|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
虛數是指可以写作实数与虚数单位
乘积的複數[1]
,並定義其性質為
,以此定義,0可被視為同時是實數也是虛數(純虛數)的數值[2]。
17世纪著名數學家笛卡爾所著《幾何學》(法語:La Géométrie)一書中,命名其為nombre imaginaire(虛構的數),成為了虛數(imaginary number)一詞的由來。
後來在歐拉和高斯的研究之後,發現虛數可對應平面上的縱軸,與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面,複數平面上每一點對應着一個複數。
複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。
複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度
在幾何學上,複數平面的垂直軸表示虛數,它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考標準數線:往右側正幅度增長,往左側則負幅度減少。在x軸的0點處,往上升方向可繪製y軸的“正”虛數,然後向上增加;而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”,並被表示為
,Im,
,或
。
在該呈現圖示中,乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。
的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉,而方程式
可被解釋為,如果我們對原點應用兩個90度旋轉,則終了結果是單一個180度旋轉。注意,“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了
也解出了方程
。一般來說,乘以複數與以複數辐角圍繞原點的旋轉相同,然後按其大小進行縮放。
我們應該將根號視為求
的解,故將一個數開根號後會有兩個合理的值,此二值互相差一個負號。在將正數開根號時,這兩個值一為正數一為負數,故習慣上直接將根號對應到正值,而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應,
實際上代表的是兩個數,分別為
及
。但若直接將
對應到
,而
對應到
也未嘗不可。
1. 不同的虛數都是不能比較大小的:
成立,但
和
卻均不成立。
舉例說明:(反證法)
假設
平方得
得
即可看出矛盾。
再舉例:假設
平方得
(不等式兩側同乘假設為負的
,不等式由小於變為大於)
得
即可看出矛盾。
因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。
2. 因爲
,
,
,
,
,
,很容易知道
(
)是關於指數
的週期函數,最小正週期是
。於是,我們有
![{\displaystyle i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41593df6f56198a170596363d836355e01c9b10)
這表示
為方程
的一個根,另三個根分別為
及
。
另外可以證明
![{\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4192a693ebc9b83771231fa9abeb35250ef4a1ef)
和
![{\displaystyle {\overline {\omega }}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7651b7eb16376e44b2e164c4b55dde5485952f8b)
爲下列方程的根
![{\displaystyle x^{2}+x+1=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10dca41cc7110b6e6714dbd87f4c99651e4d0ff6)
![{\displaystyle x^{3}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375ba124abe02fbaa08349bd9046a01b10a159a0)
其中,
稱爲
的共軛虛數(或共軛複數)。
3. 如果再將虛數的這個概念擴展開去,就可以組成四元數(Quaternion)、八元數(Octonion)等特殊數學範疇。