虛數

$\vdots$

$i^{-3}=i$

$i^{-2}=-1$

$i^{-1}=-i$

$i^{0}=1$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

$i^{5}=i$

$i^{6}=-1$

$\vdots$

$i^{n}=i^{n{\pmod {4}}}$

虛數是指可以寫作實數與虛數單位$i$乘積的複數 ，並定義其性質為$i^{2}=-1$，以此定義，0可被視為同時是實數也是虛數（純虛數）的數值。

17世紀著名數學家笛卡爾所著《幾何學》（法語：La Géométrie）一書中，命名其為nombre imaginaire（虛構的數），成為了虛數（imaginary number）一詞的由來。

後來在歐拉和高斯的研究之後，發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛軸和實軸構成的平面稱複數平面，複數平面上每一點對應着一個複數。

複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。

幾何詮釋

複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度

在幾何學上，複數平面的垂直軸表示虛數，它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考標準數線：往右側正幅度增長，往左側則負幅度減少。在x軸的0點處，往上升方向可繪製y軸的「正」虛數，然後向上增加；而「負」虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為「虛軸」，並被表示為$i\mathbb {R}$，Im，$\mathbb {I}$，或$\Im$。

在該呈現圖示中，乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。$i$的乘法對應於「逆時針」方向的90度旋轉，而方程式$i^{2}=-1$可被解釋為，如果我們對原點應用兩個90度旋轉，則終了結果是單一個180度旋轉。注意，「順時針」方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了$-i$也解出了方程$x^{2}=-1$。一般來說，乘以複數與以複數輻角圍繞原點的旋轉相同，然後按其大小進行縮放。

負數的平方根

更多資訊：平方根 § 負數與複數的平方根

我們應該將根號視為求$x^{2}$的解，故將一個數開根號後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應，${\sqrt {-1}}$實際上代表的是兩個數，分別為$+i$及$-i$。但若直接將${\sqrt {-1}}$對應到$+i$，而$-{\sqrt {-1}}$對應到$-i$也未嘗不可。

性質

1. 不同的虛數都是不能比較大小的：$1<2\,$成立，但$1+i<2+i\,$和$i<2i\,$卻均不成立。

舉例說明：（反證法）

假設$i>0\,$

平方得$i^{2}>0\,$

得$-1>0\,$即可看出矛盾。

再舉例：假設$i<0\,$

平方得$i^{2}>0\,$（不等式兩側同乘假設為負的$i$，不等式由小於變為大於）

得$-1>0\,$即可看出矛盾。

因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。

2. 因爲$i^{0}=1\,$，$i^{1}=i\,$，$i^{2}=-1\,$，$i^{3}=-i\,$，$i^{4}=1\,$，$\cdots$，很容易知道$i^{n}\,$（$n\in \mathbb {N} \,$）是關於指數$n\,$的週期函數，最小正週期是$4\,$。於是，我們有

$i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0\,$

這表示$i\,$為方程$x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=0\,$的一個根，另三個根分別為$-i,-1\,$及$0\,$。

另外可以證明

$\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,$

和

${\overline {\omega }}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,$

爲下列方程的根

$x^{2}+x+1=0\,$

$x^{3}=1\,$

其中，${\overline {\omega }}\,$稱爲$\omega \,$的共軛虛數（或共軛複數）。

3. 如果再將虛數的這個概念擴展開去，就可以組成四元數（Quaternion）、八元數（Octonion）等特殊數學範疇。

參見

• 虛數單位
• 複數
• 四元數
• 八元數

外部連結

• 虛數i的介紹
• $i^{7321}\,$的計算方法舉例
• i作為-1的平方根