Jump to content

Seritë (matematikë)

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë

matematikë, një seri është, përafërsisht, veprimi i shtimit të pafundësisht shumë madhësive, njëra pas tjetrës, mbi një madhësi fillestare. [1] Studimi i serive është një pjesë kryesore e kalkulusit dhe përgjithësimit të tij, analizës matematikore . Seritë përdoren në shumicën e fushave të matematikës, madje edhe për studimin e strukturave të fundme (si p.sh. në kombinatorikë ) nëpërmjet funksioneve gjenerues . Përveç përhapjes së tyre në matematikë, seritë e pafundme përdoren gjerësisht edhe në disiplina të tjera sasiore si fizika, shkenca kompjuterike, statistika dhe financa .

Për një kohë të gjatë, ideja se një shumë e tillë potencialisht e pafundme mund të prodhonte një rezultat të fundëm konsiderohej paradoksale . Ky paradoks u zgjidh duke përdorur konceptin e një limiti gjatë shekullit të 17-të. Paradoksi i Zenonit për Akilin dhe breshkën ilustron këtë veti kundërintuitive të shumave të pafundme: Akili vrapon pas një breshke, por kur ai arrin pozicionin e breshkës në fillim të garës, breshka ka arritur një pozicion të dytë; kur ai arrin këtë pozicion të dytë, breshka është në një pozicion të tretë, e kështu me radhë. Zenoni arriti në përfundimin se Akili nuk mund ta arrinte kurrë breshkën, dhe kështu kjo lëvizje nuk ekziston. Zeno e ndau garën në pafundësisht shumë nën-gara, ku secila kërkon një kohë të kufizuar, kështu që koha totale për Akilin për të kapur breshkën jepet nga një seri. Zgjidhja e paradoksit është se, megjithëse seria ka një numër të pafund termash, ajo ka një shumë të fundme, e cila i jep kohën e nevojshme Akilit për të kapur breshkën.

Në terminologjinë moderne, çdo varg (i renditur) i pafundëm kufizave (d.m.th., numrave, funksioneve ose çdo gjëje që mund të shtohet) përcakton një seri, e cila është veprimi i mbledhjes së kufizave të vargut, , njëra pas tjetrës. Për të theksuar se ka një numër të pafund termash, një seri mund të quhet seri e pafundme . Një seri e tillë përfaqësohet (ose shënohet) me një shprehje si


ose, duke përdorur shenjën e shumës ,

Vargu i pafundëm i shumave të nënkuptuara nga një seri nuk mund të kryhet në mënyrë efektive (të paktën në një kohë të fundme). Megjithatë, nëse grupi të cilit i përkasin termat dhe shumat e tyre të fundme ka një nocion limit, ndonjëherë është e mundur t'i caktohet një vlerë një serie, e quajtur shuma e serisë. Kjo vlerë është kufiri pasi n tenton në pafundësi (nëse ekziston kufiri) i shumave të fundme të n termave të parë të serisë, të cilat quhen shumat e n ta të pjesshme të serisë. Kjo paraqitet si,

Kur ekziston ky kufi, thuhet se seria është konvergjente ose e përmbledhur, ose se sekuenca është konvergjente . Në këtë rast, kufiri quhet shuma e serisë. Ndryshe, seria thuhet se është divergjente . [2]

Shënimi tregon si serinë - që është procesi i nënkuptuar i shtimit të termave njëri pas tjetrit në mënyrë të pacaktuar - dhe, nëse seria është konvergjente, shumën e serisë - rezultatin e procesit. Ky është një përgjithësim i konventës së ngjashme të shënjimit me si mbledhja - procesi i mbledhjes - dhe rezultati i tij - shuma e a dhe b .

Zakonisht, termat e një serie vijnë nga një unazë, shpesh nga fusha numrave realë ose të fushës numrave kompleksë . Në këtë rast, grupi i të gjitha serive është në vetvete një unazë (dhe madje një algjebër shoqëruese ), në të cilën mbledhja konsiston në shtimin e termit të serisë për term, dhe shumëzimi është prodhimi Cauchy .


Shembuj të serive numerike

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

  • Një seri gjeometrike është ajo ku çdo term i njëpasnjëshëm prodhohet duke shumëzuar termin e mëparshëm me një numër konstant (i quajtur raport i përbashkët në këtë kontekst). Për shembull: [2]

Në përgjithësi, seria gjeometrike

konvergon atëherë dhe vetëm atëherë kur , në të cilin rast ajo konvergon në .

  • Seria harmonike është seria [3]

Seria harmonike është divergjente .

  • Një seri alternative është një seri ku termat alternojnë shenjën. Shembuj:

( seri harmonike alternative ) dhe

  • Një seri teleskopike

Logaritmi natyror i 2

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

[2]

Konvergjenca absolute

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Një seri

konvergjon absolutisht nëse seria e vlerave absolute të saj

konvergon. Kjo është e mjaftueshme për të garantuar jo vetëm që seria origjinale konvergjon në një kufi, por edhe që çdo rirenditje e saj konvergjon në të njëjtin kufi.

  1. ^ Thompson, Silvanus; Gardner, Martin (1998). Calculus Made Easy. ISBN 978-0-312-18548-0. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  2. ^ a b c Weisstein, Eric W. "Series". mathworld.wolfram.com (në anglisht). Marrë më 2020-08-30. Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":0" defined multiple times with different content
  3. ^ "Infinite Series". www.mathsisfun.com. Marrë më 2020-08-30. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)