מצולע

מגוון מצולעים מסוגים שונים (משמאל לימין): פתוח (ללא שפה), שפה בלבד, סגור, וחוצה את עצמו.

בגאומטריה, מצולע הוא חלק ממישור המתוחם על ידי מספר סופי של קטעים הנפגשים זה עם זה בקודקודים. כל אחד מקטעים אלה נקרא צלע. הזוויות הנוצרות על ידי זוג צלעות סמוכות נקראות זוויות המצולע. הצלעות במצולע מסודרות באופן מעגלי. מצולע שבו כל צלע נפגשת רק עם שתי שכנותיה בנקודות הקצה נקרא מצולע פשוט. מצולע שבו יש צלעות החופפות זו את זו לאורך קטע הוא מצולע מנוון.

מינוח

המצולעים נקראים על פי מספר הצלעות, לדוגמה: במרובע ישנן ארבע צלעות, במחומש ישנן חמש צלעות, במשושה שש צלעות וכך הלאה. ניתן ליצור אינסוף מצולעים. בטבלה שלהלן מצויים שמות שמונה המצולעים הראשונים:

שמות המצולעים
שם	צלעות
משולש	3
מרובע	4
מחומש	5
משושה	6
משובע	7
מתומן	8
מתושע	9
מעושר	10

• צלעות סמוכות במצולע הן שתי צלעות שיש להן קודקוד משותף.
• זוויות סמוכות במצולע הן שתי זוויות הנשענות על אותה הצלע.
• זווית חיצונית היא זווית בין צלע מסוימת להמשך הצלע הסמוכה לה.
• אלכסון הוא קטע המחבר שני קודקודים שאינם סמוכים.
• מספר האלכסונים במצולע בן n צלעות הוא ${\frac {n\left(n-3\right)}{2}}\,$ (ע"ע ההוכחה).

סוגי מצולעים

• מצולע קמור: מצולע שבו הקו המחבר כל שתי נקודות מתוך המצולע עובר כולו בתוך המצולע. כתוצאה מכך, זהו מצולע שבו כל הזוויות הפנימיות קטנות מ-180 מעלות.
• מצולע קעור: מצולע שבו ישנו לפחות אלכסון אחד העובר כולו מחוץ למצולע. מכאן, זהו מצולע בעל זווית אחת לפחות הגדולה מ-180 מעלות.
• מצולע שווה-צלעות: מצולע שכל צלעותיו שוות. דוגמה למצולע שווה-צלעות היא מעוין.
• מצולע משוכלל: מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות. דוגמאות למצולע משוכלל הם הריבוע והמשולש שווה הצלעות.

היררכיית המרובעים

לעיתים ניתן למצולע שם המפרט מעט יותר את תכונותיו. דוגמאות:

• במשפחת המשולשים מבחינים ב:
  • משולש שווה-צלעות: משולש שכל צלעותיו וכל זוויותיו שוות, כל זווית היא של 60 מעלות, ובסך הכל יש במשולש שווה-צלעות 180 מעלות.
  • משולש שווה-שוקיים: משולש שזוג מצלעותיו שוות. הצלע השלישית נקראת צלע הבסיס.
  • משולש ישר-זווית: משולש שבו ישנה זווית ישרה.
• במשפחת המרובעים מבחינים ב:
  • ריבוע: מרובע שכל צלעותיו שוות באורכן וכל זוויותיו שוות (צלעותיו הנגדיות מקבילות זו לזו).
  • מלבן: מרובע שכל זוויותיו שוות, צלעותיו הנגדיות שוות ומקבילות.
  • מעוין: מרובע שכל צלעותיו שוות באורכן.
  • מקבילית: מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות ומקבילות.
  • דלתון: מרובע שבו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות זו לזו.
  • טרפז: מרובע ששתיים מצלעותיו מקבילות זו לזו.
  • טרפז שווה-שוקיים: טרפז בעל שוקיים שוות זו לזו.

סכום הזוויות במצולע

חלוקת מצולע בעל n צלעות ל- n − 2 משולשים

סכום הזוויות הפנימיות במצולע קמור בעל n צלעות (n קודקודים) הוא $\ (n-2)\cdot 180^{\circ }$.
מהנוסחה הזאת נובע שסכום הזוויות החיצוניות במצולע קמור הוא $360^{\circ }$ (כאשר בכל קודקוד מחשבים רק זווית חיצונית אחת) $180n-180(n-2)=2\cdot 180=360$.
גודלה של כל זווית במצולע משוכלל בעל n צלעות הוא: $\alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }$ או $\alpha =180^{\circ }-{\frac {360^{\circ }}{n}}$.

ההוכחה של אוקלידס (עבור גיאומטריה אוקלידית)

ההוכחה הנלמדת בבתי הספר, שמקורה באוקלידס מורכבת משני שלבים, השלב הראשון הוא הוכחה שסכום הזויות במשולש שווה ל-180 מעלות והשלב השני נוגע לכל יתר המצולעים. נתחיל מהשלב השני. נבצע על המצולע טריאנגולציה, כלומר נחלק אותו למשולשים (ראו ציור). באופן זה המצולע מתחלק ל n-2 משולשים, כאשר n הוא מספר הצלעות. סכום הזויות במצולע שווה לסכום הזויות של כל המשולשים יחד, שהוא 180 כפול מספרם כלומר $\ (n-2)\cdot 180^{\circ }$ . מ.ש.ל.

על מנת להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא 180 נבנה קו מקביל לאחת הצלעות במשולש, העובר דרך הקודקוד שממולה (ראו ציור). עתה ניתן לראות שהזויות שבין צלעות המשולש, לקו שבנינו שווים לזוויות הפנימיות במשולש, ויחד יוצרים זווית של 180 מעלות. מ.ש.ל

הוכחה שסכום הזוויות במשולש שווה 180 מעלות: נתחיל בבניית עזר. נצייר קו מקביל לבסיס המשולש, שחותך את המשולש בקודקוד של $\ \gamma$. מכיוון ש- $\ \alpha ',\beta ',\gamma$ יוצרים זווית שטוחה אזי $\alpha '+\beta '+\gamma =180^{\circ }$. כעת, בגלל שצלעות המשולש הצדדיות חותכות שני קווים מקבילים מתקיימים השוויונות הבאים בין הזוויות: $\alpha =\alpha '\,\ \beta =\beta '$. נציב זאת בשוויון לעיל ונקבל: $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$, כלומר: סכום הזוויות במשולש שווה 180 מעלות. מ.ש.ל.

מסע הצב

ההוכחה הבאה מתבססת על שפת התכנות לוגו, שבה מציירים צורות בעזרת הפקודות 'קדימה' ו'ימינה'. נעקוב אחר הצב בזמן שהוא מצייר את המצולע, בכל שלב הזווית שבה הצב מסתובב שווה לזווית החיצונית לזווית של המצולע, ובסה"כ לאחר ציור המצולע כולו הצב חוזר לאותו כיוון ולכן הסתובב בסה"כ 360 מעלות. הוא חזר על הפעולה n פעמים לכן אם נציין ב-A את סכום הזויות במצולע נקבל ש:$\ n\cdot 180^{\circ }-A=360^{\circ }$ ומכאן :

$\ A=n\cdot 180^{\circ }-360^{\circ }=(n-2)\cdot 180^{\circ }$

ריצופים ופאונים

ריצוף בעזרת משושים

על מנת ליצור ריצוף - כלומר לכסות את המישור כולו במצולעים, חייב להתקיים תנאי על הזויות: סכום הזויות בכל קודקוד חייב להיות שווה ל-360. מכאן ניתן לראות לדוגמה שהמצולעים המשוכללים היחידים שניתן לרצף רק איתם את המישור הם המשולש הריבוע והמשושה המשוכללים, שכן רק הזויות הפנימיות שלהם מחלקים את 360.

התנאי ליצירה של פאון (צורה תלת־ממדית הבנויה ממצולעים) היא שסכום הזויות בכל קודקוד יהיה קטן מ-360. מכאן ניתן להיוכח שהמצולעים היחידים שמהם ניתן לבנות פאון משוכלל (פאון שבו כל הפאות הם מצולעים משוכללים זהים, ואותו מספר פאות נפגש בכל קודקוד) הם המשולש, הריבוע והמחומש. ישנם 3 פאונים משוכללים שניתן לבנות מהמשולש המשוכלל, ולכן בסך הכל ישנם 5 פאונים משוכללים. פאונים אלו קרויים גם 'פאונים אפלטוניים', על שם הפילוסוף היווני אפלטון.

ראו גם

• מספר מצולע

קישורים חיצוניים

• מצולעים, באתר משרד החינוך
• מצולע, באתר MathWorld (באנגלית)
• אילון גלעד, כיצד עוברתו הצורות ההנדסיות?, באתר הארץ, 17 באפריל 2019
• מצולע, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• מצולעים, דף שער בספרייה הלאומית