Косинустар теоремасы

Косинустар теоремасы – үшбұрыштың екі қабырғасы мен сол екі қабырғаның арасындағы бұрышы бойынша оның үшінші қабырғасын анықтауға арналған теорема. Бұл теорема былайша тұжырымдалады: үшбұрыштың кез келген бір қабырғасының квадраты былайғы екі қабырғасы квадраттарының қосындысынан сол қабырғалар мен олардың арасындағы бұрыш косинусының екі еселенген көбейтіндісін азайтқанға тең:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$,

мұндағы $a,b,c$ – үшбұрыштың қабырғалары, $\alpha$ – үшбұрыштың $a$ және $b$ қабырғаларының арасындағы бұрыш.

Дәлелдеу  

Үшбұрыш $ABC$-ны қарастырайық. $C$ төбесінен $AB$ қабырғасына $CD$ биіктік түсірейік. $ADC$ үшбұрышынан:

$AD=b\cos \alpha$,

$DB=c-b\cos \alpha$

Пифагор теоремасын екі тік бұрышты үшбұрыш $ADC$ мен $BDC$ үшін жазайық:

$h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)$

$h^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)$

(1) мен (2) теідеулерінің оң жақтарын теңестірсек:

$b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}$

немесе

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$.

Егер табанындағы бір бұрышы дэңес болған жағдайда (ал биіктігі табанының созындысына түседі), толықтай біз қарастырғандай болады.

b мен c қабырғалары үшін:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$.