Triángulo

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Triángulo (homónimos).

Triángulo irregular (escaleno).

Un triángulo, en xeometría plana, é un polígono de tres lados con tres ángulos internos que suman 180º. Os vértices, onde concorren os lados, son tres puntos coplanarios non aliñados.

Tamén se pode definir un triángulo en superficies xerais, sendo diferentes as súas propiedades. Se está contido nunha superficie esférica denomínase triángulo esférico. Na cartografía, representando a superficie terrestre, denomínase triángulo xeodésico.

Notación

Un exemplo de triángulo ABC.

Cómpre ter unha fórmula estándar para definir un triángulo. Aos puntos, pois tense o costume de designalos con letras latinas maiúsculas, e así, nun triángulo, os vértices son A, B e C. Daquela, con isto, un triángulo defínese empregando os seus vértices e así temos o triángulo ABC. Nótese, que por ser triángulo, dá igual a orde en que poñamos os puntos, pois vai coincidir sempre co trazado do seu perímetro, cousa que non pasa cos outros polígonos, onde para definilos ben hai que ter en conta o percorrido que fai o seu perímetro.

Os lados do triángulo anótanse, como calquera segmento, indicando os extremos: AB, BC e AC ou CA. Para designar o valor da lonxitude do segmento, xeralmente, empregamos o nome do vértice oposto, converténdoo en minúscola, e así temos $a$ para BC, $b$ para AC e $c$ para AB.

Para os ángulos, como norma xeral, empréganse os segmentos que o conforman indicando cal é o vértice, por exemplo, AB e BC, que comparten o punto B, o ángulo é ${\widehat {ABC}}.\,$ Tamén se utiliza unha letra minúscula, habitualmente grega, algunhas veces cun acento circunflexo, para este labor, e nalgúns casos, pois empregase o vértice correspondente cun acento circunflexo. Seguindo o noso exemplo temos:

${\widehat {\alpha }}={\widehat {a}}={\widehat {A}}={\widehat {BAC}},\ {\widehat {\beta }}={\widehat {b}}={\widehat {B}}={\widehat {ABC}},\ {\widehat {\gamma }}={\widehat {c}}={\widehat {C}}={\widehat {ACB}}\,$

Tipos de triángulos

O triángulo, en función dos seus lados, pode ser:

• Equilátero: cando o triángulo ten os seus tres lados (e polo tanto os seus ángulos) iguais.
• Isóscele: cando ten dous lados (e dous ángulos) iguais, e outro desigual.
• Escaleno: cando ten os tres lados (e ángulos) desiguais.

O triángulo, en función dos seus ángulos, pode ser:

• Acutángulo: cando ten os seus tres ángulos agudos (menores de 90 graos).
• Rectángulo: cando ten un ángulo recto (de 90 graos).
• Obtusángulo: cando ten un ángulo obtuso (maior de 90 graos).

O triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras.

Artigo principal: triángulo rectángulo.

Un caso especial e amplamente estudado é o do triángulo rectángulo polas súas propiedades xeométricas. Neste tipo de triángulos, o lado oposto ó ángulo de 90 graos chámase hipotenusa, e os outros dous catetos. A área dun triángulo rectángulo pódese calcular como o produto (das lonxitudes) dos catetos dividido entre dous. Ademais, sempre se cumpre que o cadrado da hipotenusa é igual á suma dos cadrados dos catetos (propiedade enunciada no Teorema de Pitágoras).

Ademais, defínese o coseno dun ángulo como a lonxitude do cateto contiguo partido pola hipotenusa, e o seno como cateto oposto dividido entre a hipotenusa. A tanxente será a razón entre o cateto oposto e o contiguo, ou entre o seno e o coseno.

Se xuntamos dous triángulos rectángulos iguais superpoñendo as súas hipotenusas, a figura resultante é un rectángulo (de aí a relación entre o cálculo das áreas de ambas figuras). Se os triángulos unidos son, ademais de rectángulos, isósceles (os ángulos agudos son de 45 graos), resulta un cadrado.

Propiedades dos triángulos

Área

• A superficie ou área calcúlase pola fórmula $A={\frac {bh}{2}}$ onde b é a lonxitude dun lado (a base) e h a altura respecto dese lado.

A fórmula de Heron, que recibe o nome de Heron de Alexandría, é unha fórmula para atopar a área de triángulos arbitrarios. Esta fórmula implica tres lados dun triángulo $a,b,c$ e o seu semiperímetro $s$:

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$.

Ángulos

• A suma das lonxitudes de dous dos seus ángulos é sempre maior ca a do terceiro lado.
• A suma dos seus ángulos é igual a 180º.
• Teorema do seno: nun triángulo calquera, os lados son proporcionais aos senos dos ángulos opostos:
  ${\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}={\frac {c}{\sin(C)}}$
• Teorema do coseno: nun triángulo calquera, o cadrado dun lado é igual á suma dos cadrados dos outros lados menos o dobre do produto destes lados polo coseno do ángulo comprendido entre eles:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos(B)$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C)$

Lados

• Teorema de Pitágoras: nun triángulo rectángulo, a suma dos cadrados dos catetos é igual ao cadrado da hipotenusa: $a^{2}=b^{2}+c^{2}$.
• Desigualdade do triángulo: a suma das lonxitudes de dous lados calquera dun triángulo debe ser maior ou igual á lonxitude do terceiro lado. Esa suma pode igualar a lonxitude do terceiro lado só no caso dun triángulo dexenerado, un con vértices colineares.
• Un triángulo con tres lonxitudes de lados positivas dadas existe se e só se esas lonxitudes de lados satisfán a desigualdade do triángulo.

Liñas, puntos e circunferencias notables dos triángulos

• Altura e ortocentro: a altura dun triángulo é a perpendicular trazada dende un vértice ao seu lado oposto. O punto onde se cortan as tres alturas é o ortocentro. Os puntos medios dos tres lados e os pés das tres alturas están todos nunha única circunferencia, a circunferencia de nove puntos do triángulo.
• Mediana ou transversal de gravidade e baricentro: a mediana é a liña que une un vértice co punto medio do lado oposto. O punto de corte entre as tres medianas chámase baricentro.
• Mediatriz e circuncentro: levantando perpendiculares polo punto medio de cada un dos lados obtéñense as mediatrices. O punto no que se cortan as tres mediatrices é o circuncentro, e é o centro da circunferencia circunscrita ao triángulo.
• Bisectriz e incentro: a bisectriz dun ángulo é o lugar xeométrico dos puntos que equidistan dos lados. O incentro é o punto no que converxen as bisectrices dos vértices, e ademais é o centro da circunferencia inscrita no triángulo.

• 
  Alturas e ortocentro.
• 
  Medianas e baricentro.
• 
  Mediatriz e circuncentro.
• 
  Bisectriz e incentro.

No artigo Encyclopedia of Triangle Centers e na enciclopedia do mesmo nome poden verse numerosos puntos estudados dos triángulos.

Coordenadas dos triángulos

Coordenadas cartesianas, definen o triángulo mediante as coordenadas cartesianas de cada vértice.

Coordenadas trilineares especifican as distancias relativas dun punto aos lados, de xeito que as coordenadas $x:y:z$ indican que a relación entre a distancia do punto do primeiro lado e a súa distancia do segundo lado é $x:y$, etc.

Coordenadas baricéntricas da forma $\alpha :\beta :\gamma$ especifican a localización do punto mediante os pesos relativos que habería que poñer nos tres vértices para equilibrar o triángulo ingrávido no punto dado.

Congruencia e semellanza de triángulos

Congruencia

Artigo principal: Congruencia (xeometría).

En matemáticas, dúas figuras xeométricas son congruentes se teñen os lados iguais e o mesmo tamaño. Dous triángulos son congruentes se teñen a mesma forma e tamaño, aínda que a súa posición ou orientación sexan distintas. As partes coincidentes das figuras congruentes chámanse homólogas ou correspondentes.

Triángulo	Postulados de congruencia
	Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) (SAS en inglés) Dous lados dun triángulo teñen a mesma lonxitude que dous lados do outro triángulo e os ángulos incluídos teñen a mesma medida.
	Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) (ASA en inglés) Dous ángulos interiores e o lado incluído nun triángulo teñen a mesma medida e lonxitude, respectivamente, que os do outro triángulo.
	Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) (SSS en inglés) Cada lado dun triángulo ten a mesma lonxitude que o lado correspondente do outro triángulo.
	Postulado AAS (Ángulo, Ángulo, Lado) (AAS en inglés) Dous ángulos e un lado correspondente (non incluído) nun triángulo teñen a mesma medida e lonxitude, respectivamente, que os do outro triángulo.

Semellanza

Artigo principal: Semellanza (xeometría).

Dise que dous triángulos son semellantes, se cada ángulo dun triángulo ten a mesma medida que o ángulo correspondente no outro triángulo. Os lados correspondentes de triángulos semellantes teñen lonxitudes que están na mesma proporción, e esta propiedade tamén é suficiente para estabelecer a semellanza.

Algúns teoremas básicos sobre triángulos semellantes son:

• Se e só se un par de ángulos internos de dous triángulos teñen a mesma medida entre si, e outro par tamén teñen a mesma medida entre si, os triángulos son semellantes.

• Se e só se un par de lados correspondentes de dous triángulos están na mesma proporción que outro par de lados correspondentes e os seus ángulos incluídos teñen a mesma medida, entón os triángulos son semellantes. (O ángulo incluído para dous lados calquera dun polígono é o ángulo interno entre eses dous lados.)

• Se e só se tres pares de lados correspondentes de dous triángulos están todos na mesma proporción, entón os triángulos son semellantes.

En 3 dimensións

• 
  Tetraedro; poliedro de catro caras triangulares.
• 
  Octaedro; poliedro de oito caras triangulares.
• 
  Icosaedro; poliedro de vinte caras triangulares.

O triángulo é a forma das caras de tres poliedros regulares:

• Tetraedro: catro triángulos equiláteros (é a pirámide de base triangular).
• Octaedro: oito triángulos equiláteros, dúas veces unha piramide cun cuadrilatero como base (as pirámides de Exipto son medio-octaedros).
• Icosaedro: vinte triángulos equiláteros nas caras e esquinas formadas pola confluencia de 5 triángulos.

Véxase tamén

Outros artigos

• Trigonometría
• Triángulo de Sierpinski
• Triángulo equilátero