터 고든의 이름을 따서 지어졌는데,^[6] 1926년에 상대론적 전자를 설명한다고 제안했습니다. 블라디미르 포크는 클라인의 연구가 있은 지 얼마 되지 않은 1926년에 독립적으로 방정식을 발견했는데,^[7] 클라인의 논문은 1926년 4월 28일에, 포크의 논문은 1926년 7월 30일에, 고든의 논문은 1926년 9월 29일에 각각 접수되었습니다. 같은 해에 요한 쿠다르, 테오필레 드 돈더, 프란스-H. 반 덴 던겐, 루이 드 브로이 등이 비슷한 주장을 했습니다. 전자의 스핀을 모델링하는 데 디랙 방정식이 필요하다는 것이 밝혀졌지만, 클라인-고든 방정식은 파이온과 같은 스핀이 없는 상대론적 합성 입자를 정확하게 설명합니다. 2012년 7월 4일, 유럽 원자력 연구 기구 CERN은 힉스 보손의 발견을 발표했습니다. 힉스 보손은 스핀제로 입자이기 때문에 클라인-고든 방정식에 의해 처음으로 관측된 표면상의 기본 입자입니다. 관측된 힉스 보손이 표준 모델의 것인지 아니면 더 이국적인, 아마도 복합적인 형태인지를 식별하기 위해서는 추가 실험과 분석이 필요합니다.

클라인-고든 방정식은 처음에 슈뢰딩거가 드브로이 파동을 기술하는 방정식을 찾는 과정에서 양자파동 방정식으로 간주되었습니다. 방정식은 1925년 말의 수첩에서 발견되는데, 수소 원자에 적용하는 원고를 준비한 것으로 보입니다. 그러나 이 방정식은 전자의 스핀을 고려하지 않기 때문에 n번째 에너지 준위에 대해 4n/2n - 1의 비율로 분할 패턴의 전체 크기를 과대평가하는 등 수소 원자의 미세 구조를 잘못 예측하고 있습니다. 그러나 궤도-운동량 양자수 l이 총 각도-운동량 양자수 j로 대체되면 디랙 방정식 상대론적 스펙트럼은 쉽게 복구됩니다.^[8] 1926년 1월, 슈뢰딩거는 그의 방정식 대신에 그의 방정식을 출판하기 위해 제출했는데, 이것은 미세한 구조 없이 수소의 보어 에너지 수준을 예측하는 비상대론적 근사치입니다.

슈뢰딩거 방정식이 소개된 직후인 1926년, 블라디미르 포크는 힘이 속도에 의존하는 자기장의 경우에 대한 일반화에 대한 기사를 작성하고 독립적으로 이 방정식을 유도했습니다. 클라인과 포크 모두 칼루자와 클라인의 방법을 사용했습니다. Fock은 파동 방정식의 게이지 이론도 결정했습니다. 자유 입자에 대한 클라인-고든 방정식은 단순한 평면파 해를 갖습니다.

파생

자유 입자의 에너지에 대한 비상대론적 방정식은

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.}$

이를 양자화하면 자유 입자에 대한 비상대론적 슈뢰딩거 방정식을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {\mathbf {\}^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}\psi,}$

어디에

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\n} }$

는 운동량 연산자(∇는 del 연산자)이며,

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

에너지 연산자입니다.

슈뢰딩거 방정식은 상대론적으로 불변하지 않아 특수 상대론과 일치하지 않는다는 것을 의미합니다.

에너지를 설명하는 특수 상대성 이론의 항등식을 사용하는 것은 당연합니다.

${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E.}$

그러면 운동량과 에너지에 대한 양자역학 연산자를 삽입하는 것만으로도 방정식이 생성됩니다.

${\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\n)abla})^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}\,\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}\psi .}$

미분 연산자의 제곱근은 푸리에 변환의 도움으로 정의될 수 있지만, 디랙은 공간과 시간 도함수의 비대칭성 때문에 상대적으로 불변하는 방식으로 외부 전자기장을 포함하는 것이 불가능하다는 것을 발견했습니다. 그래서 그는 전자기력의 작용을 설명하기 위해 수정할 수 있는 다른 방정식을 찾았습니다. 또한 이 방정식은 현재 상태에서 비국소적입니다(비국소 방정식 소개도 참조).

대신 클라인과 고든은 위의 정체성의 제곱에서 시작했습니다.

${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2},}$

양자화되면, 그것은

${\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\n)abla})^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}\right)^{2}\psi,}$

로 단순화되는.

${\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}\psi .}$

기간 수익률 재정렬

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$

이 식에서 허수에 대한 언급이 모두 사라졌기 때문에 실수 값을 갖는 분야뿐만 아니라 복잡한 값을 갖는 분야에도 적용할 수 있습니다.

민코프스키 메트릭 다이어그램의 역수(-c², 1, 1, 1)를 사용하여 처음 두 항을 다시 쓰고 아인슈타인 요약 규칙을 명시적으로 쓰는 것은 우리가 얻는 것입니다.

${\displaystyle -\eta ^{\mu \nu}\partial _{\mu}\,\partial _{\nu }\psi \equiv \sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}-\eta ^{\mu \nu}\partial _{\mu}\,\partial _{\nu}\psi ={\frac {1}{c^{2}}\partial_{0}^{2}\psi -\sum_{\nu =1}^{3}\partial _{\nu}\,\partial _{\nu}\psi ={\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi .}$

따라서 클라인-고든 방정식은 공변 표기법으로 작성될 수 있습니다. 이것은 종종 다음과 같은 형태의 약어를 의미합니다.

${\displaystyle(\Box +\mu ^{2})\psi =0,}$

어디에

${\displaystyle \mu = {\frac {mc}{\hbar}},}$

그리고.

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}.$

이 연산자를 파동 연산자라고 합니다.

오늘날 이 형태는 스핀-0 입자에 대한 상대론적 필드 방정식으로 해석됩니다.^[3] 또한, 자유 디랙 방정식에 대한 어떤 해의 구성 요소(스핀-1/2 입자의 경우)도 자동적으로 자유 클라인-고든 방정식에 대한 해입니다. 이는 바르그만-비그너 방정식으로 인해 스핀의 입자로 일반화됩니다. 또한 양자장 이론에서 모든 양자장의 모든 구성 요소는 자유 클라인-고든 방정식을 만족해야 ^[9]하므로 방정식은 양자장의 일반적인 표현입니다.

퍼텐셜에서의 클라인-고든 방정식

클라인-고든 방정식은 어떤 퍼텐셜 $($ψ) ${\displaystyle$ V(\psi)}의 장을 다음과 같이 설명하도록 일반화될 수 있습니다.

${\displaystyle \Box \psi +{\frac {\partial V}{\partial \psi }}=0.}$

그렇다면 클라인-고든 방정식은 경우 V(ψ) = M2ψ ¯ ψ ${\displaystyle$ V(\psi) = M^{2}{\bar {\psi }\psi }입니다.

상호 작용 이론에서 발생하는 또 다른 일반적인 잠재력 선택은실제 $스칼라장$ ϕ에 대한ϕ 4 ${\displaystyle$\phi ^{4}} 잠재력입니다.${\$displaystyle \phi,}

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}.}$

힉스 부문

표준 모델의 순수 힉스 보손 섹터는 이 섹션의 H ${\displaystyle H}$로 표시되는 잠재력을 가진 클라인-고든 필드에 의해 모델링됩니다. 표준 모델은 게이지 이론이므로 필드는 로렌츠 그룹에서 사소하게 변환되지만 SU(2) {\$displaystyle {\$text$}$의 작용$하$에서 C 2${\displaystyle$ \mathbb {C$}$ $^{2}$ - 값 벡터로 $변환$됩니다.$SU}}(2)}$ 게이지 그룹의 일부입니다. 따라서 벡터 필드 H: R 1, 3 → C 2 {\$displaystyle$ H$:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{2}}$이지만, 스칼라가 로렌츠 그룹에서 변환(formally, 표현)을 설명하기 때문에 여전히 스칼라 필드라고 합니다. 이것은 스칼라 색역학 섹션에서도 아래에 설명되어 있습니다.

힉스장은 전위에 의해 모델링됩니다.

$λ$$}H^{\dagger }H+\lambda (H^{\dagger }H)^{2}}$,

이는ϕ 4 ${\displaystyle \phi$ ^{4}} 전위의 일반화로 볼 수 있지만, 중요한 차이점은 최소값의 원을 가지고 있다는 것입니다. 이 관찰은 표준 모델의 자발적 대칭 깨짐 이론에서 중요한 것입니다.

보존된 U(1) 전류

복소 필드ψ${\displaystyle$ \psi$}$에 대한 클라인-고든 방정식(및 작용)은U(1) ${\displaystyle${\text{$U}}(1)}$대칭입니다. 즉, 변형하에서

${\displaystyle \psi(x)\mapsto e^{i\theta}\psi(x),}$

${\displaystyle {\bar {\psi }(x)\mapsto e^{-i\theta}{\bar {\psi }(x),}$

클라인-고든 방정식은 불변이며, 작용도 마찬가지입니다(아래 참조). 필드에 대한 노이더 정리에 의해, 이 대칭에 대응하는 현재 J μ ${\$ J$^{\mu}}$는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle J^{\mu}(x)={\frac {e}{2m}}\left(\,{\bar {\psi }}(x)\partial ^{\mu }\psi(x)-\partial ^{\mu }{\bar {\psi }(x)\,\right)}$

보존 방정식 ∂ μ J μ(x) = 0$.$ {\displaystyle \partial _{\mu}J^{\mu}(x) = 0.} 보존된 전류의 형태는Noether의정리를 U (1) {\displaystyle ${\text}$에 적용하여 체계적으로 유도할 수 있습니다.$U}}(1)}$대칭입니다. 여기서는 그렇게 하지 않고, 이 전류가 보존되어 있는지 확인하기만 하면 됩니다.

공변 표기법과 대부분 플러스 서명으로 작성된$질량$ M ${\displaystyle$M}의 복소 필드ψ (x) ${\displaystyle$\psi (x)}에 대한 클라인-고든 방정식으로부터,

${\displaystyle(\square +m^{2})\psi(x)=0}$

그리고 그것의 복잡한 결합체.

${\displaystyle(\square +m^{2}){\bar {\psi }}(x)=0.}$

ψ ¯(x$)$ {\$displaystyle$ {\psi }}(x)} 및 ψ(x) {\displaystyle \psi(x)}(및 명시적 x {\displaystyle x} 의존성의 간결성을 위해 생략)에 각각 왼쪽을 곱하면,

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\square +m^{2})\psi =0,}$

${\displaystyle \psi(\square +m^{2}){\bar {\psi }}=0.}$

후자에서 전자를 빼면, 우리는

${\displaystyle {\bar {\psi }\square \psi -\psi \square {\bar {\psi }=0,}$

또는 인덱스 표기법으로,

${\displaystyle {\bar {\psi }}\partial _{\mu}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}=0.}$

이를 현재 J μ(x)≡ ψ ∗ μ ψ(x ) - ψ μ ψ ∗(x ) - ∂ μ ∂(x ), {\displaystyle J^{\mu }(x)\equiv \psi ^{*}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\partial ^{\mu }\psi ^{*}(x),}을 구하면

${\displaystyle \partial_{\mu}J^{\mu}(x)=0.}$

이 U (1) ${\displaystyle {\text}$$U}}(1)}$ 대칭은 전역 대칭이지만 로컬 또는 게이지 대칭을 만들기 위해 측정할 수도 있습니다. 스칼라 QED 아래를 참조하십시오. 게이지 대칭의 이름은 다소 오해의 여지가 있습니다. 글로벌 대칭은 진정한 대칭인 반면 실제로는 중복입니다.

라그랑주 공식

클라인-고든 방정식은 작용의 오일러-라그랑주 방정식으로 발생하는 변분법에 의해서도 유도될 수 있습니다.

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left (-\hbar ^{2}\eta ^{\mu \nu}\partial _{\mu}{\bar {\psi }}\,\partial _{\nu }\psi -M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x,}$

자연 단위에서는 서명이 대부분 마이너스인 상태에서 동작은 단순한 형태를 취합니다.

질량 m ${\displaystyle m}$의 실수 스칼라장에 대하여, 그리고

질량 M ${\displaystyle$ M$}$의 복소 스칼라장에 대하여.

응력-에너지 텐서 공식을 라그랑지안 밀도(적분 내부의 양)에 적용하면 스칼라장의 응력-에너지 텐서를 도출할 수 있습니다. 그렇다.

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\hbar ^{2}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu}\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\psi }\,\partial _{\beta }\,\eta ^{\mu \nu }M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi .}$

그리고 자연 단위로,

${\displaystyle T^{\mu \nu}=2\partial ^{\mu}{\bar {\psi }}\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }(\partial ^{\rho }{\bar {\psi }}\partial _{\rho }\psi -M^{2}{\bar {\psi }}\psi )}$

모든 공간에 걸쳐 시간-시간 성분⁰⁰ T를 통합함으로써 양-주파수 평면파 솔루션과 음-주파수 평면파 솔루션이 모두 양의 에너지를 가진 입자와 물리적으로 연관될 수 있음을 보여줄 수 있습니다. 이것은 디랙 방정식과 그 에너지-운동량 텐서의 경우가 아닙니다.^[3]

응력 에너지 텐서는 시공간 변환 x μ ↦ x μ+ c μ {\$displaystyle$x^{\$mu}\mapsto x^{\mu}+$c^{\mu}} 하에서 클라인-고든 방정식의 불변성에 해당하는 보존된 전류의 집합입니다. 따라서 각 구성 요소는 보존됩니다. $ν =$$u$}$=$0}(이는 온쉘, 즉 클라인-고든 방정식이 만족될 때만 유지됩니다.) 다음은 T0ν${\displaystyle$ T^{0\n의 적분입니다.$u}}$ 여유 공간은 각$ν$ ${\displaystyle$ \n에 대한 보존된 수량입니다.$u$ 이들은$ν =$ 0 ${\displaystyle$ \n에 대한 총 에너지의 물리적 해석입니다.$u$ $=$ 0$}$ 및 $ν =$ i ${\displaystyle$ \n에 대한 총 운동량u $=$i}(i $∈$ {1, 2, )$3$ } ${\displaystyle$ i$\in \{1,2,3$

비상대론적 한계

고전장

고전적인 클라인-고든 장 ψ(x, t)의 비상대론적 한계(v ≪ c)를 취하면, 안사츠가 진동 정지 질량 에너지 항을 인수하는 것으로 시작됩니다.

${\displaystyle \psi (\mathbb {x} ,t)=\phi (\mathbb {x} ,t)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\quad {\textrm {where}}\quad \phi (\mathbb {x} ,t)=u_{E}(x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}E't}.}$

운동 에너지 E' = E- m c 2 = m 2 c $4$ + c 2 p 2 - m c 2 ≈ p 22 m {\displaystyle E' = E-mc^{2}={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}}-mc^{2}}\approx {\frac {p^{2}}}{2m}}, E' $≪$ m c2 {\$displaystyle$ E'\ll mc^{2}를relat론적 한계 v =p/m ≪ c {\displaystyle v = p/m\ll c}에서, 따라서

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=E'\phi \ll mc^{2}\phi \quad {\textrm {and}\quad (i\hbar)}^{2}{\frac {\partial t^{2}\phi }}=(E')^{2}\phi \ll (mc^{2})^{2}\phi.}$

이를 적용하면ψ {\displaystyle\psi$}$의 두 번째 시간 도함수의 비상대론적 한계를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\hbar }}=\left (-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }\phi +{\frac {\partial \phi}{\partial t}\right)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }{\mc^{2}t}\approx -i{\frac {mc^{2}}{\hbar }\phi \,e^{-{\frac {i}}{\hbar }}mc^{2}t}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}=-\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar partial}}{\frac {\partial t}}+\left ({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi -{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}\approx -\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {partial \phi }{\partial t}}+\left ({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

자유 클라인-고든 방정식에 대입하면 c -2 ∂ t 2 ψ = ∇ 2 ψ - m 2 ψ {\displaystyle c^{-2}\partial _{t}^{2}\psi =\n$abla ^{2}\psi$-m$^{$2}\$psi$}, 수율

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx \left(\nabla ^{2}-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right)\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

(지수를 나누고 질량항을 빼면) 다음과 같이 단순화됩니다.

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi .}$

이것은 고전적인 슈뢰딩거 장입니다.

양자장

양자 클라인-고든 필드의 유사한 한계는 필드 연산자의 비가환성으로 인해 복잡합니다. 한계 v ≪ c에서 생성 및 소멸 연산자는 분리되어 독립적인 양자 슈뢰딩거 장으로 작동합니다.

스칼라 전기역학

복잡한 클라인-고든 필드ψ${\displaystyle \$psi}를 게이지 불변 방식으로 전자기학과 상호 작용시키는 방법이 있습니다. 우리는 (부분) 도함수를 게이지 공변 도함수로 대체할 수 있습니다. 로컬 U(1) ${\displaystyle {\text}$아래에 있습니다.$U}}(1)}$ 게이지 변환, 필드 변환:

${\displaystyle \psi \maps to \psi '=e^{i\theta(x)}\psi,}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\map to {\bar {\psi }}'=e^{-i\theta(x)}{\bar {\psi }}}$

여기서θ (x) =θ (t, x) {\$displaystyle$ \theta (x) =\theta (t,{\textbf {x}}}는 시공간의 함수이므로 전체 시공간의 상수가 아닌 로컬 변환이 됩니다. 이는 글로벌 U (1) ${\$displaystyle {\text}입니다.$U}}(1)}$ 변환. 미묘한 점은 함수θ (x) ${\displaystyle \theta$ (x)}를 상수 함수로 취할 때 전역 변환이 로컬 변환으로 발생할 수 있다는 것입니다.

잘 공식화된 이론은 그러한 변화 하에서 불변해야 합니다. 정확히 말하면, 이것은 운동과 행동의 방정식(아래 참조)이 불변하다는 것을 의미합니다. 이를 달성하려면 일반 도함수 ∂$μ {\displaystyle \partial_${\mu}}를 게이지 공변량도함수 $Dμ$ {\$displaystyle$D_{\mu}}로 대체해야 합니다.

${\displaystyle D_{\mu}\psi =(\partial _{\mu}-ieA_{\mu})\psi }$

${\displaystyle D_{\mu}{\bar {\psi }}=(\partial _{\mu}+ieA_{\mu }){\bar {\psi }}}$

여기서 4-전위 또는 게이지 필드 Aμ{\$displaystyle A_${\mu$}}$는 게이지변환θ${\$displaystyle \theta} 아래에서 다음과 같이 변환됩니다.

μ ↦ A μ' = μ +1 e$∂$ μ θ {\displaystyle A_{\mu}\maps to A'_{\mu} = A_{\mu}+{\frac {1}{e}\partial _{\mu}\theta}.

이러한 정의를 사용하면 공변 도함수는 다음과 같이 변환됩니다.

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\theta }D_{\mu }\psi }$

따라서 자연 단위에서 클라인-고든 방정식은

${\displaystyle D_{\mu }D^{\mu }\psi -M^{2}\psi =0.}$

눈에 띄지 않는 U(1) {\displaystyle ${\text}$ 이후$U}}(1)}$ 대칭은 복잡한 클라인-고든 이론에만 존재하며, 이 결합 및 게이지 U로의 승격(1) ${\displaystyle {\text}$$U}}(1)}$ 대칭은 실제 클라인-고든 이론이 아닌 복잡한 클라인-고든 이론과만 호환됩니다.

자연 단위로, 그리고 대부분 서명을 뺀 채로 우리가 가지고 있는

여기서 F μ ν = ∂ μ A ν - ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \n$u }=\partial _{\mu }A_{\n$$u}-\partial _{\n$$u}A_{\mu}}$는 관점에 따라 맥스웰 텐서, 필드 강도 또는 곡률로 알려져 있습니다.

이 이론은 종종 스칼라 양자 전기역학 또는 스칼라 QED로 알려져 있지만 여기에서 논의한 모든 측면은 고전적입니다.

스칼라 색역학

게이지 그룹 G ${\displaystyle G}$를 사용하여 비-아벨리안 게이지 이론으로 확장할 수 있으며, 여기서 저희는 스칼라 클라인-고든 작용을 양-밀스 라그랑지안과 결합합니다. 여기서 필드는 실제로 벡터 값이지만 여전히 스칼라 필드로 설명됩니다. 스칼라는 시공간 변환에서 변환을 설명하지만 게이지 그룹의 작용에서는 변환을 설명하지 않습니다.

구체성을 위해 G ${\displaystyle G}$를 SU(N) ${\displaystyle {\text}$로 고정합니다.$SU}}(N$ 일부 $N$$≥$ 2 {\$displaystyle$ N$\$geq 2}에 대한 특수 유니터리 그룹입니다. 함수U로 설명할 수 있는 게이지변환U (x ) ${\displaystyle$U(x)} 아래에서 : R 1, 3 $→$SU (N ), ${\displaystyle U:\mathbb {R}$ ^{1,3$}\rightarrow$ {\text}$SU}}(N),}$ 스칼라 필드$ψ$${\$displaystyle \psi}가 $CN {\displaystyle \mathbb {$C} ^{N} 벡터로 변환됩니다.

${\displaystyle \psi(x)\maps to U(x)\psi(x)}$

ψ †(x )↦ $ψ$ † (x) U † ( x ) {\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)\maps to \psi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)}.

공분산 도함수는

${\displaystyle D_{\mu}\psi =\partial _{\mu}\psi -igA_{\mu}\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi ^{\dagger }=\partial _{\mu }\psi ^{\dagger }+ig\psi ^{\mu }A_{\mu }^{\dagger }}$

게이지 필드 또는 연결부가 다음과 같이 변환되는 경우

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}\partial _{\mu }UU^{-1}.}$

이 필드는 벡터 공간 CN ${\$에 작용하는 행렬 값 필드로 볼 수 있습니다.

최종적으로 색자계의 세기 또는 곡률을 정의하면,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu}-\partial _{\nu }A_{\mu }+g(A_{\mu }A_{\nu}-A_{\nu}A_{\mu}),}$

행동을 정의할 수 있습니다.

곡선 시공간 위의 클라인-고든

일반 상대성 이론에서는 편미분을 공변 도함수로 대체하여 중력의 효과를 포함하며, 클라인-고든 방정식은 (대부분 더하기 기호로)^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu}\nabla_{\mu}(\partial_{\n)u }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu}\partial _{\mu}\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu}\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}}$

혹은 그에 상응하는,

${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}\partial _{\mu}\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,}$

여기서 g는 중력 퍼텐셜장인 메트릭 텐서의 역수, g는 메트릭 텐서의 행렬식, ∇은 공변 도함수, γ은 중력장인 크리스토펠 기호입니다.

자연 단위를 사용하면 이것이 됩니다.

이것은 또한 시공간 다양체M {\$displaystyle M}$에 대한 동작 공식을 허용합니다. 추상 인덱스 표기법과 대부분 더하기 서명을 사용하면 다음과 같습니다.

아니면

참고 항목

• 양자장이론
• 4차 상호작용
• 상대론적 파동방정식
• 디랙 방정식(스핀 1/2)
• 프로카 액션(스핀 1)
• Rarita-Schwinger 방정식(스핀 3/2)
• 스칼라장론
• 사인-고든 방정식

언급

메모들

참고문헌

• Davydov, A. S. (1976). Quantum Mechanics, 2nd Edition. Pergamon Press. ISBN 0-08-020437-6.
• Feshbach, H.; Villars, F. (1958). "Elementary relativistic wave mechanics of spin 0 and spin 1/2 particles". Reviews of Modern Physics. 30 (1): 24–45. Bibcode:1958RvMP...30...24F. doi:10.1103/RevModPhys.30.24.
• Gordon, Walter (1926). "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie". Zeitschrift für Physik. 40 (1–2): 117. Bibcode:1926ZPhy...40..117G. doi:10.1007/BF01390840. S2CID 122254400.
• Greiner, W. (2000). Relativistic Quantum Mechanics. Wave Equations (3rd ed.). Springer Verlag. ISBN 3-5406-74578.
• Greiner, W.; Müller, B. (1994). Quantum Mechanics: Symmetries (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3540580805.
• Gross, F. (1993). Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory (1st ed.). Wiley-VCH. ISBN 978-0471591139.
• Klein, O. (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik. 37 (12): 895. Bibcode:1926ZPhy...37..895K. doi:10.1007/BF01397481.
• Sakurai, J. J. (1967). Advanced Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2.
• Weinberg, S. (2002). The Quantum Theory of Fields. Vol. I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.

외부 링크

• "Klein–Gordon equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Klein-Gordon Equation". MathWorld.
• EqWorld의 선형 클라인-고든 방정식: 수학 방정식의 세계.
• EqWorld의 비선형 클라인-고든 방정식: 수학 방정식의 세계.
• 비국소 방정식에 대한 소개.