磁通量,符號為
,是通過某给定曲面的磁場(亦称为磁通量密度)的大小的度量。磁通量的国际单位制單位是韦伯。
给定曲面上的磁通量大小与通过曲面的磁場線的个数成正比。此处磁场线的个数是个“净”数量,即从一个方向上通过的个数减去另一个方向上通过的个数。当一个均匀磁场垂直通过一个平面,磁通量即是磁场与该平面面积的乘积。当均匀磁场
以任意角度通过一个平面,磁通量即是磁场与该平面面积
的点积。[1]
其中,
是磁场
和平面面积法向量
的夹角.
图1:曲面积分的定义基于将曲面分割成小的曲面元。每个曲面元对应一个向量
。该向量的大小即曲面元的面积,方向为指向外部的法向量。
图2:曲面法向量的向量場。
在一般情况下,磁通量是通过磁場在曲面面积上的积分定義的(见图1和图2)。
![{\displaystyle \Phi _{B}=\iint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4baada7a5fd435d0351d7e7112dbae2128e1fc34)
其中,
為磁通量,
為磁感應強度,
为曲面,
为点积,
为无穷小向量(见曲面积分)。
磁通量通常通过通量计进行测量。通量计包括测量线圈以及估计测量线圈上电压变化的电路,从而计算磁通量。
高斯磁定律是四條麥克斯韋方程之一,指出通過一闭曲面的磁通量為零。這定律是依据还没有发现磁單極这一经验得出的。
高斯磁定律為,对任意闭曲面:
![{\displaystyle \Phi _{B}=\int \!\!\!\int \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6379664bde9c8a9d94fba5e9a4ea66df93144723)
图3:空间中的向量场F ( r, t )以及曲面Σ。∂Σ为曲面Σ的边界,以速度v运动。考虑向量场在曲线∂Σ上的积分。
即使通过闭曲面的磁通量是零,通过开曲面的磁通量可以不是零,而且,它是电磁学中一个重要的物理量。例如,当通過一个導電线环的磁通量发生变化,这一变化會引起電動勢的生成,並因此在线环中產生電流。其關係式可由法拉第電磁感應定律得出:
![{\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\mathbf {v\times B} (\mathbf {r} ,\ t)\right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-{d\Phi _{B} \over dt},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9796178ddaf9be301eaf7dac1cca2461e330817c)
其中(见图3):
为電動勢
为通过开曲面的磁通量,这一开曲面的边界为![{\displaystyle \partial \Sigma (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312284199951d1667a23c3cb9dc08b46ee294ae0)
为一个随时间变化的闭曲线
是边界
无穷小向量元
是线段
的速度
为电场
为磁场
在上述公式中,电动势的生成可以有两种解释:由洛伦兹力引起的电荷在闭合曲线
上的运动;通过开曲面
的磁通量。这一公式即是發電機的原理。
麥克斯韋方程中的高斯電場定律為:
![{\displaystyle \Phi _{E}=\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={Q \over \epsilon _{0}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89615ac84287f984a2ac2d1efb69acb1834fc538)
其中
為電場
為任意闭曲面
为曲面
包围的电荷
為真空電容率。
注意,通过闭曲面的
的通量“并不总是”零,這裡指出電“單極”的存在,即自由的正負電荷。
磁通量的計算
磁通量Φ的表达式一、Φ=BSsinα其中α为磁场方向与平面夹角。 二、Φ=BScosα其中α为平面与平面在垂直于磁场方向上射影的夹角。 公式中磁通量的单位是麦克斯韦(Mx),磁感应强度B的单位是高斯(Gs)单位平方厘米,或者是特斯拉(T)单位是平方米。
- ^ Douglas C Giancoli. Physics for scientists & engineers : with modern physics. 培生集團. 2009: 第760頁. ISBN 0131578499.