Topologi
Områder i geometri |
Algebraisk geometri |
Differensialgeometri |
Euklidsk geometri |
Ikke-euklidsk geometri |
Elliptisk geometri |
Topologi |
Trigonometri |
Topologi (fra gresk topos, 'sted' og logos, 'lære') er en gren av moderne geometri. Denne matematiske disiplinen har tidligere gått under navnet analysis situs.
I topologien behandles topologiske rom, det vil si figurer, legemer, rom, flater, kurver og så videre, og de egenskapene som avhenger av hvordan det topologiske rommet «henger sammen». Eksempelvis er dimensjoner en topologisk egenskap, mens størrelse og plassering er ikke slike egenskaper. Topologi kan derfor betegnes som «gummigeometri». Topologi deles gjerne i to deldisipliner: punktmengdetopologi og algebraisk topologi.
Eksempelvis er en kule og en kube det samme topologiske rommet, men begge er ulik en sirkel.
Begrepet topologi blir også brukt i forbindelse med retorikk og dialektikk.
Definisjon
[rediger | rediger kilde]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Mug_and_Torus_morph.gif)
En topologi på en mengde beskriver hvilke delmengder som skal betraktes som åpne. Mer presist er et par et topologisk rom dersom er en mengde og er en mengde delmengder av slik at
- både den tomme mengden og er i ,
- en vilkårlig union av mengder fra er også i og
- et endelig snitt av mengder fra er også i .
Delmengdene i kalles åpne, mens et komplement av en mengde i kalles lukket.
Alternativt kan en topologi spesifiseres ved å angi en omegnsstruktur.
Eksempler
[rediger | rediger kilde]- I den trivielle topologien på en mengde er kun og åpne mengder.
- I den diskrete topologien på en mengde er alle delmengder åpne.
- I standardtopologien på de reelle tall, , er de åpne mengdene alle unioner av åpne intervall. Minnes at en åpne intervall er en mengde , hvor og er i .
Kilder
[rediger | rediger kilde]- Seymour Lipschutz: General Topology. Schaum Publishing co., 1965.
- Arlo W. Schurle: Topics in Topology. Elsevier North Holland, Inc., 1979.
- Per Holm og Jon Reed: Topologi. Universitetsforlaget 1990.