Topologia różniczkowa
Topologia różniczkowa – dział topologii korzystający z pojęć i metod analizy matematycznej[1]; zajmuje się zwłaszcza rozmaitościami różniczkowymi i różniczkowymi odwzorowaniami, w szczególności dyfeomorfizmami, zanurzeniami różniczkowymi i wiązkami wektorowymi[2].
Ewolucja dyscypliny
[edytuj | edytuj kod]Pierwszych prób skonstruowania topologii na bazie rozmaitości, odwzorowań i form różniczkowych dokonał H. Poincare w końcu XIX wieku. Systematyczne zbudowanie topologii różniczkowej było jednak możliwe dopiero w 30. latach XX wieku[2]. Właśnie wtedy narodziła się nazwa tej dyscypliny, choć upowszechniła się dekady później[3].
W latach 50. odkryto różne struktury gładkie na sferze i sklasyfikowano rozmaitości homotopijnie równoważne sferze. Udowodniono również uogólnioną hipotezę Poincare, rozwiązano problem znajdowania pełnego układu niezmienników wszystkich rozmaitości jednospójnych (wymiaru nie mniejszego niż 5)[2].
W latach 60. metodami topologii różniczkowej rozwiązano wiele problemów:
- topologicznej niezmienniczości klas charakterystycznych rozmaitości rzeczywistych,
- związku między rozmaitościami różniczkowymi, kawałkami liniowymi i topologicznymi,
- uogólnienia na rozmaitości niejednospójne metod klasyfikacji rozmaitości gładkich.
Powstała algebraiczna i hermitowska K-teoria. Dla rozmaitości niejednospójnych odkryto związki między klasami charakterystycznymi i formami hermitowskimi nad grupą fundamentalną rozmaitości a jej homologiami[2]. Wtedy też nazwa topologii różniczkowej stała się powszechna[3].
W latach 70. zaczęto wykorzystywać metody topologii różniczkowej w fizyce matematycznej w teoriach cząstek elementarnych, ciekłych kryształów i przejść fazowych (w niskotemperaturowym nadciekłym helu)[2].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ topologia różniczkowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-02-05] .
- ↑ a b c d e И.М.Виногpaдoв (red.): Maтемaтичеcкaя энциклопедия. Mocквa: Coвeтскaя энциклопедия, 1979, s. 260-261. (ros.).
- ↑ a b
Jeff Miller, Differential topology [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-02-18].
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]Differential topology (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].