Grupa diedralna

Grupa diedralna^[a] – grupa izometrii płaszczyznowych wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną). Można ją także traktować jako grupę izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.

Ponieważ dla $n\geqslant 3$ grupa symetrii $n$ -kąta foremnego ma $2n$ elementów, to spotyka się dwa sposoby oznaczania tej grupy: symbolem $\mathrm {D} _{n},$ który wyróżnia liczbę krawędzi wielokąta (tj. stopień) oraz $\mathrm {D} _{2n},$ gdzie kładzie się nacisk na liczbę jej elementów (tj. rząd) – w dalszej części artykułu stosowana będzie pierwsza z notacji.

Definicję można rozszerzyć również na mniejsze od $3$ liczby naturalne: jeśli $n=2,$ to utożsamia się ją z grupą czwórkową Kleina; gdy $n=1,$ to grupa ta jest izomorficzna z dwuelementową grupą cykliczną $2$ (jedyną grupą tego rzędu); dla $n=0$ przyjmuje się, iż jest to grupa trywialna.

Elementy i generatory

Zobacz też: zbiór generatorów grupy.

Niech $n\geqslant 2$ oraz $\mathrm {r}$ oznacza obrót płaszczyzny o kąt ${\tfrac {360^{\circ }}{n}}$ wokół ustalonego jej punktu $p,$ zaś $\mathrm {s}$ będzie jej dowolną symetrią osiową przechodzącą przez $p.$ Ponieważ $k$ -krotne złożenie $\mathrm {r}$ ze sobą jest w istocie obrotem o ${\tfrac {360^{\circ }\cdot k}{n}};$ w szczególności $n$ -krotne złożenie $\mathrm {r}$ jest obrotem o kąt pełny, który jest identycznością, tzn. $\mathrm {r} ^{n}=\mathrm {id} ,$ to $\mathrm {r}$ jest elementem rzędu $n$ grupy $\mathrm {D} _{n}.$ Podobnie $\mathrm {s}$ jest elementem rzędu drugiego, gdyż $\mathrm {s} ^{2}=\mathrm {id}$ (z punktu widzenia teorii grup symetria osiowa jest więc transpozycją; z punktu widzenia geometrii jest inwolucją, gdyż sama stanowi swoją odwrotność). O wyniku złożenia obrotu $\mathrm {r}$ z symetrią osiową $\mathrm {s}$ można myśleć na kilka sposobów:

symetria osiowa zmienia orientację płaszczyzny na przeciwną, zatem obrót nią poprzedzony będzie odbywał się w przeciwnym kierunku niż wyjściowy, kolejna symetria osiowa przywraca orientację płaszczyzny – w ten sposób

\mathrm {srs} ^{-1}=\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1};

z drugiej strony obrót „wybiera” oś symetrii po nim zastosowanej, kolejny obrót „przywracający” pierwotną oś musi być odwrotny ze względu na przyłożoną symetrię, a więc identyczny z pierwszym obrotem, tzn.

\mathrm {s} =\mathrm {r} ^{-1}\mathrm {sr} ^{-1};

podobnie rozumując można uzasadnić tożsamość

\mathrm {rs} =\mathrm {sr} ^{-1}

mówiącą o tym, że obrót poprzedzony symetrią daje ten sam wynik, co symetria poprzedzona obrotem w przeciwnym kierunku. W szczególności dla

n\geqslant 3

grupa

\mathrm {D} _{n}

nie jest abelowa (przemienna), gdyż wtedy

\mathrm {r} \neq \mathrm {r} ^{-1}.

Rozpatrując wyłącznie przekształcenia obrotów wokół wspólnego punktu i symetrii o osiach przechodzących przez ten wyróżniony punkt, jak ma to miejsce w wyżej opisywanej sytuacji, można zauważyć, że złożenie dwóch obrotów bądź dwóch symetrii jest obrotem, a złożenie symetrii z obrotem bądź obrotu z symetrią jest symetrią – w ten sposób przekształcenia tworzą zbiór zamknięty ze względu na ich składanie. Ponieważ składanie jest łączne, a każde ze składanych przekształceń ma przekształcenie do niego odwrotne, to przekształcenia te tworzą grupę. Dokładniej: z danego obrotu $\mathrm {r}$ można uzyskać $n$ obrotów (wliczając w to sam obrót $\mathrm {r}$ i obrót trywialny $\mathrm {id}$ ) poprzez składanie ich ze sobą, a składając symetrię $\mathrm {s}$ z tymi obrotami otrzymuje się $n$ symetrii (wliczając w to symetrię $\mathrm {s}$ przy obrocie trywialnym $\mathrm {id}$ ), to grupa tych przekształceń ma $2n$ elementów postaci $\mathrm {r} ,\mathrm {r} ^{2},\dots ,\mathrm {r} ^{n},\mathrm {sr} ,\mathrm {sr} ^{2},\dots ,\mathrm {sr} ^{n},$ gdzie $\mathrm {r} ^{n}=\mathrm {id}$ oraz $\mathrm {sr} ^{n}=\mathrm {s} .$

Wspomniana grupa może być rozpatrywana jako podgrupa grupy wszystkich symetrii $n$ -kąta foremnego. Jak pokazano wyżej, jest ona generowana przez obrót $\mathrm {r}$ rzędu $n$ i symetrię $\mathrm {s}$ rzędu $2$ bądź przez dwie symetrie $\mathrm {s} ,\mathrm {rs}$ rzędu $2$ ^[b].

Własności i charakteryzacja

Rozkład grupy na klasy sprzężoności, tzn. podzbiory elementów zamkniętych ze względu na branie sprzężeń (automorfizmów wewnętrznych), zależy od jej stopnia $n$ ^[c]:

dla nieparzystego:
$\{\mathrm {id} \},\left\{\mathrm {r} ^{\pm 1}\right\},\dots ,\left\{\mathrm {r} ^{\pm (n-1)/2}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{i}s\colon 0\leqslant i<n\right\};$
dla parzystego:
$\{\mathrm {id} \},\left\{\mathrm {r} ^{\pm 1}\right\},\dots ,\left\{\mathrm {r} ^{\pm (n/2-1)}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{n/2}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{2i}s\colon 0\leqslant i<{\tfrac {n}{2}}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{2i+1}s\colon 0\leqslant i<{\tfrac {n}{2}}\right\}.$

Klasy te mają odpowiednio $1,2,\dots ,2,n$ oraz $1,2,\dots ,2,1,n/2,n/2$ elementów. Dla $n\geqslant 3$ centrum grupy $\mathrm {D} _{n}$ jest trywialne w przypadku nieparzystym i równe $\left\{\mathrm {id} ,\mathrm {r} ^{n/2}\right\}$ w przypadku parzystym^[d]. Wynika stąd, że jeśli $n\geqslant 6$ jest dwukrotnością liczby nieparzystej, to $\mathrm {D} _{n}\simeq \mathrm {D} _{n/2}\times \mathbb {Z} _{2}$ ^[e]^[f]; w ogólności $\mathrm {D} _{n}$ jest zawsze izomorficzna z iloczynem półprostym $\mathbb {Z} _{n}\rtimes \mathbb {Z} _{2}.$ Komutant grupy $\mathrm {D} _{n}$ to $\langle r^{2}\rangle$ ^[g]^[h].

Jeśli $G=\langle a,b\rangle$ (z elementem neutralnym $e$ ), gdzie $a^{n}=e$ dla pewnego $n\geqslant 3$ oraz $b^{2}=e,$ a ponadto $bab^{-1}=a^{-1},$ to istnieje epimorfizm $\mathrm {D} _{n}\to G;$ jeśli $|G|=2n,$ to epimorfizm ten jest izomorfizmem^[i]. Wspomniany epimorfizm jest wyznaczony jednoznacznie, zatem $\mathrm {D} _{n}$ jest uniwersalna jako grupa o dwóch generatorach spełniających jedno z trzech równań z poprzedniej sekcji. Z twierdzenia tego wynika istnienie reprezentacji $\mathrm {D} _{n}$ w postaci grupy macierzy stopnia $2$ nad $\mathbb {Z} _{n},$ mianowicie zbiór macierzy

{\tilde {\mathrm {D} _{n}}}=\left\{{\begin{bmatrix}\pm 1&c\\0&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {Z} _{n}\right\}

tworzy podgrupę pełnej grupy liniowej $\mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} _{n});$ grupę tę można również przedstawić za pomocą wielomianów nad $\mathbb {Z} _{n}$ postaci $\mathrm {f} (x)=\varepsilon x+c,$ gdzie $\varepsilon =\pm 1,$ a wyraz $c$ jest dowolny – składanie tego rodzaju wielomianów liniowych odpowiada mnożeniu powyższych macierzy; przedstawienia tego nie należy mylić z geometryczną reprezentacją $\mathrm {D} _{n}$ jako podgrupy $\mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )$ w postaci izometrii własnych $\mathbb {R} ^{2}$ generowaną za pomocą macierzy obrotu i odbicia,

{\begin{bmatrix}\cos {\tfrac {2\pi }{n}}&-\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\\\sin {\tfrac {2\pi }{n}}&\ \ \cos {\tfrac {2\pi }{n}}\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}};

macierze te, traktowane jako liczby zespolone, odpowiadają pierwiastkowi pierwotnemu z jedynki stopnia $n$ oraz sprzężeniu zespolonemu tworzącym grupę (z działaniem mnożenia zespolonego) izomorficzną z $\mathrm {D} _{n}.$

Jak opisano to w poprzedniej sekcji, grupa diedralna może być generowana przez dwa elementy rzędu $2.$ Niech $G=\langle x,y\rangle ,$ przy czym $x^{2}=y^{2}=e.$ Jeśli $x$ oraz $y$ komutują (tzn. $xy=yx$ ), to $G=\{e,x,y,xy\}$ – grupa ta jest izomorficzna z grupą czwórkową, o ile $x\neq y;$ w przeciwnym przypadku $G=\{e,x\}=\langle x\rangle$ jest grupą cykliczną rzędu $2.$ Jeżeli $x$ i $y$ nie komutują, to $G$ ma strukturę grupy diedralnej, tzn. jeśli $G$ jest skończoną grupą nieabelową generowaną przez dwa elementy rzędu $2,$ to jest ona izomorficzna z grupą diedralną. Na podstawie tych dwóch obserwacji można przyjąć następującą definicję:

Ogólna definicja grupy diedralnej: Grupa skończona generowana przez dwa elementy drugiego rzędu.

Większość własności z poprzedniej sekcji obowiązuje dla $n>0,$ a nie tylko $n\geqslant 3$ – wyjątkami są stwierdzenie dotyczące postaci centrum oraz modelu $\mathrm {D} _{n}$ nad $\mathbb {Z} _{n};$ ponadto $\mathrm {D} _{n}$ nie można wtedy zanurzyć w $\mathrm {S} _{n},$ gdyż $2n>n!$ dla $n\leqslant 2.$

W dowolnej grupie skończonej zawierającej dwa elementy $x,y$ rzędu $2$ element $x$ musi być sprzężony z $y,$ bądź $x$ i $y$ komutują ze wspólnym elementem rzędu $2.$ Dowolny nietrywialny obraz homomorficzny grupy diedralnej jest grupą diedralną.

Struktura podgrup

Zobacz też: podgrupa i indeks podgrupy względem grupy.

Dowolna podgrupa grupy $\mathrm {D} _{n}$ jest:

cykliczna, postaci $\langle \mathrm {r} ^{d}\rangle ,$ gdzie $d|n,$ i indeksu $2d;$ bądź
diedralna, postaci $\langle \mathrm {r} ^{d},\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} \rangle ,$ gdzie $d|n$ oraz $0\leqslant i<d,$ i indeksu $d;$

postaci podgrup są przy tym jednoznaczne. Jeśli $n$ jest nieparzysta i $m|2n,$ to istnieje $m$ podgrup $\mathrm {D} _{n}$ indeksu $m$ dla nieparzystej $m$ (sprzężonych z $\langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle$ ) oraz jedna podgrupa $\mathrm {D} _{n}$ indeksu $m$ dla parzystego $m$ (równej $\langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle$ ), a ponadto jeżeli $n$ jest parzysta i $m|2n,$ to

jeśli $m$ jest nieparzysta, to istnieje $m$ podgrup grupy $\mathrm {D} _{n}$ indeksu $m$ (sprzężonych z $\langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle$ ),
jeśli $m$ jest parzysta i nie dzieli $n,$ to istnieje tylko jedna podgrupa grupy $\mathrm {D} _{n}$ indeksu $m$ (równa $\langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle$ ),
jeśli $m$ jest parzysta i $m|n,$ to istnieje $m+1$ podgrup grupy $\mathrm {D} _{n}$ indeksu $m$ (i dowolna podgrupa indeksu $m$ jest równa $\langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle$ bądź sprzężona z dokładnie jedną z grup $\langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle$ lub $\langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {rs} \rangle$ ).

Wynika stąd, że jeżeli $n$ jest nieparzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w $\mathrm {D} _{n}$ są $\langle \mathrm {r} ^{d}\rangle$ dla $d|n$ − są to grupy parzystego indeksu – a jeżeli $n$ jest parzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w $\mathrm {D} _{n}$ są $\langle \mathrm {r} ^{d}\rangle$ indeksu $d,$ gdy $d|n$ oraz $\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {s} \rangle$ i $\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {rs} \rangle$ indeksu $2.$ W szczególności istnieje przynajmniej jedna podgrupa normalna każdego indeksu w $\mathrm {D} _{n}$ poza trzema podgrupami normalnymi $\langle \mathrm {r} \rangle ,\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {s} \rangle ,\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {rs} \rangle$ indeksu $2$ dla parzystego $n.$

Łączna liczba podgrup w $\mathrm {D} _{n}$ dla $n\geqslant 3$ wynosi $d(n)+\sigma (n),$ gdzie $d(n)$ oznacza liczbę wszystkich dzielników liczby $n,$ zaś $\sigma (n)$ oznacza ich sumę (zob. liczba dzielników i suma dzielników).

Uwagi

↑ Od gr. δίεδρον diedron: di-, „dwu-, podwójny” oraz gr. -edron, od ἕδρα edra, „siedzisko, siedlisko, siedziba; siedzenie, miejsce, pozycja; pośladki, kuper; ściana bryły (geom.)”.
Niepoprawnie: *dihedralna (za ang. diherdal; -hedral od nowołac. hedron; od łac. dihedron, z gr. jw.) – w polszczyźnie temat został zapożyczony bezpośrednio z greki i z tego powodu nie zawiera „h”, por. tetraedr, heksaedr, oktaedr.
↑ Dokładniej, ponieważ $\mathrm {r} =\mathrm {rs} \cdot \mathrm {s} ,$ to każdy element grupy diedralnej można przedstawić za pomocą $\mathrm {rs}$ i $\mathrm {s} .$
↑ Każdy obrót jest sprzężeniem swojej odwrotności: $\mathrm {sr} ^{j}\mathrm {s} ^{-1}=\mathrm {r} ^{-j}.$ Wzory $\mathrm {r} ^{i}\mathrm {r} ^{j}\mathrm {r} ^{-i}=\mathrm {r} ^{j}$ i $(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )\mathrm {r} ^{j}(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )^{-1}=\mathrm {r} ^{-j}$ przy zmiennym $i$ pokazują, że $\mathrm {r} ^{j},\mathrm {r} ^{-j}$ są jedynymi elementami sprzężonymi do $\mathrm {r} ^{j}.$ Znalezienie klasy sprzężoności $\mathrm {s}$ wymaga obliczeń $\mathrm {r} ^{i}\mathrm {sr} ^{-i}=\mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s}$ i $(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )\mathrm {s} (\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )^{-1}=\mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s} ;$ dla różnych $i$ element $\mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s}$ jest odbiciem, w którym w wykładniku $\mathrm {r}$ występuje liczba podzielna przez $2.$ Jeżeli $n$ jest nieparzysta, to każda liczba całkowita modulo $n$ jest wielokrotnością $2,$ stąd $\left\{\mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s} \colon i\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} \colon i\in \mathbb {Z} \right\},$ a więc każde odbicie jest sprzężone z $\mathrm {s}$ dla nieparzystego $n.$ Jeśli jednak $n$ jest parzyste, to tylko połowa odbić jest sprzężonych z $\mathrm {s} ;$ druga połowa jest sprzężona z $\mathrm {rs} ,$ otóż $\mathrm {r} ^{i}(\mathrm {rs} )\mathrm {r} ^{-i}=\mathrm {r} ^{2i+1}\mathrm {s}$ oraz $(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )(\mathrm {rs} )(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )^{-1}=\mathrm {r} ^{2i-1}\mathrm {s}$ dają przy zmiennym $i$ zbiór $\left\{\mathrm {rs} ,\mathrm {r} ^{3}\mathrm {s} ,\dots ,\mathrm {r} ^{n-1}\mathrm {s} \right\}.$
↑ Wynika to z faktu, iż do centrum należą wyłącznie elementy należące do jednoelementowych klas sprzężoności.
↑ Korzystając z własności iloczynu kompleksowego: niech $H=\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {s} \rangle \simeq \mathrm {D} _{n/2},$ zaś $Z=\left\{1,\mathrm {r} ^{n/2}\right\}$ oznacza centrum $\mathrm {D} _{n}$ będące w niej podgrupą normalną; wynika stąd, że $HZ$ jest podgrupą $\mathrm {D} _{n}$ i z definicji elementy $H$ komutują z elementami $Z.$ Przekształcenie $f\colon H\times Z\to \mathrm {D} _{n}$ dane wzorem $f(h,z)=hz$ jest homomorfizmem, ze względu na to, że $Z$ jest centrum $\mathrm {D} _{n};$ jego jądrem jest trywialne przecięcie $H\cap Z,$ stąd $\mathrm {r} ^{n/2}\notin H.$ Istotnie, jeśli $\mathrm {r} ^{n/2}\in H,$ to $\mathrm {r} ^{n/2}=\mathrm {r} ^{2k}$ bądź $\mathrm {r} ^{n/2}=\mathrm {r} ^{2k}\mathrm {s}$ dla pewnego $k,$ przy czym oba przypadki są niemożliwe: pierwszy pociąga $n/2\equiv 2k{\bmod {n}},$ co daje sprzeczność ze względu na parzystość $2k$ oraz $n$ i nieparzystość $n/2;$ drugi jest niedorzecznością w postaci $\mathrm {s}$ będącego potęgą $\mathrm {r} .$ Ponieważ $f$ jest różnowartościowe i rząd (moc zbioru) $H\times Z$ wynosi $2n$ równy rzędowi (mocy) $\mathrm {D} _{n},$ to $f$ jest izomorfizmem.
↑ Jeśli $n$ jest podzielne przez $4,$ to przedstawiony izomorfizm nie istnieje: jeśli $n$ i $n/2$ są parzyste, to centrum $\mathrm {D} _{n}$ jest grupą cykliczną rzędu $2,$ zatem centrum $\mathrm {D} _{n/2}$ jest iloczynem prostym dwóch grup cyklicznych rzędu 2; ze względu na nieizomorficzność jąder $\mathrm {D} _{n}\not \simeq \mathrm {D} _{n/2}\times \mathbb {Z} _{2}.$
↑ Komutator $[\mathrm {r} ,\mathrm {s} ]=\mathrm {rsr} ^{-1}\mathrm {s} ^{-1}=\mathrm {rrss} ^{-1}=\mathrm {r} ^{2}$ tej postaci oznacza, że $\langle \mathrm {r} ^{2}\rangle$ zawiera się w komuntancie. Aby uzyskać równość można pokazać bezpośrednio, że komutator zawiera się w $\langle \mathrm {r} ^{2}\rangle ;$ innym sposobem jest znalezienie ilorazu $\mathrm {D} _{n}/N$ będącego grupą abelową – wówczas wszystkie komutatory z $\mathrm {D} _{n}$ są trywialne w $\mathrm {D} _{n}/N,$ a więc wszystkie komutatory z $\mathrm {D} _{n}$ leżą w $N.$ Grupa $N=\langle \mathrm {r} ^{2}\rangle$ jest normalna (sprzężenia potęg $\mathrm {r} ^{2}$ są potęgami tego elementu lub jego odwrotności, które należą do $N$ ), abelowa (ma rząd 4 i reprezentację $\left\{{\overline {\mathrm {e} }},{\overline {r}},{\overline {s}},{\overline {rs}}\right\}$ izomorficzną z grupą czwórkową, gdzie $\mathrm {r} s\equiv \mathrm {s} r{\bmod {N}},$ ponieważ $\mathrm {r} \equiv \mathrm {r} ^{-1}{\bmod {N}},$ gdyż $\mathrm {r} ^{2}\in N$ ), dzięki czemu $\mathrm {D} _{n}/N$ jest abelowa.
↑ Jeśli $n$ jest nieparzysta, to $\langle \mathrm {r} \rangle =\langle \mathrm {r} ^{2}\rangle .$
↑ Warunki $a^{n}=e$ oraz $b^{2}=e$ nie oznaczają, że elementy $a,b$ mają rzędy odpowiednio $n,2,$ lecz że są dzielnikami tych liczb.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dihedral Group, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dihedral Group D_2, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dihedral Group D_3, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dihedral Group D_4, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dihedral Group D_5, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dihedral Group D_6, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-09-05].
Dihedral group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-05].

[1] Od gr. δίεδρον diedron: di-, „dwu-, podwójny” oraz gr. -edron, od ἕδρα edra, „siedzisko, siedlisko, siedziba; siedzenie, miejsce, pozycja; pośladki, kuper; ściana bryły (geom.)”.
Niepoprawnie: *dihedralna (za ang. diherdal; -hedral od nowołac. hedron; od łac. dihedron, z gr. jw.) – w polszczyźnie temat został zapożyczony bezpośrednio z greki i z tego powodu nie zawiera „h”, por. tetraedr, heksaedr, oktaedr.

[2] Dokładniej, ponieważ $\mathrm {r} =\mathrm {rs} \cdot \mathrm {s} ,$ to każdy element grupy diedralnej można przedstawić za pomocą $\mathrm {rs}$ i $\mathrm {s} .$

[3] Każdy obrót jest sprzężeniem swojej odwrotności: $\mathrm {sr} ^{j}\mathrm {s} ^{-1}=\mathrm {r} ^{-j}.$ Wzory $\mathrm {r} ^{i}\mathrm {r} ^{j}\mathrm {r} ^{-i}=\mathrm {r} ^{j}$ i $(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )\mathrm {r} ^{j}(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )^{-1}=\mathrm {r} ^{-j}$ przy zmiennym $i$ pokazują, że $\mathrm {r} ^{j},\mathrm {r} ^{-j}$ są jedynymi elementami sprzężonymi do $\mathrm {r} ^{j}.$ Znalezienie klasy sprzężoności $\mathrm {s}$ wymaga obliczeń $\mathrm {r} ^{i}\mathrm {sr} ^{-i}=\mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s}$ i $(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )\mathrm {s} (\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )^{-1}=\mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s} ;$ dla różnych $i$ element $\mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s}$ jest odbiciem, w którym w wykładniku $\mathrm {r}$ występuje liczba podzielna przez $2.$ Jeżeli $n$ jest nieparzysta, to każda liczba całkowita modulo $n$ jest wielokrotnością $2,$ stąd $\left\{\mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s} \colon i\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} \colon i\in \mathbb {Z} \right\},$ a więc każde odbicie jest sprzężone z $\mathrm {s}$ dla nieparzystego $n.$ Jeśli jednak $n$ jest parzyste, to tylko połowa odbić jest sprzężonych z $\mathrm {s} ;$ druga połowa jest sprzężona z $\mathrm {rs} ,$ otóż $\mathrm {r} ^{i}(\mathrm {rs} )\mathrm {r} ^{-i}=\mathrm {r} ^{2i+1}\mathrm {s}$ oraz $(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )(\mathrm {rs} )(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )^{-1}=\mathrm {r} ^{2i-1}\mathrm {s}$ dają przy zmiennym $i$ zbiór $\left\{\mathrm {rs} ,\mathrm {r} ^{3}\mathrm {s} ,\dots ,\mathrm {r} ^{n-1}\mathrm {s} \right\}.$

[4] Wynika to z faktu, iż do centrum należą wyłącznie elementy należące do jednoelementowych klas sprzężoności.

[5] Korzystając z własności iloczynu kompleksowego: niech $H=\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {s} \rangle \simeq \mathrm {D} _{n/2},$ zaś $Z=\left\{1,\mathrm {r} ^{n/2}\right\}$ oznacza centrum $\mathrm {D} _{n}$ będące w niej podgrupą normalną; wynika stąd, że $HZ$ jest podgrupą $\mathrm {D} _{n}$ i z definicji elementy $H$ komutują z elementami $Z.$ Przekształcenie $f\colon H\times Z\to \mathrm {D} _{n}$ dane wzorem $f(h,z)=hz$ jest homomorfizmem, ze względu na to, że $Z$ jest centrum $\mathrm {D} _{n};$ jego jądrem jest trywialne przecięcie $H\cap Z,$ stąd $\mathrm {r} ^{n/2}\notin H.$ Istotnie, jeśli $\mathrm {r} ^{n/2}\in H,$ to $\mathrm {r} ^{n/2}=\mathrm {r} ^{2k}$ bądź $\mathrm {r} ^{n/2}=\mathrm {r} ^{2k}\mathrm {s}$ dla pewnego $k,$ przy czym oba przypadki są niemożliwe: pierwszy pociąga $n/2\equiv 2k{\bmod {n}},$ co daje sprzeczność ze względu na parzystość $2k$ oraz $n$ i nieparzystość $n/2;$ drugi jest niedorzecznością w postaci $\mathrm {s}$ będącego potęgą $\mathrm {r} .$ Ponieważ $f$ jest różnowartościowe i rząd (moc zbioru) $H\times Z$ wynosi $2n$ równy rzędowi (mocy) $\mathrm {D} _{n},$ to $f$ jest izomorfizmem.

[6] Jeśli $n$ jest podzielne przez $4,$ to przedstawiony izomorfizm nie istnieje: jeśli $n$ i $n/2$ są parzyste, to centrum $\mathrm {D} _{n}$ jest grupą cykliczną rzędu $2,$ zatem centrum $\mathrm {D} _{n/2}$ jest iloczynem prostym dwóch grup cyklicznych rzędu 2; ze względu na nieizomorficzność jąder $\mathrm {D} _{n}\not \simeq \mathrm {D} _{n/2}\times \mathbb {Z} _{2}.$

[7] Komutator $[\mathrm {r} ,\mathrm {s} ]=\mathrm {rsr} ^{-1}\mathrm {s} ^{-1}=\mathrm {rrss} ^{-1}=\mathrm {r} ^{2}$ tej postaci oznacza, że $\langle \mathrm {r} ^{2}\rangle$ zawiera się w komuntancie. Aby uzyskać równość można pokazać bezpośrednio, że komutator zawiera się w $\langle \mathrm {r} ^{2}\rangle ;$ innym sposobem jest znalezienie ilorazu $\mathrm {D} _{n}/N$ będącego grupą abelową – wówczas wszystkie komutatory z $\mathrm {D} _{n}$ są trywialne w $\mathrm {D} _{n}/N,$ a więc wszystkie komutatory z $\mathrm {D} _{n}$ leżą w $N.$ Grupa $N=\langle \mathrm {r} ^{2}\rangle$ jest normalna (sprzężenia potęg $\mathrm {r} ^{2}$ są potęgami tego elementu lub jego odwrotności, które należą do $N$ ), abelowa (ma rząd 4 i reprezentację $\left\{{\overline {\mathrm {e} }},{\overline {r}},{\overline {s}},{\overline {rs}}\right\}$ izomorficzną z grupą czwórkową, gdzie $\mathrm {r} s\equiv \mathrm {s} r{\bmod {N}},$ ponieważ $\mathrm {r} \equiv \mathrm {r} ^{-1}{\bmod {N}},$ gdyż $\mathrm {r} ^{2}\in N$ ), dzięki czemu $\mathrm {D} _{n}/N$ jest abelowa.

[8] Jeśli $n$ jest nieparzysta, to $\langle \mathrm {r} \rangle =\langle \mathrm {r} ^{2}\rangle .$

[9] Warunki $a^{n}=e$ oraz $b^{2}=e$ nie oznaczają, że elementy $a,b$ mają rzędy odpowiednio $n,2,$ lecz że są dzielnikami tych liczb.

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]

[h]

[i]