Poileagan

'S ann ann am poileagan a tha cumadh le iomall a tha dèante de dh' àireamh de loidhnichean dìreach. Tha na loidhnichean seo nan oirean no taobhan a' phoileagain agus 's e goban a' phoileagain far an tig gach dà thaobh nan coinneimh. Chionn 's gun tig dà thaobh nan coinneimh aig ceàrn, 's ann a bhios an aon àireamh de cheàrnan 's a tha de thaobhan agus ri linn seo 's e ioma-cheàrnach a th' ann am poileagan. Thàinig am facal poileagan bhon Ghreugais πολή (iomadh) agus γωνία (ceàrn).

Seòrsachadh

Àireamh taobhan no òrdugh

Thèid poileagan a sheòrsachadh air a' chiad dol-a-mach a-rèir àireamh nan ceàrnan no taobhan a th' aige. Anns an dòigh seo, tha iad air an ainmeachadh: ceithir-cheàrnach, còig-cheàrnach, sia-cheàrnach, seachd-cheàrnach, agus mar sin air adhart. Tha ainm sònraichte aig trì-cheàrnach agus sin triantan. Agus tha ainmean sònraichte aig cuid de na ceithir-cheàrnaich: ceàrnag, ceart-cheàrnach, parailealogram agus trapesium.

Ma tha n taobhan aig poileagan, canaidh sinn gu bheil òrdugh n aig a' phoileagan. Bidh n taobhan, n ceàrnan agus n goban aig poileagan den òrdugh n.

Poileagain den òrdugh 3, 12 agus 24.

Dronnachd

Faodar poileagan a sheòrsachadh a-rèir ìre dronnachd a th' aige.

Tha poileagan:

• dronnach ma thèid gach loidhne troimhe tarsainn air iomall a' phoileagan aig dà phuing agus sin a-mhàin.
• neo-dhronnach ma gabhar loidhne sgrìobhadh troimhe a thèid tarsainn air an iomall aig còrr is dà phuing.
• sìmplidh mur tèid an t-iomall tarsainn air fhèin. Ma tha poileagan dronnach tha e sìmplidh cuideachd.
• cuasach ma tha e sìmplidh agus neo-dhronnach.
• reul-chruthach ma th' ann puing na bhroinn bhon gabhar a' bhroinn gu lèir ruigsinn gun a bhith a' dol tarsainn air an iomall. Feumaidh am poileagan a bhith sìmplidh ach faodaidh e bhith an dara cuid dronnach no cuasach.
• fèin-thrasnaidh ma thèid an t-iomall tarsainn air fhèin.
• na reul-phoileagan ma tha e fèin-thrasnaidh ann an dòigh cunbhalach.

Bho chlì gu deas: poileagan dronnach, poileagan cuasach agus poileagan fèin-thrasnaidh. Tha an dà dhiubh a chlì reul-chruthach agus am fear a dheas na reul-phoileagan.

Co-chothromachd

Tha poileagan:

• ionnan-cheàrnach ma tha na ceàrnan aig gach gob co-ionnan.
• cearclach ma lorgar gach gob air an aon chearcall. Canar cuairtchearcall a' phoileagain ris a' chearcall seo.
• ionnan-thaobhach ma tha an aon fhaid aig gach taobh.
• riaghailteach ma tha e cearclach agus ionnan-thaobhach.
• co-chasach ma tha, air a' char as lugha, aon loidhne cothromachaidh aige. Ma tha òrdugh a' phoileagain còrr, thèid an loidhne seo tarsainn air gob agus meadhan an oir mu choinneamh. Ma tha an t-òrdugh aige cothromach, thèid an loidhne tarsainn air dà ghob mun coinneamh no air meadhan dà thaoibh mun coinneamh.
• neo-chothromach mur eil co-chothromachd de sheòrsa sam bith aige.

Poileagain a tha (bho chlì gu deas) riaghailteach, co-chasach agus neo-chothromach.

Eile

Tha poileagan:

• dìreach ma tha na ceàrnan uile nan ceart-cheàrn - 's e sin ri ràdh gu bheil na ceàrnan a-staigh an dara cuid 90 no 270 puingean.
• aontonach a thaobh loidhne L ma thèid gach loidhne a tha ortogònach (.i. ceart-cheàrnach) ri L tarsainn air iomall a' phoileagain aig dà phuing air a' char as motha.

Co-chothromachd phoileagain

Faodaidh co-chothromachd de thrì seòrsaichean a bhith aig poileagan: co-chothromachd mheadhanach, co-chothromachd loidhne agus co-chothromachd chuartail.

• Ma tha co-chothromachd mheadhanach no co-chothromachd chuartail aig poileagan, canar meadhan a' phoileagain ri meadhan a' chothromachaidh no meadhan a' chuartachaidh.
• Ma tha an dà sheòrsa co-chothromachd aig poileagan, 's e an aon phuing meadhan a' chothromachaidh agus meadhan a' chuartachaidh.
• Ma tha còrr is aon loidhne chothromachaidh aig poileagan, bidh iad a' trasnadh aig meadhan a' phoileagain.
• Mur eil meadhan a' chothromachaidh no meadhan a' chuartachaidh aig poileagan agus mur eil còrr is aon loidhne chothromachaidh aige, chan eil meadhan aig a' phoileagan anns an t-seagh os cionn.

Co-chothromachd loidhne

Tha co-chothromachd loidhne aig poileagan ma gabhar fhilleadh ann an leithid de dhòigh 's gun suidhich an dara leth air an leth eile gu mionaideach. Tha poileagan den t-seòrsa seo co-chasach.

Tha aon loidhne cothromachaidh aig itealaig. Tha dà loidhne cothromachaidh aig ceart-cheàrnach. Tha 4 loidhnichean cothromachaidh aig ceàrnaig. 'S e meadhan a' phoileagain a th' ann am puing trasnadh nan loidhnichean cothromachaidh.

Chan eil loidhne cothromachaidh aig parailealogram.

Co-chothromachd chuartail

Tha co-chothromachd chuartail aig poileagan ma gabhar a chuartachadh mu phuing ann an leithid de dhòigh 's gun suidhich e gu mionaideach mar a bha e roimhe. 'S e meadhan a' chuartachaidh a' phuing mun dèanar an cuartachadh. Tha a' phuing seo na meadhan a' phoileagain.

'S e òrdugh a' chuartachaidh an àireamh de shuidheachaidhean eadar-dhealaichte a th' aig a' phoileagan. 'S e 3 a th' anns an òrdugh cuartachadh triantain ionnan-thaobhaich.

Co-chothromachd mheadhanach

Tha co-chothromachd mheadhanach aig poileagan ma tha meadhan a' phoileagain suidhichte an teis-meadhan gach prìomh thrastain (faic an ath earrann). 'S ann a leanas gum bi òrdugh cothromach aig a' phoileagan, agus gum bi na taobhan mu choinneamh co-shìnte agus den aon fhaid.

Trastanan

• Canar trastan ri loidhne a cheanglas dà ghob a' phoileagain mur eil an loidhne seo na taobh no na h-oir a' phoileagain. Ma tha òrdugh n aig poileagan, tha ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$ trastanan aige.
• Ma tha am poileagan cuasach, bidh cuid de na trastanan aige air taobh a-muigh. Anns an aon dòigh mur eil gach trastan gu lèir an taobh a-staigh, tha am poileagan cuasach.
• Ma tha òrdugh cothromach aig poileagan, 's e prìomh thrastanan a' phoileagain an astar eadar gach dà ghob mu choinneamh. Ma tha am poileagan den òrdugh n tha ${\tfrac {n}{2}}$ prìomh thrastanan aige. Mur eil òrdugh cothromach aig poileagan, chan eil prìomh-thrastan aige.
• Ma tha am poileagan riaghailteach, 's e trast-thomhas a' chuairtchearcaill a th' ann am prìomh thrastan a' phoileagain.

Trastanan a-muigh poileagain cuasaich; prìomh-thrastanan sia-cheàrnaich.

Cuairtchearcall agus cearcall snaighte

Ma tha gach gob poileagain air an lorg air cearcall, canaidh sinn gu bheil am poileagan cearclach, agus canar cuairtchearcall ris a' chearcall air na suidhich na goban. Tha cuairtchearcall aig a h-uile triantan, ceart-cheàrnach, agus poileagan riaghailteach. Faodaidh meadhan a' chuairtchearcaill a bhith taobh a-muigh a' phoileagain.

'S e cearcall snaighte a' phoileagain an cearcall as mò a thèid a sgrìobhadh na bhroinn agus a tha a' beantainn ris gach taobh. Tha cearcall snaighte aig gach triantan agus aig gach poileagan riaghailteach ged nach eil cearcall snaighte aig a' mhòr chuid de phoileagain.

Ma tha poileagan riaghailteach:

• 'S e trast-thomhas a' chuairtchearcaill a th' ann am prìomh-thrastain poileagain.
• 'S e radius a' phoileagain an astar bhon mheadhan gu gob agus 's e radius a' chuairtchearcaill a tha seo.
• Tha an cuairtchearcall agus an cearcall snaighte co-mheadhanach.
• 'S e àpoiteam a' phoileagain an astar bho mheadhan a' phoileagain gu meadhan gach taoibh. 'S e radius a' chearcaill shnaighte a th' anns an àpoiteam. (Canar radius goirid a' phoileagain ris cuideachd.)

Radius agus àpoiteam dà-dheug-cheàrnaich.

Ceàrnan

• Tha an aon àireamh de ghoban 's a tha de thaobhan aig poileagan co dhiubh an ann riaghailteach no neo-riaghailteach, sìmplidh no fèin-thrasnaidh a tha e.
• Aig gach gob, faodar an ceàrn a thomhas an iomadh dòigh. Mar as cudromaiche:
  • An ceàrn a-staigh - seo ceàrn a' ghoib air a thomhas taobh a-staigh a' phoileagain. Nam b' e n-cheàrnach sìmplidh a th' ann, bhiodh suim nan ceàrnan a-staigh air fhaotainn bhon fhoirmle:

$(n-2).\pi \,$ raidiannan, no $(n-2).180\,$ puingean.

Tha seo furasta shealltainn chionns gun tèid n-cheàrnach sìmplidh sam bith a roinn air (n – 2) triantain, agus 's e π raidiannan no 180 puingean a th' ann an suim nan ceàrnan a-staigh aig gach aon dhiubh.

Nam b' e n-cheàrnach dronnach riaghailteach a th' ann, 's e tomhas nan ceàrnan a-staigh aige ${\tfrac {(n-2)180}{n}}$ puingean, no ${\tfrac {(n-2)\pi }{n}}$ raidiannan.

Ceàrnan a-staigh poileagain agus roinn sia-cheàrnaich riaghailtich air 4 triantain.

• • An ceàrn a-muigh - seo an ceàrn co-leasachail ris a' cheàrn a-staigh. Smaoinich gu bheil thu a' dol mun cuairt n-cheàrnach sìmplidh air an làr. 'S ann tron cheàrn a-muigh a thionndas tu aig gach gob. Agus le bhith a' dol mun cuairt air a' phoileagan gu lèir rinn thu cuairt iomlan - 's e sin 360 puingean. Tha e soilleir gum bi suim nan ceàrnan a-muigh aig poileagan sìmplidh sam bith 360 puingean (no 2π raidiannan).

'S e an cleachdadh ceàrnan dearbha a thomhas gu tuathal agus ceàrnan àicheil a tomhas gu deasail. Ma thionndas tu gu do làimh dheis aig gob, 's e sin ceàrn àicheil a thèid a chur ris an t-suim.

Gabhar an aon rud a dhèanamh le poileagan fèin-thrasnaidh, ach an triop seo is math a dh'fhaodte gun dèanar còrr is aon chuairt iomlan le bhith a' dol timcheall air a' phoileagan. Mar sin, anns a' chuis choitchinn, 's e uiread de 360 puingean a th' ann an suim nan ceàrnan a-muigh.

• Faodaidh ceàrn a dhealbhadh aig meadhan a' phoileagain eadar dà radius. Biodh A₁A₂A₃...A_n na poileagan den òrdugh n agus le meadhan aig M. Canar ceàrn mu mheadhan ris a' cheàrn ∠A_iMA_i+1 eadar dà radius co-leanailteach.

Ma tha am poileagan riaghailteach, tha gach ceàrn mu mheadhan ${\tfrac {2\pi }{n}}$ raidiannan (no ${\tfrac {360}{n}}$ puingean).

Cuairt-thomhas poileagain

'S e suim faid nan taobhan a th' ann an cuairt-thomhas a' phoileagain. Ma tha am poileagan riaghailteach, 's e an cuairt-thomhas C aige:

$C=2\pi R\sin {\tfrac {\alpha }{2}}$

...far a bheil:

• • n na òrdugh poileagain,
  • R na radius den chuairtchearcall, agus
  • α na ceàrn mu mheadhan.

Nis, ma thèid òrdugh poileagain riaghailteach an àirde, bidh an coltas aige a' fàs nas dlùithe ri cearcall. Gabhar a beachdachadh air cearcall mar gum biodh e poileagan riaghailteach den òrdugh $\infty$ (eicrioch) a th' ann. Mar a theannas n ri $\infty$, 's ann a theannas α ri neoni agus a theannas sin x ri x (ma tha x air a tomhas le raidiannan).

$\alpha ={\tfrac {2\pi }{n}}$ raidiannan

$\sin {\tfrac {\alpha }{2}}\to {\tfrac {\pi }{n}}$

$C\to 2\pi R$

Farsaingeachd poileagain

Ma tha poileagan riaghailteach, tha foirmle ann airson na farsaingeachd aige:

$F=nR^{2}\cos {\tfrac {\alpha }{2}}\sin {\tfrac {\alpha }{2}}$

...far a bheil:

• • n na òrdugh poileagain,
  • R na radius den chuairtchearcall, agus
  • α na ceàrn mu mheadhan.

Mar a theannas $n\to \infty$, 's ann a theannas cos x ri 1, sin x ri x agus:

$F\to \pi R^{2}$, farsaingeachd a’ chearcaill.

Ma tha eòlas ann air àpoiteam a agus faid f taobh poileagain riaghailtich, tha foirmle eile ann airson na farsaingeachd annaladh:

$F={\tfrac {naf}{2}}$

... far a bheil n na òrdugh a' phoileagain. Tha seo furasta dhearbhadh oir thèid poileagan riaghailteach a roinn air n triantain co-chasach agus 's e farsaingeachd gach aon dhiubh:

$F={\tfrac {1}{2}}fa$

Mur eil am poileagan riaghailteach ach tha e sìmplidh, 's e sin ri ràdh nach tèid an t-iomall tarsainn air fhèin, gabhar an fharsaingeachd aige fhaotainn:

1. ma tha am poileagan air a roinn air àireamh de thriantain. 'S e farsaingeachd a' phoileagain suim farsaingeachd nan triantan, no...
2. leis an fhoirmle a leanas:

$F={\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N-1}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)$

...far a bheil (x_i, y_i) nan co-chomharran goban a' phoileagain den òrdugh N, agus na goban air an àireamhachadh gu tuathal.

Mas ann fèin-thrasnaidh a tha poileagan, chan eil bun-bheachd farsaingeachd sìmplidh ann.