Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos. Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos ${\widehat {A}},{\widehat {B}}$ e ${\widehat {C}},$ com medidas respectivamente $a,b$ e $c,$ valem as relações:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!$

Demonstração

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:

Forma Geométrica

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:

$ABC,BCD,BAD\,\!$.

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:

$b=n+m\,\!$

e

$m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!$.

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:

$a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!$

e para BAD:

$c^{2}=m^{2}+h^{2}\,\!$

Substituindo:

$n=b-m\,\!$

e

$h^{2}=c^{2}-m^{2}\,\!$

em

$a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!$

teremos:

$a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!$

$a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m\,\!$

Entretanto, pode-se substituir a relação $m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!$, do triângulo $BAD\,\!$, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!$

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!$

Forma Vetorial

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: definimos um vetor ${\vec {a}}$ como sendo igual a ${\vec {b}}-{\vec {c}}$ temos um triângulo formado pela soma ${\vec {a}}+{\vec {c}}$ e o resultante ${\vec {b}}$. Sabendo que $u^{2}=\|{\vec {u}}\|^{2}$ e ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|\cdot cos(\theta )$ sendo $\theta$ o ângulo entre os vetores ${\vec {u}}$ e ${\vec {v}}$ temos o seguinte desenvolvimento:

Triângulo formado por vetores

${\vec {a}}={\vec {b}}-{\vec {c}}$

${\vec {a}}^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}=\|({\vec {b}}-{\vec {c}})\|^{2}$

$\|{\vec {a}}\|^{2}=({\vec {b}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})$

$\|{\vec {a}}\|^{2}=\|{\vec {b}}\|^{2}+\|{\vec {c}}\|^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$

A lei dos cossenos, formulada nesta notação, pode ser escrita como:

${\begin{aligned}\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\frac {\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-(\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2})}{2}}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\\end{aligned}}$

Que é claramente equivalente à fórmula acima derivada da teoria dos vetores.

Já que $\theta$ é o ângulo formado entre os vetores ${\vec {b}}$ e ${\vec {c}}$ e considerando que o ponto da origem de ${\vec {b}}$ é o mesmo da origem de ${\vec {c}}$, dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor ${\vec {a}}$, logo formando um ângulo ${\widehat {A}}$.

Forma Matricial

Lei dos Cossenos

Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:

$\cos \alpha ={\frac {m}{b}}\to m=b\cos \alpha$

$\cos \beta ={\frac {n}{a}}\to n=a\cos \beta$

Somando as duas equações, como $m+n=c$, obtêm-se a relação: $c=b\cos \alpha +a\cos \beta$ . Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:

$a=b\cos \gamma +c\cos \beta$

$b=a\cos \gamma +c\cos \alpha$

$c=b\cos \alpha +a\cos \beta$

Que consistem em um Sistema Linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:

Matriz dos Coeficientes (M): $M={\begin{bmatrix}0&c&b\\c&0&a\\b&a&0\end{bmatrix}}$

Matriz não Alterada na Coluna da Varíavel $\cos \alpha$ (X): $X={\begin{bmatrix}a&c&b\\b&0&a\\c&a&0\end{bmatrix}}$

Assim, é válida a igualdade $\cos \alpha ={\frac {det[X]}{det[M]}}$ e, portanto:

$\cos \alpha$ = ${a(-a^{2}+b^{2}+c^{2}) \over 2abc}\to a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

e, analogamente:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$

Ver também

• Lei dos senos

Ligações externas

• «Uma dedução simples da Lei dos Cossenos»