אידיאל ראשוני

במתמטיקה, אידיאל ראשוני הוא אידיאל שאינו יכול להכיל מכפלה של שני אידיאלים בלי להכיל אחד מהם. הגדרה זו מכלילה את התכונה הבסיסית של מספרים ראשוניים בחוג המספרים השלמים: מספר ראשוני אינו מחלק מכפלה בלי לחלק את אחד הגורמים שלה. לאידיאלים הראשוניים, ולחוגים הראשוניים לצידם, תפקיד חשוב בתורת המבנה של החוגים בשל הזמינות של טיעונים אינדוקטיביים הכרוכים בהם. בפרט, בחוגים קומוטטיביים, אפשר לתרגם טענות גאומטריות לטענות על אידיאלים ראשוניים, ולהפך. בהקשר זה יש חשיבות רבה לאורך המקסימלי של שרשרת של אידיאלים ראשוניים, הקרוי ממד קרול.

הגדרה

אידיאל (אמיתי, היינו שאינו שווה לכל החוג) $P$ נקרא ראשוני אם לכל שני אידיאלים $A$ ו-$B$, מההכלה $AB\subseteq P$ נובע $A\subseteq P$ או $B\subseteq P$. זה שקול לכך שחוג המנה $R/P$ הוא ראשוני. עבור אידיאל בחוג קומוטטיבי, אפשר להגדיר גם לפי איברים: $P$ ראשוני אם מ-$ab\in P$ נובע ש-$a\in P$ או $b\in P$.

אם חוג המנה $R/P$ הוא תחום, אומרים ש-$P$ ראשוני לחלוטין (ההגדרות מתלכדות בחוגים קומוטטיביים).

דוגמאות

בחוג קומוטטיבי $R$, אידיאל האפס הוא ראשוני אם ורק אם החוג הוא תחום שלמות, ובאופן כללי יותר, האידיאל $P$ ראשוני אם ורק אם חוג המנה $R/P$ הוא תחום שלמות. אידיאל ראשי $Rp$ בתחום שלמות הוא ראשוני אם ורק אם האיבר $p$ ראשוני. בפרט, האידיאל $\mathbb {Z} n$ ראשוני בחוג המספרים השלמים אם ורק אם $n$ מספר ראשוני.

כל אידיאל מקסימלי הוא ראשוני, אבל ההפך אינו נכון, משום שקיימים תחומי שלמות שאינם שדות (וחוגים ראשוניים שאינם פשוטים).

בחוג קומוטטיבי, האיחוד על פני שרשרת של אידיאלים ראשוניים הוא אידיאל ראשוני. לעומת זאת, במקרה הלא קומוטטיבי הטענה איננה נכונה.

מיקום

בחוג קומוטטיבי $R$, אידיאל $P$ הוא ראשוני אם ורק אם המשלים שלו סגור לכפל, ולכן הוא מונואיד. כך אפשר לבצע מיקום של החוג ביחס לאותו אידיאל; החוג המתקבל $R_{P}$ הוא חוג מקומי, שהאידיאלים שלו מתאימים לאידיאלים המוכלים ב-$P$; בפרט, האידיאל המתאים ל-$P$ הוא האידיאל המקסימלי היחיד.

חוגי דדקינד

אידיאלים ראשוניים הופיעו לראשונה בתורת המספרים האלגברית, בניסיון להכליל את המשפט היסודי של האריתמטיקה על פירוק יחיד של מספר שלם לגורמים ראשוניים, לחוגי מספרים כללים יותר. פירוק כזה היה נחוץ לצורך הוכחת המשפט האחרון של פרמה. ריכרד דדקינד מצא שבחוגים מסוימים (הקרויים על-שמו חוגי דדקינד) יש פירוק יחיד של כל אידיאל כמכפלה של אידיאלים ראשוניים.

אידיאלים ראשוניים בהרחבות

האורך המקסימלי (נאמר, $n$) של שרשרת אידיאלים ראשוניים $P_{0}\subset \cdots \subset P_{n}=P$ נקרא הגובה של $P$. הגובה המקסימלי האפשרי בחוג הוא ממד קרול הקלאסי שלו (העשוי להיות אינסופי אפילו אם כל הראשוניים בעלי גובה סופי).

בהרחבה $C\subset R$ של חוגים קומוטטיביים, האידיאל הראשוני $Q$ של $R$ נמצא "מעל" אידיאל ראשוני $P$ של $C$, אם $Q\cap C=P$. ההרחבה מקיימת את התכונות:

• LO (או Lying Over) אם מעל כל אידיאל ראשוני של $C$ יש אידיאל ראשוני של $R$;
• INC (או Incomparability) אם שני אידיאלים של $R$, שאחד מהם מכיל את רעהו, אינם יכולים להמצא מעל אותו אידיאל של $C$;
• GU (או Going Up) אם כאשר $Q$ מעל $P$ ו-$P'\subset P$, יש גם אידיאל ראשוני מעל $P'$;
• GD (או Going Down) אם כאשר $Q$ מעל $P$ ו-$P\subset P'$, יש גם אידיאל ראשוני מעל $P'$.

יש סוגים רבים של הרחבות שבהן מתקיימות תכונות אלה, או מקצתן. שתי התכונות הראשונות, בצירוף אחת משתי האחרונות, מספיקות כדי לקבוע שלשני החוגים יש אותו ממד קרול.

ראו גם

• ספקטרום של חוג

קישורים חיצוניים

• אידיאל ראשוני, באתר MathWorld (באנגלית)