대수적으로 닫힌 체

추상대수학에서 대수적으로 닫힌 체(代數的으로 닫힌 體, 영어: algebraically closed field)는 모든 다항식을 1차 다항식으로 인수 분해할 수 있는 체이다.

정의

체 $K$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 대수적으로 닫힌 체라고 한다.

다항식환 $K[t]$ 의 임의의 원소 $p(t)\in K[t]$ 에 대하여, $p(t_{0})=0$ 인 $t_{0}\in K$ 가 항상 적어도 하나가 존재한다.
$K[x]$ 의 기약 다항식이 모두 일차식이다.
$K$ 의 대수적 확대가 $K$ 자신밖에 존재하지 않는다.
임의의 $K^{n}$ 에 대해, $K^{n}\to K^{n}$ 인 선형 변환은 항상 어떠한 고윳값을 가진다. (이것은 해당 선형 변환의 특성다항식이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)

체 $K$ 의 대수적 폐포(代數的閉包, 영어: algebraic closure) ${\bar {K}}$ 는 $K$ 를 포함하는, 대수적으로 닫힌 대수적 확대 ${\bar {K}}/K$ 이다. 대수적 폐포는 항상 존재한다. 주어진 체 $K$ 의 대수적 폐포들은 모두 서로 동형이지만, 이러한 동형은 표준적(영어: canonical)이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 함자를 이루지 않는다.

분류

두 대수적으로 닫힌 체 $K$ 와 $K'$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$K$ 와 $K'$ 은 체로서 서로 동형이다.
$K$ 와 $K'$ 은 같은 표수를 가지며, 또한 같은 절대 초월 차수(대수 독립 집합의 최대 크기)를 갖는다.

따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 $p$ 와 초월 차수 $\kappa$ 로 완전히 분류된다. 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체들은

{\overline {\mathbb {F} _{p}(\{x_{i}\}_{i\in I})}}

또는

{\overline {\mathbb {Q} (\{x_{i}\}_{i\in I})}}

의 꼴로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 복소수체는 초월 차수가 $2^{\aleph _{0}}$ 인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이므로,

\mathbb {C} \cong {\overline {\mathbb {Q} (\{x_{i}\}_{i\in 2^{\aleph _{0}}})}}

이다.

성질

절대 초월 차수가 기수 $\kappa$ 인 대수적으로 닫힌 체 $K$ 의 집합의 크기는 다음과 같다.

|K|=\max\{\kappa ,\aleph _{0}\}

즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이다. 이는 $\kappa >\aleph _{0}$ 이면 절대 초월 차수와 같으므로, 비가산 대수적으로 닫힌 체들은 집합의 크기와 체의 표수에 따라 분류된다. (물론, 이는 가산 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.)

예

표수 0

복소수체는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 대수학의 기본 정리로 알려져 있다.
실수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 예를 들어, 변수 $x$ 에 대한 다항방정식 $x^{2}+1=0$ 은 실수근을 갖지 않는다. 실수체의 대수적 폐포는 복소수체다. (대수학의 기본 정리)
유리수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포는 대수적 수의 체이다.

양의 표수

모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ 인 경우, 다항식 $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1$ 은 해를 갖지 않는다. 소수 $p$ 의 크기를 가진 유한체 $\mathbb {F} _{p}$ 의 대수적 폐포 ${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ 는 귀납적 극한