量子数
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量子力学 |
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量子數描述量子系統中動力學上各守恆數的值。它們通常按性質描述原子中電子的各能量,但也會描述其他物理量(如角動量、自旋等)。由於任何量子系統都能有一個或以上的量子數,列出所有可能的量子數是件沒有意義的工作,學習量子數與軌域也是。
有多少個量子數?
[编辑]「要多少個量子數才能描述任何已知系統?」這道問題並沒有一致的答案,儘管要解決每一個系統都必須要對系統進行全面分析。任何系統的動力學都由一量子哈密頓算符,H,所描述。系統中有一量子數對應能量,即哈密頓算符的特徵值。對每一個算符O而言,還有一個量子數可與哈密頓算符交換(即滿足OH = HO這條關係式)。這些是一個系統中所能有的所有量子數。注意定義量子數的算符O應互相獨立。很多時候,能有好幾種選擇一組互相獨立算符的方法。故此,在不同的條件下,可使用不同的量子數組來描述同一個系統。
原子內的單個電子
[编辑]最被廣為研究的量子數組是用於一原子的單個電子:不只是因為它在化學中有用(它是週期表、化合價及其他一系列特性的基本概念),還因為它是一個可解的真實問題,故廣為教科書所採用。
在非相對論性量子力學中,這個系統的哈密頓算符由電子的動能及勢能(由電子及原子核間的庫侖力所產生)。動能可被分成,有環繞原子核的電子角動量,J的一份,及餘下的一份。由於勢能是球狀對稱的關係,其完整的哈密頓算符能與J2交換。而J2本身能與角動量的任一分量(按慣例使用Jz)交換。由於這是本題中唯一的一組可交換算符,所以會有三個量子數。
依慣例,它們被稱為:
- 主量子數(,即電子軌域)代表除掉J2以後H的特徵值。這個數因此會視電子與原子核間的距離(即半徑座標r)而定。平均距離會隨着n增大,因此不同量子數的量子態會被說成屬於不同的電子層。
- 角量子數(,又稱方位角量子數或軌道量子數)通過關係式來代表軌道角動量。在化學中,這個量子數是非常重要的,因為它表明了一軌道的形狀,並對化學鍵及鍵角有重大影響。有些時候,不同角量子數的軌域有不同代號,的軌域叫s軌域,的叫p軌域,的叫d軌域,而的則叫f軌域。
- 磁量子數()代表特徵值,[1]。這是軌道角動量沿某指定軸的投影。
從光譜學中所得的結果指出一個軌道最多可容納兩個電子。然而兩個電子絕不能擁有完全相同的量子態(泡利不相容原理),故也絕不能擁有同一組量子數。所以為此特別提出一個假設來解決這問題,就是設存在一個有兩個可能值的第四個量子數。這假設以後能被相對論性量子力學所解釋。
作為摘要,一電子的量子態視下列各量子數而定:
名稱 | 符號 | 軌道意義 | 取值範圍 | 取值例子 |
---|---|---|---|---|
主量子數 | 殼層 | |||
角量子數(角動量) | 次殼層 | 若: | ||
磁量子數(角動量之射影) | 能移 | 若: | ||
自旋量子數 | 自旋 | 只能是 |
例:用於描述氟()原子最外層電子(即價電子,位於原子軌道2p)的各量子數值為:,,,。
簡而言之,以上的物理量需要滿足且。
注意分子軌道需要使用完全不同的量子數組,因為其哈密頓算符及對稱跟上述相當不同。
適用於自旋-軌道交互作用的量子數
[编辑]當考慮到自旋-軌道作用時,l、m及s就再不能與哈密頓算符交換,因而它們的值會隨時間改變。故應該使用另一組量子數。這組包括了
- 總角動量量子數(j=1/2,3/2 … n-1/2)通過關係式代表着總角動量。
- 總角動量沿某指定軸的投影(mj=-j,-j+1 … j-1,j),此數與m類似,且滿足關係式。
- 宇稱。它是經反射所得的特徵值,當態之l為偶數時其值為正(即+1),奇數時其值為負(即-1)。前者亦被稱為偶宇稱,後者則為奇宇稱。
例:考慮以下八個態,定義它們的量子數:
- l = 1,ml = 1,ms = +1/2
- l = 1,ml = 1,ms = -1/2
- l = 1,ml = 0,ms = +1/2
- l = 1,ml = 0,ms = -1/2
- l = 1,ml = -1,ms = +1/2
- l = 1,ml = -1,ms = -1/2
- l = 0,ml = 0,ms = +1/2
- l = 0,ml = 0,ms = -1/2
系統的量子態能被這八個態的線性組合所描述。但由於自旋-軌道作用的關係,如欲使用八個由哈密頓算符的特徵向量(即每一個代表一個態且不會因時間而跟其他態混合)所組成的態來描述同一個系統,應考慮以下這八個態:
- j = 3/2, mj = 3/2,奇宇稱 (從上態1得)
- j = 3/2, mj = 1/2,奇宇稱 (從上態2及3得)
- j = 3/2, mj = -1/2,奇宇稱 (從上態4及5得)
- j = 3/2, mj = -3/2,奇宇稱 (從上態6得)
- j = 1/2, mj = 1/2,奇宇稱 (從上態2及3得)
- j = 1/2, mj = -1/2,奇宇稱 (從上態4及5得)
- j = 1/2, mj = 1/2,偶宇稱 (從上態7得)
- j = 1/2, mj = -1/2,偶宇稱 (從上態8得)
基本粒子
[编辑]基本粒子包含不少量子數,一般來說它們都是粒子本身的。但需要明白的是,基本粒子是粒子物理學上標準模型的量子態,所以這些粒子量子數間的關係跟模型的哈密頓算符一樣,就像波耳原子量子數及其哈密頓算符的關係那樣。亦即是說,每一個量子數代表問題的一個對稱性。這在場論中有着更大的用處,被用於識別時空及內對稱。
一般跟時空對稱有關係的量子數有自旋(跟旋轉對稱有關)、宇稱、C-宇稱、T-宇稱(跟時空上的龐加萊對稱有關係)。一般的內對稱有輕子數、重子數及電荷數。條目味有這些量子數的更詳細列表。
值得一提的是較次要但常被混淆的一點。大部分守恒量子數都是可相加的。故此,在一基本粒子反應中,反應前後的量子數總和應相等。然而,某些量子數(一般被稱為宇稱)是可相乘的;即它們的積是守恒的。所以可相乘的量子數都屬於一種對稱(像守恒那樣),而在這種對稱中使用兩次對稱變換式跟沒用過是一樣的。它們都屬於一個叫Z2的抽象群。
参考連結
[编辑]- ^ Arthur Beiser, Kok Wai Cheah. Concepts of modern physics. 麥格羅-希爾集團. 2015: 第229頁. ISBN 9789814595261.
基本原理
[编辑]- Dirac, Paul A.M. Principles of quantum mechanics. Oxford University Press. 1982. ISBN 0-19-852011-5.
原子物理
[编辑]粒子物理
[编辑]- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.
- Halzen, Francis and Martin, Alan D. QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2.
- 粒子數據小組 (页面存档备份,存于互联网档案馆)(英文)