此条目页的主題是数学当中的一种函数或运算。关于电子系统设计与信号传输中的差分传输,請見「
差分信号」。
差分,又名差分函數或差分運算,一般是指有限差分(英語:Finite difference),是数学中的一个概念,将原函数
映射到
。差分運算,相應於微分運算,是微积分中重要的一个概念。
差分分为前向差分和逆向差分。
函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数
,如果在等距节点:
![{\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh,(k=0,1,...,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d9fa0d3249e8a9c305e3c8222bbc90e926a10f)
![{\displaystyle \ \Delta f(x_{k})=f(x_{k+1})-f(x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a0254e512c9e418324c03684529d2ec138b01e)
则称
,函数在每个小区间上的增量
为
一阶差分。[1]
在微积分学中的有限差分(finite differences),前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当
是多项式时,前向差分为Delta算子(称
为差分算子[2]),一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。
对于函数
,如果:
![{\displaystyle \ \nabla f(x_{k})=f(x_{k})-f(x_{k-1}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919f0219a226ae01012bab1e2de20749d5b6f0c6)
则称
为
的一阶逆向差分。
一阶差分的差分为二阶差分,二阶差分的差分为三阶差分,其余类推。记:
为
的
阶差分。
如果
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根据数学归纳法,有
![{\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(-1)^{n-i}f(x+i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378a9d98e057cb2afcfe03160ed26d7598cf4586)
其中,
为二项式系数。
特别的,有
![{\displaystyle \ \Delta ^{2}[f](x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002e6ddd14e4ec8068b1d97640ed68e91d1012e3)
前向差分有时候也称作数列的二项式变换
对比解析函数中的微分的属性,差分的性质有:
![{\displaystyle \Delta C=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbbe9ad28d26c5dae50e9c9feebc5e3773b86c19)
- 线性:如果
和
为常数,则有
![{\displaystyle \Delta (af+bg)=a\Delta f+b\Delta g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bf7e5ba9fab15895052af255780720e833f37e)
- 乘法定则(此处步长
):
![{\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta g+g\Delta f+\Delta f\Delta g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d20c99b275782c65e70eff92e3b5bb8b58f515)
![{\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f-\nabla f\nabla g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308ebc429bf8bc4e48eb1d7681a1da8ead9434c6)
![{\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75d266a98b655fde5a00f3c02cc20b1810ca165)
![{\displaystyle \Delta \left({\dfrac {f}{g}}\right)={\dfrac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\Delta f&\Delta g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\Delta g\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096bd739fcff02d2423b726a1c335e9499b323b2)
- 或
![{\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef07da4cd53c4e23333419b96ad39e3069b80c57)
![{\displaystyle \Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\Delta f-f\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ace7de6ffc576b9ea5453eade616d8f016ab1c1)
![{\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8a27ca55b38029f396a6a6342b939026e2e090)
![{\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac40ae658089df654848cc773d44812c2d076a3)
《自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。
牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由“牛頓前向差分方程”的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五[3],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。
當
值間隔為單位步長
時,有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{1}}\left[\Delta ^{1}[f](a)+{\frac {x-a-1}{2}}\left(\Delta ^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}\Delta ^{k}[f](a)\prod _{i=1}^{k}{\frac {[(x-a)-i+1]}{i}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaaae992f781f01dc21b5796c9d397a09060b194)
這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式
![{\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}\quad \quad (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cedd435e94eb9d50e4bd6c2eef7b14c26a50ebc5)
是二項式係數,其中的
是“下降階乘冪”(另一種常見的標記法為
),空積
被定義為
。這裡的
是“前向差分”的特定情況,即間距
。
為了展示牛頓的這個公式是如何使用的,舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項,可以找到一個多項式重新生成這些值,首先計算一個差分表,接著將對應於x0(標示了下劃線)的這些差分代換入公式,
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline x&\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}&\Delta ^{3}\\\hline 1&{\underline {1}}&&&\\&&{\underline {3}}&&\\2&4&&{\underline {2}}&\\&&5&&{\underline {0}}\\3&9&&2&\\&&7&&\\4&16&&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}+\Delta ^{1}{\dfrac {(x-x_{0})}{1!}}+\Delta ^{2}{\dfrac {(x-x_{0})(x-x_{0}-1)}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\&=1+3\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\&=1+3(x-1)+(x-1)(x-2)\\&=x^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d0bfa61c4977eeaf3022de361f67dd5f4cb8a9)
對於x值間隔為非一致步長的情況,牛頓計算均差,在間隔一致但非單位量時,即上述前向差分的一般情況,插值公式為:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left[\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}[(x-a)-ih]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}\left({\frac {x-a}{h}}-i\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf264500fc988a5ec93afcba6be755b5a7c2acc)
在最終公式中hk被消去掉了,對於非一致步長的情況則不會出現階乘。