대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理, 영어: fundamental theorem of algebra)는 상수가 아닌 복소수 계수 다항식이 적어도 하나의 근을 갖는다는 정리다. 이 정리에 따라, 모든 상수가 아닌 복소수 계수 다항식은 유한 개의 복소수 계수 1차 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다. 또한, 복소수체는 실수체와 달리 대수적으로 닫힌 체를 이룬다. 이 결과들은 대수학의 기본 정리의 서로 다른 형태들이다.

상수가 아닌 실수 계수 다항식의 복소수체에서 인수 분해하였을 때, 인자가 되는 1차 다항식들은 실수 계수가 아닐 수 있다. 그러나 실수 계수 다항식의 근은 켤레 불변이기 때문에, 허수근에 대응하는 1차 다항식들을 둘씩 조합하여 판별식이 0보다 작은 실수 계수 2차 다항식들로 만들 수 있다. 이에 따른 실수 계수 다항식의 완전한 인수 분해 또한 대수학의 기본 정리와 동치다.

이름과는 달리 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 발견하지 못했으며, 실수의 완비성 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다. 또한 대수학의 기본 정리는 추상대수학의 기초가 되는 정리는 아니다.

정의

다항식 $p(x)$의 근은 $p(a)=0$인 $a$를 뜻한다. 대수학의 기본 정리에 따르면, 양의 차수의 복소수 계수 다항식

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\in \mathbb {C} [x]\qquad (a_{n}\neq 0,\;n\geq 1)$

은 근 $a\in \mathbb {C}$을 갖는다.

역사

수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라고 예상하였다. 장 르 롱 달랑베르와 레온하르트 오일러 등이 증명하였으나 보충적인 정리의 증명을 필요로했으며 이러한 맥락에서 모두 불완전하였고, 보다 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 카를 프리드리히 가우스, 장-로버트 아르간드 등이였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 한편 가우스는 추후 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 또한 장-로버트 아르간드의 증명은 오귀스탱 루이 코시가 그의 저술 Cours d'Analyse(Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique)에서 이를 언급한 바 있다.

증명

다음은 복소해석학 또는 위상수학을 이용한 증명이다.

리우빌 정리를 이용한 증명

복소 다항식

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\ (a_{n}\neq 0,n\geq 1)$

가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 $z$에 대해 $p(z)\neq 0$ 라고 가정하자. 그러면 ${\frac {1}{p(z)}}$는 전해석 함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여

$|p(z)|=\left|z^{n}(a_{n}+{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}})\right|\geq |z|^{n}\left||a_{n}|-\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|\right|\cdots \cdots (a)$

를 얻고, $C=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|$라 하면, 양수 $M>1$에 대해 $|z|\geq M$이면

$\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|\leq {\frac {|a_{n-1}|}{|z|}}+\cdots +{\frac {|a_{0}|}{|z|^{n}}}\leq {\frac {|a_{n-1}|+\cdots +{|a_{0}|}}{|z|}}\leq {\frac {C}{M}}$

이다. 여기서 $M$을 충분히 큰 값으로 선택하여 ${\frac {C}{M}}<{\frac {|a_{n}|}{2}}$가 되도록 하면 부등식

$|a_{n}|-\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|>{\frac {|a_{n}|}{2}}$

이 성립하므로 식 (a)로부터

$\left|{\frac {1}{p(z)}}\right|\leq {\frac {2}{|a_{n}|M^{n}}}$

을 얻는다. 즉, ${\frac {1}{p(z)}}$는 유계인 전해석 함수이다. 따라서 리우빌 정리에 의해 ${\frac {1}{p(z)}}$는 상수 함수이고, $p(z)$도 상수 함수이다. 즉 $p(z)$가 상수 함수가 아니라면 영점을 갖는다.

편각 원리를 이용한 증명

$p(z)$은 n차 다항식이므로 최대 n개의 근을 갖는다. 따라서 $p(z)$의 근들이 복소평면에서 반지름이 R인 원판 안에 들어오도록 하는 어떤 양의 실수 R을 잡을 수 있다. 이제 r>R인 실수 r에 대해 편각 원리를 적용하면,

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz=N$

이 성립한다. 여기서 c(r)은 반지름이 r인 원의 반시계 방향 경로를 의미하고, N은 $p(z)$의 근의 개수를 의미한다. 한편

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {n}{z}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {n}{re^{i\theta }}}ire^{i\theta }\,d\theta =n$

이므로

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz=N-n$

이 성립한다. 여기서 두 번째 식의 적분을 보면 분자는 n-1차 다항식이고 분모는 n+1차 다항식이다. 따라서 r이 충분히 커질수록 적분 값은 0에 수렴한다. 즉 N-n이 0에 수렴하므로 N=n이다.

루셰 정리를 이용한 증명

 이 부분의 본문은 루셰 정리 § 따름 정리입니다.

복소 다항식

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\ (a_{n}\neq 0,n\geq 1)$

에 대해, $z\neq 0$이면

${\frac {p(z)}{a_{n}z^{n}}}=1+{\frac {1}{a_{n}}}\left({\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z}}\right)$

이다. 그러면 $r>\max\{{\frac {|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}{|a_{n}|}},1\}$인 r에 대해 $|z|=r$일 때

$\left|{\frac {p(z)}{a_{n}z^{n}}}-1\right|\leq \left[{\frac {|a_{n-1}|}{r}}+\cdots +{\frac {|a_{0}|}{r^{n}}}\right]{\frac {1}{|a_{n}|}}\leq {\frac {|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}{|a_{n}|r}}<1$

이므로 $|p(z)-a_{n}z^{n}|<|a_{n}z^{n}|$이다. $a_{n}z^{n}$은 $|z|=r$ 내부에서 n개의 근을 가지므로 루셰 정리에 의해 $p(z)=(p(z)-a_{n}z^{n})+a_{n}z^{n}$도 n개의 근을 가진다.

위상수학적 증명

복소수 계수 $n$차 일계수 다항식

$p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +x^{n}\in \mathbb {C} [x]$

이 근을 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 $t\in [0,\infty )$에 대하여, 원 위에 다음과 같은 함수를 정의하자.

$f_{t}\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$

$f_{t}\colon z\mapsto p(tz)/|p(tz)|$

(이 함수는 항상 $|p(tz)|\neq 0$이므로 잘 정의된다.) 그렇다면, $f_{0}$은 함수

$f_{\infty }\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$

$f_{\infty }\colon z\mapsto z^{n}$

와 호모토픽하다. $f_{0}$은 상수 함수이므로 $f_{\infty }$는 널호모토픽하다. 그러나 $f_{\infty }$로부터 유도되는 기본군 사이의 군 준동형 $\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\to \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})$은 자명하지 않다. 이는 $\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z}$이기 때문인데, 이는 피복 공간 이론을 사용하여 보일 수 있으며 초등적인 증명도 존재한다. 따라서 $f_{\infty }$는 널호모토픽하지 않으며, 이는 모순이다.

따름정리

대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다.

모든 $n$차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 $n$개의 근을 갖는다.

이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. 따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\ (a_{n}\neq 0,n\geq 1)$

에 대해 복소수 $z_{1},\cdots ,z_{n}$이 존재하여(서로 다를 필요는 없다.)

$p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\dotsb (z-z_{n})$

와 같이 쓸 수 있다.

증명:

1차 다항식이 하나의 근만을 가짐은 자명하다. 이제 수학적 귀납법을 쓰기 위해 n차 이하의 다항식이 n개의 근을 가진다고 가정하고, n+1차 다항식 $p(z)$가 주어졌다 하자. 대수학의 기본 정리에 의해 $p(z_{1})=0$인 복소수 $z_{1}$이 존재하므로

$p(z)=(z-z_{1})p_{1}(z)$

인 n차 다항식 $p_{1}(z)$이 존재한다. 귀납적 가정에 의해 $p_{1}(z)$는 n개의 근을 가지므로 $p(z)$는 n+1개의 근을 가진다. $\blacksquare$

실계수 다항식의 표현

실계수 $n$차 다항식의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 $n\,$개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 $n\,$개의 근을 갖지 않을 수도 있다.

실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 $2$이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 $a+bi\,$가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 $a-bi\,$도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은

$(x-(a+bi))(x-(a-bi))=((x-a)-bi)((x-a)+bi)=((x-a)^{2}+b^{2})\,$

와 같이 ($a,b$는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.

실계수 다항식의 근의 켤레성

만일$z_{0}\,$가 실계수 다항식

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},\,\,\,a_{j}\in \mathbb {R} ,\,\,n\geq 1,\,\,a_{n}\neq 0$

의 복소수 근이면 즉, $p(z_{0})=0\,$이면 $p({\overline {z_{0}}})=0\,$이다.

복소켤레

복소켤레 연산의 성질에 의해

$p({\overline {z_{0}}})=a_{n}{\overline {z_{0}}}^{n}+a_{n-1}{\overline {z_{0}}}^{n-1}+\cdots +a_{1}{\overline {z_{0}}}+a_{0}$

$={\overline {a_{n}z_{0}^{n}}}+{\overline {a_{n-1}z_{0}^{n-1}}}+\cdots +{\overline {a_{1}z_{0}}}+{\overline {a_{0}}}$

$={\overline {a_{n}z_{0}^{n}+a_{n-1}z_{0}^{n-1}+\cdots +a_{1}z_{0}+a_{0}}}$

$={\overline {p(z_{0})}}=0$

이다.

응용

대수학의 기본정리에 의해 $n\,$ 차의 실계수 다항식은 반드시 복소수의 범위에서 $n\,$개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌)복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다.

참고 문헌

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같이 보기

• 드무아브르의 정리

외부 링크

• 네이버 캐스트 - 대수학의 기본 정리