Բացարձակ կեղծ թիվ

$...$ (նշված միջակայքը կրկնվում է անվերջ)
$i -3 = i$
$i -2 = -1$
$i -1 = - i$
$i 0 = 1$
$i 1 = i$
$i 2 = -1$
$i 3 = - i$
$i 4 = 1$
$i 5 = i$
$i 6 = -1$
$i n = i m որտեղ m \equiv n mod 4$

Բացարձակ կեղծ թիվ-Կոմպլեքս թիվ է 0-ական իրական մասով։ Երբեմն միայն այդպիսի թվերն են կոչվում կեղծ թվեր, բայց այս տերմինը օգտագործվում է նաև զրոյական կեղծ մասով կամայական կոմպլեքս թվեր նշելու համար։ ^[1] «Կեղծ թիվ» տերմինը առաջադրվել է 17-րդ դարի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ռենե Դեկարտի կողմից^[2], սկզբում այս տերմինի նշանակությունը նվաստացուցիչ էր, քանի որ այդպիսի թվերը համարվել են մտացածին կամ անօգուտ, և միայն Լեոնարդ Էյլերի և Կառլ Գաուսի աշխատանքներից հետո այս գաղափարը ճանաչում է ստացել գիտական աշխարհում։

Սահմանումներ

Թող $z=x+iy$ - կոմպլեքս թիվ է,որտեղ $x$ և $y$ - իրական թվեր են։ $x=\Re (z)$ կամ $\operatorname {Re} ~z$ և $y=\Im (z)$ կամ $\operatorname {Im} ~z$ թվերը անվանում են համապատասխանաբար իրական և կեղծ(հանգունորեն անգլ.՝ real, imaginary) $z$ մասերով։

Եթե $x=0$ , ապա $z$ կոչվում է բացարձակ կեղծ թիվ։
Եթե $y=0$ , ապա $z$ հանդիսանում է իրական թիվ.

Պատմություն

Առաջին անգամ կեղծ թվերը հիշատակվել են հին հույն մաթեմատիկոսի և ինժեներ Հերոն Ալեքսանդրիիսկիի կողմից^[3]^[4],,բայց թվաբանական գործողություններ կատարելու կանոնները (մասնավորապես ՝ բազմապատկումը) դրանցով 1572 թվականին Ռաֆայել Բոմբելլին է մտցրել։ Բոմբելիի հայեցակարգը հայտնվեց Ջերոլամո Կարդանոյի նմանատիպ գործերից առաջ։ XVI—XVII դարերում կեղծ թվերը գիտական աշխարհի մեծամասնության կողմից համարվում էին մտացածին կամ անօգուտ (նման է այն բանի, թե ինչպես զրոյի գաղափարը ընկալվում էր մի ժամանակ)։ Մասնավորապես, Ռենե Դեկարտը, իր «Երկրաչափություն» հիմնարար աշխատության մեջ կեղծ թվերին վկայակոչելով, օգտագործեց «կեղծ» տերմինը ստորացուցիչ իմաստով^[5]^[6]. Կեղծ թվերի օգտագործումը շատ տարածված չէր մինչև Լեոնարդ Էյլերի (1707—1783) և Կառլ Գաուսի (1777—1855) աշխատանքների ստեղծումը։ Կեղծ թվերի երկրաչափական նշանակությունը որպես հարթության կետեր առաջին անագամ նկարագրվել է Կասպար Վեսսելի կողմից (1745—1818)^[7]. 1843 իռլանդացի մաթեմատիկ Ուիլյամ Համիլտոնը ընդլայնեց գաղափարը կեղծ թվերի առանցքների տարածությունը մինչև քառաչափ Քվատերնիոններ տարածության, որտեղ երեք հարթությունները նման են կեղծ թվերին կոմպլեքս դաշտում։ Ֆակտորօղակ թեորյայի զարգացումով բազմանդամների օղակի գաղափարը կեղծ թիվը դարձրեց ավելի բովանդակալից և ստացավ հետագա զարգացումներ j — բիկոմպլեքս թվերում^[en], որտեղ քառակուսի հավասար է +1:Այս գաղափարը հայտնվեց անգլիացի մաթեմատիկ Ջեյմս Կոկոլի^[en] 1848 թվի^[8] հոդվածում։

Երկրաչափական մեկնաբանություն

Կոմպլեքս թվերի հարթության վրա կեղծ թվերը գտնվում են ուղղահայաց առանցքին, որը ուղղահայաց է Իրական թվերի առանցքին։ Կեղծ թվերի երկրաչափական մեկնաբանության ձևերից է- դիտարկել ստանդարտ թվային առանցքը, որտեղ դրական թվերը գտնվում են աջ մասում, իսկ բացասականները` ձախում։ 0 կետից x առանցքին կարող է անցնել y առանցք «դրական» ուղղությամբ, վերև գնացող, «դրական» կեղծ թվերը մեծանում են ըստ մեծության դեպի վերև, իսկ «բացասական» կեղծ թվերը մեծանում են ըստ մեծության դեպի ներքև:Այս ուղղահայաց առանցքը հաճախ անվանում են «կեղծ առանցք» և նշանակում է $i ℝ$ , $\scriptstyle \mathbb {I}$ , կամ $ℑ$ . Այս մեկնաբանությունով բաժանումը $-1$ -ի համապատասխանում է 180 աստիճանով շրջադարձի կոորդինատների սկզբնակետից:Բաժանումը $i$ -ի համապատասխանում է 90 աստիճանով շրջադարձի «դրական» ուղղությամբ (այսինքն` ժամսլաքին հակառակ), իսկ $i 2 = -1$ հավասարումը խոսում է այն մասին, որ եթե մենք իրականացնենք 90 աստիճանով երկու շրջադարձ կոորդինատների սկզբնակետից, արդյունքը կլինի մեկ շրջադարձ 180 աստիճաննով:Այդ դեպքում 90 աստիճանով շրջադարձի «բացասական» ուղղությամբ (այսինքն` ժամսլաքին ուղղությամբ) նույնպես կբավականացնի այդ մեկնաբանությունը։ Սա արտացոլում է այն փաստը, որ $- i$ նույնպես հանդիսանում է $x 2 = -1$ հավասարման լուծումը։ Սովորաբար, բազմապատկումը կոմպլեքս թվերով նման է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ շրջապտույտ կատարելուն արգումենտ^[en] կոմպլեքս թվերով հետագա մասշտաբային մեծությամբ։ https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/Rotations_on_the_complex_plane.svg

Քառակուսի արմատներ բացասական թվերով

Պետք է զգուշություն ցուցաբերել կեղծ թվերով աշխատելու ժամանակ, որոնք հանդիսանում են գլխավոր նշանակություն^[en] քառակուսի արմատների, բացասական թվերի. Օրինակ, այսպիսի Մաթեմատիկական սոփեստություն։ ^[9]

6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.

Երբեմն սա գրվում է այսպես.

-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (софизм) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.

Նմանատիպ մաթեմատիկական սոփեստությունը առաջանում է, եթե այս ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ հավասարությունում փոփոխականները չունեն համապատասխան սահմանափակումներ:Այս դեպքում հավասարությունը չի կատարվում, քանի որ երկու թվերն էլ բացասական են:Սա կարելի է ցույց տալ այսպես

{\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},

որտեղ и x и y — ոչ բացասական իրական թվեր են։

Դիտել նաև

Ծանոթագրություններ

↑ Կոմպլեքս թիվ // «Մաթեմատիկական հանրագիտարան» / Գլխավոր խմբագիր Ի.Մ.Վինոգրադով. — Մ.: «Սովետական հանրագիտարան», 1982. — Т. 3. — С. 708. — 1183 с. — (51[03] М34).
↑ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes. — illustrated. — Springer Science & Business Media, 2004. — С. 121. — ISBN 978-0-8176-4337-9 Extract of page 121
↑ Hargittai, István Fivefold symmetry. — 2nd. — World Scientific, 1992. — С. 153. — ISBN 981-02-0600-3
↑ Roy, Stephen Campbell Complex numbers: lattice simulation and zeta function applications. — Horwood, 2007. — С. 1. — ISBN 1-904275-25-7
↑ René Descartes, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), մեջբերված գիրքը։ Երկրաչափություն, книга 3, p. 380. From page 380: «Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c’est a dire qu’on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu’on imagine, comme encore qu’on en puisse imaginer trois en celle cy, x³ — 6xx + 13x — 10 = 0, il n’y en a toutefois qu’une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu’on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d’expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu’imaginaires.» («Ավելին, որպես իրական արմատներ, ինչպես նաև կեղծ [արմատներ] ոչ միշտ են իրական,բայց երբեմն ունեն միայն կեղծ [թվեր]; այսինքն յուրաքանչյուր հավասարում կարելի է ներկայացնել այնքան,որքան ես ասացի, բայց երբեմն չկա այնպիսի մեծություն, որը կհամապատասխանում այն թվին, որը կարելի է պատկերացնել, ճիշտ այնպես, ինչպես այս [հավասարման], x³ — 6xx + 13x — 10 = 0, որտեղ միայն մեկ արմատն է իրական և հավասար 2, իսկ մյուս երկուսի նկատմամբ, թեկուզ մեկը մեծացնենք, կամ փոքրացնենք, կամ բաժանենք այնպես,ինչպես նոր բացատրվեց, ոչ ոք չի կարող դրանց տարբերակել կեղծ [մեծությունից].»)
↑ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8.
↑ Rozenfeld, Boris Abramovich Chapter 10 // A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space. — Springer, 1988. — С. 382. — ISBN 0-387-96458-4
↑ Cockle, James (1848) «On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra», London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3, 33:435-9 and Cockle (1849) «On a New Imaginary in Algebra», Philosophical Magazine 34:37-47
↑ Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one]. — Princeton University Press, 2010. — С. 12. — ISBN 978-1-4008-3029-9 Extract of page 12

Գրականություն

Ֆիխտենգոլց Գ.Մ. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի դասընթաց. — М.: Ֆիզմատլիտ, 2003.
Nahin, Paul An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. — Princeton: Princeton University Press, 1998. — ISBN 0-691-02795-1

Արտաքին հղումներ

How can one show that imaginary numbers really do exist?(անգլ.)
In our time: Imaginary numbers(անգլ.)
5Numbers programme 4(անգլ.)
Why Use Imaginary Numbers?(անգլ.)

[1] Կոմպլեքս թիվ // «Մաթեմատիկական հանրագիտարան» / Գլխավոր խմբագիր Ի.Մ.Վինոգրադով. — Մ.: «Սովետական հանրագիտարան», 1982. — Т. 3. — С. 708. — 1183 с. — (51[03] М34).

[2] Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes. — illustrated. — Springer Science & Business Media, 2004. — С. 121. — ISBN 978-0-8176-4337-9 Extract of page 121

[3] Hargittai, István Fivefold symmetry. — 2nd. — World Scientific, 1992. — С. 153. — ISBN 981-02-0600-3

[4] Roy, Stephen Campbell Complex numbers: lattice simulation and zeta function applications. — Horwood, 2007. — С. 1. — ISBN 1-904275-25-7

[5] René Descartes, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), մեջբերված գիրքը։ Երկրաչափություն, книга 3, p. 380. From page 380: «Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c’est a dire qu’on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu’on imagine, comme encore qu’on en puisse imaginer trois en celle cy, x³ — 6xx + 13x — 10 = 0, il n’y en a toutefois qu’une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu’on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d’expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu’imaginaires.» («Ավելին, որպես իրական արմատներ, ինչպես նաև կեղծ [արմատներ] ոչ միշտ են իրական,բայց երբեմն ունեն միայն կեղծ [թվեր]; այսինքն յուրաքանչյուր հավասարում կարելի է ներկայացնել այնքան,որքան ես ասացի, բայց երբեմն չկա այնպիսի մեծություն, որը կհամապատասխանում այն թվին, որը կարելի է պատկերացնել, ճիշտ այնպես, ինչպես այս [հավասարման], x³ — 6xx + 13x — 10 = 0, որտեղ միայն մեկ արմատն է իրական և հավասար 2, իսկ մյուս երկուսի նկատմամբ, թեկուզ մեկը մեծացնենք, կամ փոքրացնենք, կամ բաժանենք այնպես,ինչպես նոր բացատրվեց, ոչ ոք չի կարող դրանց տարբերակել կեղծ [մեծությունից].»)

[Martinez-6] Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8.

[7] Rozenfeld, Boris Abramovich Chapter 10 // A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space. — Springer, 1988. — С. 382. — ISBN 0-387-96458-4

[8] Cockle, James (1848) «On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra», London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3, 33:435-9 and Cockle (1849) «On a New Imaginary in Algebra», Philosophical Magazine 34:37-47

[9] Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one]. — Princeton University Press, 2010. — С. 12. — ISBN 978-1-4008-3029-9 Extract of page 12

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]