U radianti (gìniralmenti innìcatu rad quannu nìcissariu), eni la unitati di misura di la larchizza di li anguli dû Sistema 'ntirnazziunali di unitati di misura. Tali misura rapprìsenta u rapportu tra la lunchizza di l'arcu di circunfirenza tracciatu da l'angulu e la lunchizza dû raggiu di tali circunfirenza; essennu u rapportu tra dui grannizzi omogenee eni nu nùmmaru puru.
Si pigghìassi na circunfirenza cu centru nto vertici di l'angulu e lu sò arcu ntercìttatu da li dui semirette ca formanu l'angulu. Chiamammu
a lunchizza di tali arcu,
chidda dû raggiu,
chidda di la circunfirenza e
l'ampiezza di l'angulu dìscrittu da l'arcu.
Da ciò si evìnci ca u radianti eni nu nummaru puru, ossia eni adimensionali, datu ca esprimi u rapportu tra dui lunchizzi.
Infatti: [rad] = [m] / [m] = [1].
Dìfinemmu comu radianti l'ampiezza di l'angulu ca suttènni nu arcu di circunfirenza ca, rettìficatu, avi lunchizza uguali a lu raggiu di la circunfirenza stissa. 'N paroli poviri nu radianti eni l'angulu ca si avi 'n currìspunnenza di nu arcu di lunchizza pari a lu raggiu di la circunfirenza.
Essennu a lunchizza di la circunfirenza
uguali a
e lu raggiu longu
, l'angulu di nu cerchiu eni uguali a
.
![{\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c859faf8adc302cfe215e09fb7c2359d2e9ad0f5)
Ricurdannu ca la misura di la lunchizza di la circunfirenza eni:
![{\displaystyle c=2\pi r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050ef62d8e4715d7226a76d18e325f4a2add0f03)
Si pò scriviri a seguenti prupurzioni:
![{\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e580c42d47d711995b672aa78d05406ddb4ef0e2)
arrìsulta funzioni di
:
![{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa982a7305ef0f904edc88f9e3e6707958caf3b)
Ossia:
![{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93dce59814985a7f96853a5e2ae3a7ccaa84ae1)
Da cui:
![{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e77099e3f02a8c670673b5e0a89f0cb2a0917bf)
Dunque, punnnu
, da l'equazzioni pricirenti si utteni:
![{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b400ebd41d9f4f12b4923c889e2fbea3a86748b9)
Formulamu ùora nu angulu giru 'n radianti:
![{\displaystyle 360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b34aa8c6bd0bb56db77b55ef64d4e24c90afee)
Cu la seguenti prupurzioni si ottènnu i formuli pì passari da radianti a gradi sessagesimali e viciversa:
![{\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf9234456041cdef6e8b6e3b60c37ee1640ddb9)
![{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08986e3a714b5d3e5cd43c977e029d3259c98d6c)
![{\displaystyle \alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd721b0dfd976c14df812318d5dda52f59bd60e1)
A misura dû radianti cunsenti di aviri formuli trigonumetriche assai cchìu facili di chiddi ca si avissìru aduttannu i gradi sessagesimali o avutri unitati di misura di li anguli.
Sustanzialmenti i vantaggi dû radianti dìrivanu da lu fattu ca cu tali unitati si uttèni a semplici esprìssioni;
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2fb52f5211c7b7aa69d9e75195afaab5b9d5b1)
E da chista si ottènnu assai avutri eleganti identitati dû calculu infinitesimali ca hannu mpurtanti cunsicuenzi pratiche. Tra chisti:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0239876162b11c79d29c30db912b151793e03c1c)
![{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279398d87efd8ef80697960fa0231fdedaa10731)
.
Se si misurassìru li anguli 'n gradi o 'n avutri unitati di misura, formuli comu i pricirinti avissìru a essìri appìsantiti da custanti di cunvìrsioni e da loru putenzi.
Nu radianti eni uguali a
gradi. Pì cunvirtiri radianti 'n gradi eni quinni sufficenti multiplicari pì
:
![{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=\alpha ^{(\mathrm {rad} )}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0236b17405e3dcd2c8a9256681de97afcafcd72b)
Pì esempiu:
![{\displaystyle 1{\mbox{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}2958^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee899b9ea3cc5896f110688d3fe4408594e404fd)
![{\displaystyle 2{,}5{\mbox{ rad}}=2{,}5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143{,}2394^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad58836170f84d20891e4244d5afae9e6508bf5)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\mbox{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7df0fb25ab26d036d15e1f502f34f1c167a8cee)
Nta stissa maniera, pì cunvirtiri gradi 'n radianti si multiplicanu pì π/180:
![{\displaystyle \alpha ^{(\mathrm {rad} )}=\alpha ^{(\circ )}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9bfe42f22c3a03212c023b9924c99a34a2ff0e)
Pì esempiu:
![{\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}0175{\mbox{ rad}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd3401fcefdcae1f253ed78b3a5a8d69cf98bae)
![{\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}4014{\mbox{ rad}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad21bc0e4b4790e236a5fa3e1e82aad9a7245e4a)
gradi
|
radianti
|
0 |
0
|
15 |
π /12
|
30 |
π /6
|
45 |
π /4
|
60 |
π /3
|
90 |
π /2
|
120 |
2/3 π
|
135 |
3/4 π
|
150 |
5/6 π
|
|
gradi
|
radianti
|
180 |
π
|
210 |
7/6 π
|
225 |
5/4 π
|
240 |
4/3 π
|
270 |
3/2 π
|
300 |
5/3 π
|
315 |
7/4 π
|
330 |
11/6 π
|
360 |
2π
|
|
Si avi quinni:
- 1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secunni
- 1 gradu = 0,01745 32925 19943 rad;
- 1 primu = 0,00029 08882 08666 rad
- 1 secunnu = 0,00000 48481 36811 rad