Geometri

	Områder i geometri
	Algebraisk geometri
	Differensialgeometri
	Liegrupper ; Riemannsk geometri
	Euklidsk geometri
	Pytagoras’ læresetning
	Ikke-euklidsk geometri
	Elliptisk geometri ; Sfærisk geometri ; Hyperbolsk geometri ; Projektiv geometri
	Topologi
	Algebraisk topologi ; Generell topologi
	Trigonometri

Geometri (gresk γεωμετρία; geo = jord, metria = mål, måling) oppsto som kunnskapsfeltet som tar for seg figurer og forhold i plan og rom. Klassisk geometri tok blant annet for seg konstruksjoner som kunne utføres med passer og linjal. Moderne geometri består av undergrener som algebraisk geometri, algebraisk topologi og differensialgeometri.

Geometri oppsto i en rekke tidlige kulturer uavhengig av hverandre som en samling av praktisk kunnskap om lengde, areal og volum. I det sjette århundret f.Kr. gjorde Tales fra Milet geometri til en matematisk vitenskap. I det tredje århundret f.Kr. ble geometrien plassert inn i en aksiomatisk form av Euklid, og den euklidske geometrien satte en standard som holdt stand i mange århundrer.^[1] Arkimedes utviklet geniale teknikker for beregning av arealer og volum, på mange måter forutså han den moderne integralregningen. Astronomien, særlig kartlegging posisjonene til stjerner og planeter på himmelhvelvingen og beskrivelse av forholdet mellom himmellegemenes bevegelser, fungerte som en viktig kilde til geometriske problemer i løpet av neste halvannet årtusen. Både geometri og astronomi ble vurdert i den klassiske verden til å være en del av quadrivium, en undergruppe av de syv frie kunstene som ble sett på som essensielt for en fri statsborger å mestre.

Innføringen av koordinater av René Descartes og den samtidige utviklingen av algebra markerte en ny fase for geometrien siden geometriske figurer, for eksempel plankurver, nå kunne bli representert analytisk med funksjoner og ligninger. Dette spilte en sentral rolle i fremveksten av infinitesimalregning i det 17. århundret. Videre viste teorien om perspektiv at det er mer ved geometrien enn bare tallenes metriske egenskaper: perspektiv er opphavet til projektiv geometri. Geometrien ble ytterligere beriket av studiet av den indre strukturen til geometriske objekter som oppsto med Euler og Gauss og førte til etableringen av topologi og differensialgeometri.

I Euklids tid var det ingen klare skiller mellom fysisk rom og geometriske rom. Etter at man i det 19. århundret oppdaget ikke-euklidsk geometri har begrepet rom gjennomgått en radikal endring. Spørsmålet som nå oppsto var hvilket geometrisk rom som passet best til det fysiske rommet. Med fremveksten av den formelle matematikken i det 20. århundret, mistet også 'rom' (og 'punkt', 'linje', 'plan') sitt intuitive innhold. I dag er vi derfor nødt til å skille mellom fysisk rom, geometriske rom og abstrakte rom.

Moderne geometri vurderer mangfoldighet, områder som er betydelig mer abstrakte enn det kjente euklidske rom, som de bare omtrentlig ligner på små skalaer. Disse rommene kan være utstyrt med ekstra struktur, slik at man snakker om lengde. Moderne geometri har flere sterke bånd med fysikk, eksemplifisert ved båndene mellom pseudo-riemannsk geometri og generell relativitet. En av de yngste fysiske teorier, strengteori, er også svært geometrisk i essensen.

Selv om geometriens visuelle natur i utgangspunktet gjør den mer tilgjengelig enn andre deler av matematikken, som algebra eller tallteori, er det geometriske språket også brukt i sammenhenger fjernt fra dets tradisjonelle, euklidske opprinnelse, for eksempel i fraktalgeometri og algebraisk geometri.

Oversikt

Den dokumenterte delen av utviklingen av geometri strekker seg over mer enn to årtusener. Det er neppe overraskende at oppfatninger av hva som konstituerer geometri har utviklet seg gjennom tidene.

Praktisk geometri

Geometri oppsto som en praktisk vitenskap opptatt av kartlegging, målinger, areal og volum. Blant de kjente prestasjonene finner man formler for lengder, arealer og volum, for eksempel Pytagoras’ læresetning, omkrets og areal av en sirkel, arealet av en trekant, volum av en sylinder, sfære, og en pyramide. En metode for å beregne visse utilgjengelige avstander eller høyder basert på formlikhet av geometriske figurer er knyttet til Tales. Utvikling av astronomi førte til utviklingen av trigonometri og sfærisk trigonometri, sammen med de ledsagende beregningsorienterte teknikkene.

Aksiomatisk geometri

Utdypende artikkel: Euklidsk geometri

Euklid hadde en mer abstrakt tilnærming i sitt verk Elementer, en av de mest innflytelsesrike bøker som noensinne er skrevet. Euklid innførte visse aksiomer, eller postulater, som uttrykker primære eller selvinnlysende egenskaper hos punkter, linjer og plan. Han fortsatte å strengt utlede andre egenskaper ved matematisk resonnement. Det mest karakteristiske trekket ved Euklids tilnærming til geometri var strengheten, og den har etterhvert blitt kjent som aksiomatisk eller syntetisk geometri. Ved starten av det 19. århundre førte oppdagelsen av ikke-euklidsk geometri av Gauss, Lobatsjevskij, Bolyai og andre til en nyfunnet interesse, og i det 20. århundre brukte David Hilbert aksiomatiske resonnementer i et forsøk på å legge et moderne grunnlag for geometri.

Geometriske konstruksjoner

Utdypende artikkel: Konstruksjon (geometri)

Klassisk geometri viet spesiell oppmerksomhet til konstruksjon av geometriske objekter som hadde blitt beskrevet på en annen måte. Tradisjonelt var de eneste instrumentene tillatt i geometriske konstruksjoner passer og linjal. Hver konstruksjon måtte også utføres på et endelig antall steg. Imidlertid viste noen problemer seg å være vanskelige eller umulige å løse bare med disse midlene, og smarte konstruksjoner som brukte parabler og andre kurver, samt mekaniske innretninger, ble funnet.

Tall i geometrien

I antikkens Hellas regnet pytagoreerne vurderte rolle i geometri. Imidlertid gjorde oppdagelsen av inkommensurable lengder som motsa deres filosofiske synspunkter, gjorde at de forlot abstrakte tall til fordel for konkrete geometriske mengder, for eksempel lengde og areal av figurer. Tallene ble gjeninnført i geometrien i form av koordinater av Descartes, som innså at studiet av geometriske figurer kan forenkles ved deres algebraisk representasjon. Detkartesiske koordinatsystem er også oppkalt etter ham. Analytisk geometri benytter algebrametoder til å besvare geometriske spørsmål, typisk ved å knytte sammen geometriske kurver og algebraiske ligninger. Disse ideene spilte en nøkkelrolle i utviklingen av kalkulus i det 17. århundre og førte til oppdagelsen av mange nye egenskaper hos kurver. Moderne algebraisk geometri møter lignende spørsmål på et langt mer abstrakt nivå.

Geometriens historie

Euklids Elementer (fra omkring 300 f.Kr.) er en av de viktigste tidlige tekstene om geometri. Her blir geometrien presentert i en ideell aksiomatisk form, som senere har blitt kjent som euklidsk geometri. Dette var sannsynligvis ikke den første læreboken i geometri, men det er den som har blitt bevart og den blir ansett som den viktigste. Helt fram til vår tid har Elementer blitt brukt som lærebok i geometri ved universiteter og høgskoler over hele verden.

Tidlig på 1600-tallet skjedde to viktige ting i utviklingen av geometrien. Den første og viktigste var utviklingen av analytisk geometri, eller geometri med koordinater og ligninger. Denne utviklingen skjedde hovedsakelig med utgangspunkt i oppdagelser gjort av René Descartes og Pierre de Fermat. Denne utviklingen var en nødvendig forutsetning for den senere utviklingen av matematisk analyse og moderne fysikk. Den andre viktige utviklingen av geometri i denne perioden var i forbindelse med det systematiske studiet av projektiv geometri, ledet av Girard Desargues. I den projektive geometrien studerer en hvordan punkter er plassert i forhold til hverandre, uten å måle avstander mellom punktene.

På 1800-tallet skjedde to nye oppdagelser innenfor geometrien, som stadig har stor betydning. Det dreier seg om oppdagelsen av ikke-euklidsk geometri, og formuleringen av symmetri som et hovedfokus i Felix Kleins Erlangen-program. To av de mest kjente navnene på denne tiden var Bernhard Riemann, som særlig trakk inn verktøy fra matematisk analyse og introduserte Riemann-flater, og Henri Poincaré, grunnleggeren av algebraisk topologi og den geometriske teorien om dynamiske systemer.

Som en konsekvens av disse utviklingene i geometrien, fikk begrepet rom en mye rikere betydning. Videre fikk disse nye teoriene betydning for utviklingen av nye matematiske teorier innenfor så forskjellige områder som kompleks analyse og klassisk mekanikk.

Geometriske former

Noen geometriske objekter er:

Kvadrat – består av fire hjørner på 90 grader og fire like lange sider. Areal = sidelengde². Diagonalene halverer hverandre.
Rektangel – består av fire hjørner på 90 grader. Areal = lengde × høyde. Diagonalene halverer hverandre
Sirkel – en uendelig mengde punkter med samme avstand fra et senterpunkt. Areal = pi × radius².