A lei dos cossenos é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras , que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo , isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos .[ 1] Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\widehat {A}},{\widehat {B}}}
e
C
^
,
{\displaystyle {\widehat {C}},}
com medidas respectivamente
a
,
b
{\displaystyle a,b}
e
c
,
{\displaystyle c,}
valem as relações:[ 1]
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
⋅
c
⋅
c
o
s
A
^
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
⋅
c
⋅
c
o
s
B
^
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
⋅
b
⋅
c
o
s
C
^
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!}
A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:
Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:[ 2]
A
B
C
,
B
C
D
,
B
A
D
{\displaystyle ABC,BCD,BAD\,\!}
.
Destes, pode-se extrair as seguintes relações:
b
=
n
+
m
{\displaystyle b=n+m\,\!}
e
m
=
c
⋅
c
o
s
A
^
{\displaystyle m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}
.
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD :[ 2]
a
2
=
n
2
+
h
2
{\displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!}
e para BAD:
c
2
=
m
2
+
h
2
{\displaystyle c^{2}=m^{2}+h^{2}\,\!}
Substituindo:
n
=
b
−
m
{\displaystyle n=b-m\,\!}
e
h
2
=
c
2
−
m
2
{\displaystyle h^{2}=c^{2}-m^{2}\,\!}
em
a
2
=
n
2
+
h
2
{\displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!}
teremos:
a
2
=
(
b
−
m
)
2
+
c
2
−
m
2
{\displaystyle a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!}
a
2
=
b
2
−
2
b
⋅
m
+
m
2
+
c
2
−
m
2
{\displaystyle a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!}
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
⋅
m
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m\,\!}
Entretanto, pode-se substituir a relação
m
=
c
⋅
c
o
s
A
^
{\displaystyle m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}
, do triângulo
B
A
D
{\displaystyle BAD\,\!}
, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
⋅
c
⋅
c
o
s
A
^
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
⋅
c
⋅
c
o
s
B
^
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
⋅
b
⋅
c
o
s
C
^
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!}
Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores : definimos um vetor
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
como sendo igual a
b
→
−
c
→
{\displaystyle {\vec {b}}-{\vec {c}}}
temos um triângulo formado pela soma
a
→
+
c
→
{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {c}}}
e o resultante
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
. Sabendo que
u
2
=
‖
u
→
‖
2
{\displaystyle u^{2}=\|{\vec {u}}\|^{2}}
e
u
→
⋅
v
→
=
‖
u
→
‖
⋅
‖
v
→
‖
⋅
c
o
s
(
θ
)
{\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|\cdot cos(\theta )}
sendo
θ
{\displaystyle \theta }
o ângulo entre os vetores
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
e
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
temos o seguinte desenvolvimento:
Triângulo formado por vetores
a
→
=
b
→
−
c
→
{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}-{\vec {c}}}
a
→
2
=
‖
a
→
‖
2
=
‖
(
b
→
−
c
→
)
‖
2
{\displaystyle {\vec {a}}^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}=\|({\vec {b}}-{\vec {c}})\|^{2}}
‖
a
→
‖
2
=
(
b
→
−
c
→
)
⋅
(
b
→
−
c
→
)
{\displaystyle \|{\vec {a}}\|^{2}=({\vec {b}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})}
‖
a
→
‖
2
=
‖
b
→
‖
2
+
‖
c
→
‖
2
−
2
b
→
⋅
c
→
{\displaystyle \|{\vec {a}}\|^{2}=\|{\vec {b}}\|^{2}+\|{\vec {c}}\|^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}
A lei dos cossenos, formulada nesta notação, pode ser escrita como:
‖
a
→
‖
2
=
‖
b
→
‖
2
+
‖
c
→
‖
2
−
2
‖
b
→
‖
‖
c
→
‖
cos
θ
‖
b
→
−
c
→
‖
2
=
‖
b
→
‖
2
+
‖
c
→
‖
2
−
2
‖
b
→
‖
‖
c
→
‖
cos
θ
2
‖
b
→
‖
‖
c
→
‖
cos
θ
=
‖
b
→
‖
2
+
‖
c
→
‖
2
−
‖
b
→
−
c
→
‖
2
‖
b
→
‖
‖
c
→
‖
cos
θ
=
‖
b
→
‖
2
+
‖
c
→
‖
2
−
(
‖
b
→
‖
2
−
2
b
→
⋅
c
→
+
‖
c
→
‖
2
)
2
‖
b
→
‖
‖
c
→
‖
cos
θ
=
b
→
⋅
c
→
{\displaystyle {\begin{aligned}\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\frac {\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-(\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2})}{2}}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\\end{aligned}}}
Que é claramente equivalente à fórmula acima derivada da teoria dos vetores.
Já que
θ
{\displaystyle \theta }
é o ângulo formado entre os vetores
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
e
c
→
{\displaystyle {\vec {c}}}
e considerando que o ponto da origem de
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
é o mesmo da origem de
c
→
{\displaystyle {\vec {c}}}
, dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
, logo formando um ângulo
A
^
{\displaystyle {\widehat {A}}}
.
Lei dos Cossenos
Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno , as seguintes relações:
cos
α
=
m
b
→
m
=
b
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {m}{b}}\to m=b\cos \alpha }
cos
β
=
n
a
→
n
=
a
cos
β
{\displaystyle \cos \beta ={\frac {n}{a}}\to n=a\cos \beta }
Somando as duas equações, como
m
+
n
=
c
{\displaystyle m+n=c}
, obtêm-se a relação:
c
=
b
cos
α
+
a
cos
β
{\displaystyle c=b\cos \alpha +a\cos \beta }
. Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:
a
=
b
cos
γ
+
c
cos
β
{\displaystyle a=b\cos \gamma +c\cos \beta }
b
=
a
cos
γ
+
c
cos
α
{\displaystyle b=a\cos \gamma +c\cos \alpha }
c
=
b
cos
α
+
a
cos
β
{\displaystyle c=b\cos \alpha +a\cos \beta }
Que consistem em um Sistema Linear , cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer , para tanto, temos:
Matriz dos Coeficientes (M):
M
=
[
0
c
b
c
0
a
b
a
0
]
{\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&c&b\\c&0&a\\b&a&0\end{bmatrix}}}
Matriz não Alterada na Coluna da Varíavel
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha }
(X):
X
=
[
a
c
b
b
0
a
c
a
0
]
{\displaystyle X={\begin{bmatrix}a&c&b\\b&0&a\\c&a&0\end{bmatrix}}}
Assim, é válida a igualdade
cos
α
=
d
e
t
[
X
]
d
e
t
[
M
]
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {det[X]}{det[M]}}}
e, portanto:
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha }
=
a
(
−
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
a
b
c
→
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
⋅
cos
α
{\displaystyle {a(-a^{2}+b^{2}+c^{2}) \over 2abc}\to a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
e, analogamente:
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
c
⋅
cos
β
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta }
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
⋅
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }
Referências