צפיפות דיריכלה

בתורת המספרים, צפיפות דיריכלה היא מדד לגודל של קבוצה אחת, בדרך כלל אינסופית, ביחס לקבוצה אחרת. השימוש במדד שכיח בעיקר בתורת המספרים האנליטית, והוא קרוי גם צפיפות אנליטית.

מדד זה לצפיפות הוצע על ידי המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה, כאשר הוכיח את משפטו המפורסם על ראשוניים בסדרות חשבוניות: אם $a$ זר ל-$n$, אז יש אינסוף מספרים ראשוניים הנותנים שארית $a$ בחלוקה ל-$n$. דיריכלה הוכיח למעשה שהצפיפות של קבוצת הראשוניים מהצורה $a+nx$, בתוך כל הראשוניים, שווה ל-${\frac {1}{\phi (n)}}$, כאשר $\phi$ היא פונקציית אוילר.

הגדרה

הצפיפות מוגדרת באופן הבא: אם $A\subseteq B$ קבוצות של מספרים טבעיים, אז הצפיפות של $A$ בתוך $B$ היא הגבול $\lim _{s\rightarrow 1^{+}}{\frac {\sum _{a\in A}a^{-s}}{\sum _{b\in B}b^{-s}}}$, בתנאי שהגבול קיים. כאשר הגבול קיים, הצפיפות היא תמיד בין 0 ל-1. המדד שימושי בעיקר כאשר הסכום $\sum _{b\in B}b^{-1}$ שבמכנה שווה לאינסוף. תופעה זו מתרחשת כאשר הקבוצה $B$ היא 'קבוצה גדולה', כמו קבוצת כל המספרים הטבעיים (ראו הטור ההרמוני), או קבוצת כל המספרים הראשוניים (ראו טור ההופכיים של המספרים הראשוניים).

הגדרות אנלוגיות קיימות גם עבור קבוצות אחרות מלבד המספרים הטבעיים, כגון אידיאלים ראשוניים בחוגי שלמים של שדות מספרים, או פולינומים מעל שדה סופי.

אם מחזיקים את הקבוצה $B$ קבועה, אפשר לחשוב על הצפיפות היחסית של $A$ כמין פונקציית מידה על המרחב $B$; הצפיפות מקיימת חלק מן האקסיומות המתארות פונקציות מידה, אך לא את כולן (צפיפות דיריכלה אינה "$\sigma$-אדיטיבית"). את צפיפות דיריכלה אפשר להשוות ל"צפיפות טבעית", $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,n\}|}{|B\cap \{1,\dots ,n\}|}}$ (כאשר הגבול קיים), שגם לה תכונות רבות של פונקציית מידה. אם הצפיפות הטבעית קיימת, אז גם צפיפות דיריכלה קיימת, ושווה לה בערכה המספרי. מאידך, לא קשה לבנות דוגמאות שבהן הצפיפות הטבעית אינה קיימת, בעוד שצפיפות דיריכלה מוגדרת היטב; במובן זה, צפיפות דיריכלה מהווה הכללה משמעותית של הצפיפות הטבעית. במקרה של משפט דיריכלה שהובא לעיל, גם הצפיפות הטבעית קיימת (אך ההוכחה לכך קשה מן ההוכחה המקורית של דיריכלה).

ראו גם

• צפיפות (תורת המספרים)
• צפיפות שנירלמן

קישורים חיצוניים

• צפיפות דיריכלה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)