Área
Área[1] é a extensión ou superficie comprendida dentro dunha figura (de dúas dimensións), expresada en unidades de medida denominadas superficiais. Para superficies planas o concepto é intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma de triángulos.
Con todo, para calcular a área de superficies curvas requírese introducir métodos de xeometría diferencial.
Para poder definir a área dunha superficie en xeral, que é un concepto métrico, tense que definir un tensor métrico sobre a superficie en cuestión: cando a superficie está dentro dun espazo euclidiano, a superficie herda unha estrutura métrica natural inducida pola métrica euclídea.
Historia
[editar | editar a fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Orilla_del_Nilo.jpg/300px-Orilla_del_Nilo.jpg)
A idea de que a área é a medida que proporciona o tamaño da rexión encerrada nunha figura xeométrica provén da antigüidade. No Antigo Exipto, tras a crecida anual do río Nilo inundando os campos, xorde a necesidade de calcular a área de cada parcela agrícola para restablecer os seus límites; para liquidar iso, os exipcios inventaron a xeometría, segundo Heródoto. Heródoto Historias, Libro II.
O modo de calcular a área dun polígono como a suma das áreas dos triángulos, é un método que foi proposto por primeira vez polo sabio grego Antifón cara ao ano 430 a. C. Achar a área dunha figura curva entraña máis dificultade. O método de esgotamento consiste en inscribir e circunscribir polígonos na figura xeométrica, aumentar o número de lados de devanditos polígonos e achar a área buscada. Con este sistema, que se coñece como método de exhaución de Eudoxo, conseguiu achar a fórmula para calcular a área dun círculo. Devandito sistema foi empregado tempo despois por Arquimedes para resolver outros problemas similares: o problema da área así como o cálculo aproximado do número π.
Área de figuras planas
[editar | editar a fonte]Área dun triángulo
[editar | editar a fonte]A área dun triángulo calcúlase mediante a seguinte fórmula:[2]
onde l é calquera dos lados e h é a altura correspondente a ese lado.
Se o triángulo é rectángulo, a altura coincide cun dos catetos, e a fórmula quedaría da seguinte forma:
onde a e b son os catetos.
Se o que coñecemos é a lonxitude dos seus lados aplicamos a fórmula de Herón.
onde a, b , c son os valores das lonxitudes dos seus lados s = ½ (a + b + c) é o semiperímetro do triángulo.
Se o triángulo é equilátero, de lado a, a súa área está dada por
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Area.svg/200px-Area.svg.png)
Área dun cuadrilátero
[editar | editar a fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Tetragon_measures.svg/200px-Tetragon_measures.svg.png)
- O trapezoide ou cuadrilátero totalmente irregular que ten os seus catro ángulos diferentes e lados de lonxitudes desiguais. Neste caso a área pódese obter mediante triangulación sendo:
- Sendo:
- o ángulo comprendido entre os lados e .
- o ángulo comprendido entre os lados e .
- O rectángulo é un paralelogramo cuxos ángulos son todos de 90º; a área sería a multiplicación de dúas dos seus lados contiguos a e b:
- O rombo, cuxos 4 lados son iguais, ten a súa área dada polo semiproduto das súas dúas diagonais:
- O cadrado é o polígono regular de catro lados, é á vez un rectángulo e un rombo, polo que a súa área pode ser calculada da mesma maneira que a destes dous. En particular, dado que os seus lados son iguais, úsase a fórmula:
- Os paralelogramos en xeral teñen a súa área dada polo produto un dos seus lados e a súa altura respectiva:
- O trapecio (que ten dous lados paralelos entre si e dous lados non paralelos) cuxa área vén dada pola media aritmética dos seus lados paralelos multiplicado pola distancia entre eles (altura):
Área do círculo e a elipse
[editar | editar a fonte]A área dun círculo, ou a delimitada por unha circunferencia, calcúlase mediante a seguinte expresión matemática:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Areabetweentwographs.svg/200px-Areabetweentwographs.svg.png)
A área delimitada por unha elipse é similar e obtense como produto do semieixe maior polo semieixe menor multiplicados por π:
Área delimitada entre dúas funcións
[editar | editar a fonte]Unha forma para achar a área delimitada entre dúas funcións, é utilizando o cálculo integral:
O resultado desta integral é a área comprendida entre as curvas: e no intervalo .
- Exemplo
Se se quere achar a área delimitada entre o eixo x e a función f(x) = 4 - x^2 no intervalo [-2;2], utilízase a ecuación anterior, neste caso: g(x)=0 entón avaliando a integral, obtense:
Polo que se conclúe que a área delimitada é ..
O volume encerrado entre dúas funcións tamén pode ser reducido ao cálculo dunha integral, similar.
Área de superficies curvas
[editar | editar a fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Cone_3d.png/220px-Cone_3d.png)
A área dunha superficie curva é máis complexo e en xeral supón realizar algún tipo de idealización ou límite para medilo.
- Cando a superficie é desenvolvíbel, como sucede coa área lateral dun cilindro ou dun cono a área da superficie pode calcularse a partir da área desenvolvida que sempre é unha figura plana. Unha condición matemática necesaria para que unha superficie sexa desenvolvíbel é que a súa curvatura gaussiana sexa nula.
- Cando a superficie non é desenvolvíbel, o cálculo da superficie ou a fórmula analítica para atopar devandito valor é máis traballoso. Un exemplo de superficie non desenvolvíbel é a esfera xa que a súa curvatura gaussiana coincide co inverso do seu radio ao cadrado, e por tanto non é cero. Con todo a esfera é unha superficie de revolución.
Superficie de revolución
[editar | editar a fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Surface_of_revolution_illustration.png/200px-Surface_of_revolution_illustration.png)
Cando unha superficie curva pode ser xerada facendo virar unha curva plana ao redor dun eixo directriz, a superficie resultante chámase superficie de revolución e a súa área pode ser calculada facilmente a partir da lonxitude da curva xeratriz que ao virar conforma a superficie. Se y=f(x) é a ecuación que define un tramo de curva, ao virar esta curva ao redor do eixo X xérase unha superficie de revolución cuxa área lateral vale:
Cálculo xeral de áreas
[editar | editar a fonte]Mediante a xeometría diferencial de superficies ou máis xeralmente a xeometría riemanniana pode calcularse a área de calquera superficie curva finita. Se a superficie vén dada pola función explícita z = f(x, y) entón, dada unha rexión Ω contida nunha superficie a súa área resultar ser:
De maneira un pouco máis xeral se coñecemos a ecuación paramétrica da superficie en función de dúas coordenadas calquera o e v entón a área anterior pode escribirse como:
Onde E, F e G son as compoñentes do tensor métrico ou primeira forma fundamental da superficie nas coordenadas paramétricas u e v.
Unidades de medida de superficies
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: Unidade de superficie.
Sistema métrico (SI)
[editar | editar a fonte]Múltiplos:
- Quilómetro cadrado: 106 metros cadrados
- Hectárea: 104 metros cadrados
- Área: 10² metros cadrados
Unidade básica:
- metro cadrado: Unidade derivada do SI
Submúltiplos:
- centímetro cadrado: 10−4 metros cadrados
- barn: 10−28 metros cadrados
Sistema inglés de medidas
[editar | editar a fonte]Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Definicións no Dicionario da Real Academia Galega e no Portal das Palabras para área.
- ↑ Spiegel y Abellanas, 1992, p.9
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]![]() |
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Área ![]() |
Bibliografía
[editar | editar a fonte]Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.