Ոսկե եռանկյուն

Ոսկե եռանկյուն^[1], հավասարասրուն եռանկյունի է, որի մեջ երկու կողային (հավասար) կողմերը հիմքի հետ գտնվում են ոսկե համամասնության մեջ։

{a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.

Ոսկե եռանկյունիները կարելի է գտնել դոդեկաէդրի(կանոնավոր բազմանիստ) և իկոսաէդրի փռվածքների աստղանման պատկերների մեջ։

Այդ եռանկյունն կարելի է հանդիպել նաև պենտագրամի գագաթներին։ Գագաթի անկյունը հավասար է։

\theta =\cos ^{-1}\left({\varphi  \over 2}\right)={\pi  \over 5}=36^{\circ }.

Իմանալով, որ եռանկյան անկյունների գումարը 180° է, մենք ստանում ենք, որ հիմքի անկյունները հավասար են 72 °-ի ^[1]։ Ոսկե եռանկյուն կարելի է գտնել նաև կանոնավոր տասանկյան մեջ՝ կենտրոնը միացնելով երկու հարևան գագաթներին։ Ստացված եռանկյունը ոսկե կլինի, քանի որ կանոնավոր տասանկյան ներքին անկյուններից յուրքանչյուրը՝ 180°(10°-2)/10=144° է, միացնելով տասանկյան գագաթը և կենտրոնը, ներքին անկյան մասերը կլինեն՝ 144°/2=72°^[1].

Ոսկե եռանկյան անկյունները ևս յուրահատուկ են, քանի որ նրաք հարաբերում են ինչպես՝ 2: 2: 1^[2]։

Լոգարիթմական պարույր

Ոսկե եռանկյունների հաջորդականությանը կարելի է պարուրել լոգարիթմական պարույրով՝ (մեծ եռանկյունուց սկսած) հիմքի անկյունը տրոհելով երկու հավասար մասերի, ստանում ենք հաջորդ կետը^[3] որով կանցնի պարույրը։ Տրոհման այս գործընթացը կարող է շարունակվել անվերջ՝ ստեղծելով անվերջ թվով ոսկե եռանկյուններ։ Ստացված գագաթներով կարելի է գծել լոգարիթմական պարույր։ Այս պարույրը հայտնի է նաև որպես հավսարանկյուն պարույր անվանբ։ Այդ տերմինը առաջարկեց Ռենե Դեկարտը․ «Եթե բևեռից ուղիղ գիծ գծեք կորի ցանկացած կետի, այն կորը կհատի միշտ նույն անկյան տակ»^[4]։

Ոսկե գնոմոն

Ոսկե եռանկյան հետ սերտորեն կապված է ոսկե գնոմոնը՝ բութանկյուն հավասարասրուն եռանկյուն, որի մեջ հավասար (կարճ) կողմերի երկարությունների հարաբերությունը երրորդ կողմի (հիմքի) երկարությանը ոսկե հարաբերակցության հակառակն է։ Ոսկե գնոմոնը եզակի եռանկյուն է ՝ 1: 1: 3 անկյունային հարաբերակցությամբ։ Նրա սուր անկյունները 36° են, ինչպես ոսկե եռանկյան գագաթի անկյունը։ Նկարում երևում է, որ AX-ի և СX-ի երկարությունները հավասար են φ։ «Ոսկե եռանկյան հիմքի ու կողմի հարաբերությունը հավասար են ոսկե հարաբերակցությանը՝ φ, ինչպես նաև ոսկե գնոմոնի կողմի և հիմքի հարաբերությունը, հավասար է ոսկե հարաբերակցությանը»^[5]։

Ոսկե եռանկյունը կարելի է տրոհել ոսկե եռանկյունու և ոսկե գնոմոնի։ Նույնը վերաբերում է ոսկե գնոմոնին։ Ստացված ոսկե գնոմոնը և ոսկե եռանկյունը՝ իրենց հավասար կողմերով (գնոմոնի կողմը հավասար է եռանկյան կողմին) նույնպես հանդրսանում են Ռոբինսոնի բութանկյուն և սուրանկյուն եռանկյուններ^[2]։ Այս հավասարասրուն եռանկյունիները կարող են օգտագործվել Պենրոուզի խճանկարներ ստեղծելու համար։ Պենրոուզի խճանկարները կազմված են «օձերից» և «տեգերից»։ «Օձը» դելտոիդ է, որը բաղկացած է երկու ոսկե եռանկյունուց, իսկ «տեգերը»` դելտոիդ, որը բաղկացած է երկու ոսկե թզուկներից։

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Elam, 2001
↑ ^2,0 ^2,1 «Tilings Encyclopedia». Արխիվացված է օրիգինալից 2009 թ․ մայիսի 24-ին. Վերցված է 2021 թ․ օգոստոսի 6-ին.
↑ Huntley, 1970
↑ Livio, 2002
↑ Loeb, 1992

Գրականություն

Kimberly Elam Geometry of Design. — New York: Princeton Architectural Press, 2001. — ISBN 1-56898-249-6
H.E. Huntley The Divine Proportion: A Study In Mathematical Beauty. — New York: Dover Publications Inc, 1970. — ISBN 0-486-22254-3
Mario Livio The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. — Broadway Books, 2002. — ISBN 0-7679-0815-5
Arthur Loeb Concepts and Images: Visual Mathematics. — Boston: Birkhäuser Boston, 1992. — ISBN 0-8176-3620-X

Արտաքին հղումներ

Weisstein, Eric W., "Golden triangle", MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Golden gnomon", MathWorld.
Robinson triangles at Tilings Encyclopedia

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Ոսկե եռանկյուն» հոդվածին։

[Elam—2001——-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Elam, 2001

[tilings-2] 2,0 ^2,1 «Tilings Encyclopedia». Արխիվացված է օրիգինալից 2009 թ․ մայիսի 24-ին. Վերցված է 2021 թ․ օգոստոսի 6-ին.

[Huntley—1970——-3] Huntley, 1970

[Livio—2002——-4] Livio, 2002

[Loeb—1992——-5] Loeb, 1992

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]