Камплексны аналіз

Камплексны аналіз
Процілегла	тэорыя функцый рэчаіснай пераменнай[d]
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Графік функцыі f(x) = (x² − 1)(x − 2 − i)² / (x² + 2 + 2i). Насычанасць прадстаўляе аргумент функцыі, а яркасць — модуль.

Тэорыя функцый камле́кснай зменнай (часам таксама ўжываецца тэрмін кампле́ксны аналіз) — раздзел матэматычнага аналізу, які вывучае функцыі ад камплексных лікаў. Тэорыя знаходзіць прымяненне ў многіх галінах матэматыкі, у тым ліку ў алгебраічнай геаметрыі, тэорыі лікаў, прыкладной матэматыцы, а таксама ў фізіцы, у тым ліку гідрадынаміцы, тэрмадынаміцы, машынабудаванні, электратэхніцы і квантавай оптыцы.

Тэорыя функцый камлекснай зменнай у прыватнасці займаецца аналітычнымі функцыямі камплекснай зменнай (ці, больш агульна, мераморфнымі функцыямі). Рэчаісная і ўяўная часткі любой аналітычнай функцыі павінны задавальняць ураўненне Лапласа, адсюль натуральным чынам узнікае сувязь з гарманічнымі функцыямі ад дзвюх зменных. Таму камплексны аналіз шырока ўжываецца пры рашэнні двухмерных фізічных задач.

Гісторыя

Камплексны аналіз з'яўляецца адным з класічных раздзелаў матэматыкі і ўзнікае ў канцы 18 стагоддзя. Яго распрацоўкай і развіццём займаліся такія выдатныя навукоўцы, як Леанард Ойлер, Карл Фрыдрых Гаус, Бернхард Рыман, Агюстэн Кашы, Карл Ваерштрас, а таксама многія іншыя ў 20-м стагоддзі. Камплексны аналіз, у прыватнасці, тэорыя канформных адлюстраванняў, мае шмат фізічных прымяненняў, а таксама шырока выкарыстоўваецца ў аналітычнай тэорыі лікаў. У наш час тэорыя стала вельмі папулярнай дзякуючы камплекснай дынаміцы і выявам фракталаў, створаных шляхам ітэрацыі галаморфных функцый. Іншае важнае прымяненне камплекснага аналізу — у тэорыі струн, што вывучае конформныя інварыянты ў квантавай тэорыі поля.

Камплексныя функцыі

Камплексная функцыя — функцыя, у якой як незалежная зменная, так і значэнне з'яўляюцца камплекснымі лікамі. Дакладней, камплекснай функцыяй называецца функцыя, абсяг вызначэння і абсяг значэнняў з'яўляюцца падмноствамі камплекснай плоскасці.

Кожная камплексная функцыя $w=f(z)=f(x+iy)$ можа разглядацца як пара рэчаісных функцый ад дзвюх зменных:

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$

якія вызначаюць яе рэчаісную і ўяўную частку адпаведна. Функцыі $u$, $v$ называюцца кампанентамі камплекснай функцыі $f(z)$.

Паняцце граніцы для паслядоўнасці і функцыі азначаецца так жа, як і ў рэчаісным выпадку, з заменай абсалютнай велічыні на камплексны модуль.

Існаванне граніцы камлекснай функцыі ў пункце

$\lim _{z\to a+bi}f(z)=A+Bi$

раўназначна адначасоваму існаванню граніц яе рэчаіснай і ўяўнай часткі:

$\lim _{x\to a,\;y\to b}u(x,y)=A,$

$\lim _{x\to a,\;y\to b}v(x,y)=B.$

Непарыўнасць камплекснай функцыі вызначаецца гэтак жа, як у рэчаісным выпадку, і яна эквівалентная непарыўнасці абедзвюх яе кампанент.