Kosinussatz

Der Kosinussatz ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und hier dem Gebiet der Trigonometrie zugehörig. Er ist eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras.

Für ebene Dreiecke ist der Kosinussatz sehr einfach zu formulieren, für sphärische benötigt er sechs Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen.

Kosinussatz für ebene Dreiecke

Allgemeine Formulierung

Bezeichnungen im Dreieck

Für die drei Seiten $a$, $b$ und $c$ eines Dreiecks sowie für den der Seite $c$ gegenüberliegenden Winkel $\gamma$ (d. h. den zwischen den Seiten $a$ und $b$ liegenden Winkel) gilt:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma$

Umkehrung für den Winkel:

$\gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}$

Die beiden anderen Kosinus-Gleichungen:

Gegeben seien die Seiten $b$ und $c$ sowie der von ihnen eingeschlossene Winkel $\alpha$, dann gilt für die dem Winkel gegenüberliegende Seite $a$:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Gegeben seien die Seiten $a$ und $c$ sowie der von ihnen eingeschlossene Winkel $\beta$, dann gilt für die dem Winkel gegenüberliegende Seite $b$:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta$

Die Umkehrungen für die beiden anderen Winkel lauten:

$\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b\cdot c}}$

$\beta =\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2\cdot a\cdot c}}$

Gleichwertige Formulierung

Die zuvor genannten drei Identitätsgleichungen sind ihrerseits Folgerungen aus den folgenden drei Kosinusformeln und im Rahmen der Trigonometrie der euklidischen Ebene sogar gleichwertig mit

$a=b\cdot \cos \gamma +c\cdot \cos \beta$

$b=c\cdot \cos \alpha +a\cdot \cos \gamma$

$c=a\cdot \cos \beta +b\cdot \cos \alpha$

Man fasst diese Formeln unter dem Stichwort Projektionssatz oder Projektionssätze zusammen.

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes

Mit $\textstyle \gamma =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}$, also bei einem rechtwinkligen Dreieck, gilt $\textstyle \cos \gamma =\cos {\frac {\pi }{2}}=0$. Dadurch ergibt sich als Spezialfall des Kosinussatzes im rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Der Kosinussatz stellt daher eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras dar und wird auch erweiterter Satz des Pythagoras genannt.

Kosinussatz für Kugeldreiecke

Beim sphärischen Kosinussatz für Kugeldreiecke ist die Länge der Dreiecksseiten im Winkelmaß anzugeben, weshalb statt einer Winkelfunktion deren sechs auftreten. Das Analogon zum ebenen Satz

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma$

lautet daher

$\cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma$,

wobei die Umkehr des Vorzeichens zu beachten ist. Diesem Seiten-Kosinussatz (hier für c, analog für die Seiten a bzw. b) steht der Winkel-Kosinussatz gegenüber:

$\cos \gamma =-\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c$,

worin das erste Vorzeichen negativ ist.

Anwendungen

Zahlenbeispiel

In einem Dreieck ABC sind folgende Seitengrößen bekannt (Bezeichnungen wie üblich):

$a=4{,}00\;{\rm {cm}}$

$b=2{,}00\;{\rm {cm}}$

$c=3{,}70\;{\rm {cm}}$

Gesucht ist die Winkelgröße $\beta$ (Bezeichnungen wie üblich).

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta$

$2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta =a^{2}+c^{2}-b^{2}$

$\cos \beta \,=\,{\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2\cdot a\cdot c}}={\frac {(4{,}0\,{\rm {cm}})^{2}+(3{,}7\,{\rm {cm}})^{2}-(2{,}0\,{\rm {cm}})^{2}}{2\cdot 4{,}0\,{\rm {cm}}\cdot 3{,}7\,{\rm {cm}}}}=0{,}868$

$\beta =29{,}8^{\circ }$

Kongruenzsätze

Die Kongruenzsätze SSS und SWS besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel vollständig bestimmt ist. Alternativ kann man auch jeweils zwei Vektoren angeben, aus denen der eingeschlossene Winkel berechnet werden kann. Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken ein viertes Stück, nämlich einen Winkel (im Fall SSS) beziehungsweise die dritte Seite (im Fall SWS) zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz (mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen) oder den Sinussatz anwenden. Den letzten Winkel berechnet man am zweckmäßigsten über die Winkelsumme von 180°.

Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind (Kongruenzsätze SWW oder WSW) oder zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite (Kongruenzsatz SsW), so berechnet man zunächst eines der fehlenden Stücke mit dem Sinussatz und den fehlenden Winkel über die Winkelsumme, bevor man mit dem Kosinussatz die dritte Seite bestimmen kann.

Verallgemeinerung

Mit Vektoren in reellen Skalarprodukträumen, also Vektorräumen $V$ mit Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, kann auch der Kosinussatz leicht verallgemeinert werden. Bezeichnet

$\|a\|={\sqrt {\langle a,a\rangle }}$

die Skalarproduktnorm, also die Länge, eines Vektors $a\in V$ und $\theta _{a,b}$ mit

$\cos \theta _{a,b}={\frac {\langle a,b\rangle }{\|a\|\cdot \|b\|}}$

den Winkel zwischen den beiden Vektoren $a,b\in V$, dann gilt für die Norm des Vektors $c=b-a$:

${\begin{aligned}\|c\|^{2}&=\|b-a\|^{2}=\langle b-a,b-a\rangle =\langle b,b\rangle -\langle b,a\rangle -\langle a,b\rangle +\langle a,a\rangle \\&=\|a\|^{2}+\|b\|^{2}-2\cdot \langle a,b\rangle =\|a\|^{2}+\|b\|^{2}-2\cdot \|a\|\cdot \|b\|\cos \theta _{a,b}\end{aligned}}$

Beweis

Elementargeometrischer Beweis

Im folgenden Beweis wird $\gamma <90^{\circ }$ vorausgesetzt. Für $\gamma >90^{\circ }$ muss der Beweis geringfügig modifiziert werden. Für $\gamma =90^{\circ }$ ergibt sich der Kosinussatz direkt aus dem Satz des Pythagoras.

Dreieck

In den Teildreiecken soll der Satz des Pythagoras angewandt werden, um einen Rechenausdruck für $c^{2}$ zu finden. Dazu benötigt man die Quadrate der Kathetenlängen dieses Teildreiecks:

$h^{2}\,=b^{2}-e^{2}$ (Satz des Pythagoras für das rechte Teildreieck)

$d^{2}=(a-e)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot e+e^{2}$ (binomische Formel)

Nach Pythagoras gilt für das linke Teildreieck:

$c^{2}\,=h^{2}+d^{2}$

Es müssen also die beiden oben gefundenen Rechenausdrücke addiert werden:

$c^{2}=b^{2}-e^{2}+a^{2}-2\cdot a\cdot e+e^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot e$

Zusätzlich gilt

$\cos \gamma ={\frac {e}{b}}$

mit der Folgerung

$e=b\cdot \cos \gamma$.

Einsetzen dieses Zwischenergebnisses in die Gleichung für $c^{2}$ ergibt die Behauptung:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma$

Trigonometrischer Beweis

Variante 1

Figur 1

Zeichnet man das Lot auf der Seite $c$ ein (Figur 1), dann wird diese in zwei Abschnitte geteilt und es gilt:

$c=a\cdot \cos \beta +b\cdot \cos \alpha$

Multiplikation mit $c$ ergibt

$c^{2}=a\cdot c\cdot \cos \beta +b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Analog erhält man für die beiden anderen Seiten die Gleichungen

$a^{2}=a\cdot c\cdot \cos \beta +a\cdot b\cdot \cos \gamma$

$b^{2}=b\cdot c\cdot \cos \alpha +a\cdot b\cdot \cos \gamma$

Addiert man diese beiden Gleichungen, dann folgt daraus

$a^{2}+b^{2}=a\cdot c\cdot \cos \beta +b\cdot c\cdot \cos \alpha +2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma$

$a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma =a\cdot c\cdot \cos \beta +b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Weil die rechte Seite der letzten Gleichung und die rechte Seite von $c^{2}=a\cdot c\cdot \cos \beta +b\cdot c\cdot \cos \alpha$ übereinstimmen, kann man die beiden linken Seiten gleichsetzen:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma$

Variante 2

Figur 2

Hier ist der Rechenaufwand geringer, da die benötigten Informationen großenteils in die Beweisfigur (Figur 2) verlagert sind.

Nach dem Sehnensatz ergibt sich folgende Äquivalenzkette:

$\left(2\cdot a\cdot \cos \gamma -b\right)\cdot b=(a-c)\cdot (a+c)\Leftrightarrow 2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma -b^{2}=a^{2}-c^{2}\Leftrightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma$

Beweis mittels Sinussatz

Die Winkelsumme im Dreieck ist $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }=\pi$. Aus den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus folgt

${\begin{aligned}\sin \gamma &={\phantom {-}}\sin(\pi -\gamma )={\phantom {-}}\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta \\\cos \gamma &=-\cos(\pi -\gamma )=-\cos(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \sin \beta -\cos \alpha \cdot \cos \beta \end{aligned}}$

Das Quadrieren der ersten Gleichung ergibt

${\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma &=(\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta )^{2}\\&=\sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\beta +2\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta +\cos ^{2}\alpha \cdot \sin ^{2}\beta \\\end{aligned}}$

Wegen $\cos \alpha \cdot \cos \beta =\sin \alpha \cdot \sin \beta -\cos \gamma$ und $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ und $\sin ^{2}\beta +\cos ^{2}\beta =1$ (trigonometrischer Pythagoras) folgt daraus

${\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma &=\sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\beta +2\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot (\sin \alpha \cdot \sin \beta -\cos \gamma )+\cos ^{2}\alpha \cdot \sin ^{2}\beta \\&=\sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\beta +2\cdot \sin ^{2}\alpha \cdot \sin ^{2}\beta -2\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \gamma +\cos ^{2}\alpha \cdot \sin ^{2}\beta \\&=\sin ^{2}\alpha \cdot (\sin ^{2}\beta +\cos ^{2}\beta )+\sin ^{2}\beta \cdot (\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )-2\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \gamma \\&=\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta -2\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \gamma \\\end{aligned}}$

Nach dem Sinussatz gilt (wobei $R$ der Umkreisradius ist)

${\begin{aligned}&{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2\cdot R\\&{\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}={\frac {b^{2}}{\sin ^{2}\beta }}={\frac {c^{2}}{\sin ^{2}\gamma }}=(2\cdot R)^{2}\\\end{aligned}}$

Multipliziert man beide Seiten der Gleichung $\sin ^{2}\gamma =\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta -2\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \gamma$ mit $(2\cdot R)^{2}$, dann erhält man daraus schließlich den Kosinussatz:

${\begin{aligned}(2\cdot R)^{2}\cdot \sin ^{2}\gamma &=(2\cdot R)^{2}\cdot (\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta -2\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \gamma )\\(2\cdot R)^{2}\cdot \sin ^{2}\gamma &=(2\cdot R)^{2}\cdot \sin ^{2}\alpha +(2\cdot R)^{2}\cdot \sin ^{2}\beta -2\cdot (2\cdot R)\cdot \sin \alpha \cdot (2\cdot R)\cdot \sin \beta \cdot \cos \gamma \\{\frac {c^{2}}{\sin ^{2}\gamma }}\cdot \sin ^{2}\gamma &={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}\cdot \sin ^{2}\alpha +{\frac {b^{2}}{\sin ^{2}\beta }}\cdot \sin ^{2}\beta -2\cdot {\frac {a}{\sin \alpha }}\cdot \sin \alpha \cdot {\frac {b}{\sin \beta }}\cdot \sin \beta \cdot \cos \gamma \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma \end{aligned}}$

Beweis mittels des Satz des Ptolemäus

Figur 3

Das Dreieck $ABC$ mit den Seitenlängen $|AB|=c$, $|BC|=a$ und $|CA|=b$ wird seinem Umkreis einbeschrieben (Figur 3). Wird das Dreieck $ABC$ an der Mittelsenkrechten zu $AB$ gespiegelt, dann ist das gespiegelte Dreieck $ABD$ kongruent zum Dreieck $ABC$ und hat denselben Umkreis, denn der Umkreismittelpunkt liegt auf der Mittelsenkrechten. Der Punkt $D$ liegt also auch auf diesem Umkreis. Weil die Dreiecke $ABC$ und $ABD$ kongruent sind, gilt $|DA|=|BC|=a$ und $|BD|=|CA|=b$. Ist $E$ der Lotfußpunkt von $D$ auf die Seite $AB$ und $F$ der Lotfußpunkt von $C$ auf die Seite $AB$, dann sind die Höhen $DE$ und $CF$ gleich lang und die rechtwinkligen Dreiecke $AED$ und $CFB$ sind nach dem Kongruenzsatz SSW kongruent. Es gilt also $|BF|=|AE|$. Daraus folgt

${\begin{aligned}|BF|&=|AE|=|BC|\cdot \cos \beta =a\cdot \cos \beta \\\Leftrightarrow |CD|&=|EF|=|AB|-|AE|-|BF|=|AB|-2\cdot |BF|=c-2\cdot a\cdot \cos \beta \\\Leftrightarrow |CD|&=c-2\cdot a\cdot \cos \beta \\\end{aligned}}$

Die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ bilden ein Sehnenviereck zum gegebenen Umkreis. Nun folgt der Kosinussatz aus dem Satz des Ptolemäus für das Sehnenviereck $ABCD$:

${\begin{aligned}|AC|\cdot |BD|&=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |DA|\\\Leftrightarrow \quad \quad \quad \quad b^{2}&=c\cdot (c-2\cdot a\cdot \cos \beta )+a^{2}\\b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta \\\end{aligned}}$

Beweis mittels Vektorrechnung

Anschließend an die Darstellung von Gericke und Raith wird zunächst der Beweis der drei Kosinusformeln geführt:

Dazu macht man die Festlegungen

${\vec {a}}={\overrightarrow {BC}},\quad {\vec {b}}={\overrightarrow {CA}},\quad {\vec {c}}={\overrightarrow {AB}}$  .

Man erhält daraus die Gleichungen

$-{\vec {a}}={\overrightarrow {CB}},\quad -{\vec {b}}={\overrightarrow {AC}},\quad -{\vec {c}}={\overrightarrow {BA}}$

sowie unter Benutzung der Eigenschaften des Skalarprodukts

$a=|{\vec {a}}|=|{-{\vec {a}}}|,\quad b=|{\vec {b}}|=|{-{\vec {b}}}|,\quad c=|{\vec {c}}|=|{-{\vec {c}}}|$

und

$\cos \alpha ={\frac {\langle -{\vec {b}},{\vec {c}}\rangle }{|{-{\vec {b}}}|\cdot |{\vec {c}}|}}={\frac {\langle -{\vec {b}},{\vec {c}}\rangle }{b\cdot c}},\quad \cos \beta ={\frac {\langle -{\vec {c}},{\vec {a}}\rangle }{|{-{\vec {c}}}|\cdot |{\vec {a}}|}}={\frac {\langle -{\vec {c}},{\vec {a}}\rangle }{c\cdot a}},\quad \cos \gamma ={\frac {\langle -{\vec {a}},{\vec {b}}\rangle }{|{-{\vec {a}}}|\cdot |{\vec {b}}|}}={\frac {\langle -{\vec {a}},{\vec {b}}\rangle }{a\cdot b}}$.

Nun zieht man die für das Dreieck charakteristische Grundgleichung

${\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}={\vec {0}}$

heran und gewinnt

${\vec {a}}=(-{\vec {b}})+(-{\vec {c}})$

und weiter

$a^{2}=|{\vec {a}}|^{2}=\langle {\vec {a}},{\vec {a}}\rangle =\langle -{\vec {b}},{\vec {a}}\rangle +\langle -{\vec {c}},{\vec {a}}\rangle$.

Folglich ergibt sich

$a={\frac {\langle -{\vec {b}},{\vec {a}}\rangle }{a}}+{\frac {\langle -{\vec {c}},{\vec {a}}\rangle }{a}}={\frac {\langle -{\vec {a}},{\vec {b}}\rangle }{a}}+{\frac {\langle -{\vec {c}},{\vec {a}}\rangle }{a}}=b\cdot \cos \gamma +c\cdot \cos \beta$

und damit die erste der obigen drei Kosinusformeln.

Die beiden anderen erhält man auf gleiche Art und Weise.

Auf die drei Formeln der allgemeinen Formulierung kann man dann mittels elementarer algebraischer Operationen schließen. So erhält man die erste Gleichung, indem man die zuvor stehenden drei Kosinusformeln nacheinander mit $a$, $b$ und $-c$ multipliziert, aufaddiert und nach $c^{2}$ auflöst.

Siehe auch

• Sinussatz
• Tangenssatz
• Geometrie auf der Kugeloberfläche
• Dschamschid Masʿud al-Kaschi
• Formelsammlung Trigonometrie

Literatur

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht (= Studium). 4., überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, doi:10.1007/978-3-658-06731-1. 
• Heinrich Behnke, Friedrich Bachmann, Kuno Fladt, Wilhelm Süss (Hrsg.): Grundzüge der Mathematik. Band II. Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1960. 
• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev, G. Musiol, H. Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 7., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9. 
• Hanfried Lenz: Grundlagen der Elementarmathematik. 3., überarbeitete Auflage. Hanser Verlag, München (u. a.) 1976, ISBN 3-446-12160-9. 
• Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 192–193. 

Weblinks

Wikibooks: Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Trignometriesätze: Kosinussatz – Lern- und Lehrmaterialien

Commons: Law of cosines – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Kosinussatz – Illustration und Beweis auf www.arndt-bruenner.de
• Herleitung des Kosinussatzes sowie Anwendung (Video)
• Law of Cosines – 2 Beweise auf proofwiki.org (englisch)