Направо към съдържанието

Косинусова теорема

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Косинусовата теорема в геометрията гласи:

Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.

Разглежда се триъгълник със страни , и (фиг. 1).

Фиг. 1. Косинусова теорема.

Тогава е в сила равенството

Тук, с се означава ъгълът, заключен между и . За страните и косинусовата теорема изглежда така:

Оттук лесно могат да се изразят и косинусите на дадените ъгли:

.

Когато един от ъглите на триъгълник е прав, косинусовата теорема се свежда до Питагоровата теорема.

Доказателство с Пигагорова теорема

[редактиране | редактиране на кода]

Нека да разгледаме триъгълника . От върха към страната е спусната височината (фиг. 2). От триъгълника следва:

Фиг. 2. Доказателство на косинусовата теорема.
,

Питагоровата теорема за двата триъгълника и се записва във вида

.

Очевидно, десните части на двете уравнения са равни, т.е.

.

След опростяване се получава

.

Доказателство с вектори

[редактиране | редактиране на кода]

Въвеждат се базисните вектори и .

Нека . По правилото за изваждане на вектори се получава:

След повдигане на квадрат се достига до равенството

От формулата за скаларно произведение на два вектора става ясно, че

С това теоремата е доказана.