量子数

量子數描述量子系統中動力學上各守恒數的值。它們通常按性質地描述原子中電子的各能量，但也會描述其他物理量（如角動量、自旋等）。由於任何量子系統都能有一個或以上的量子數，列出所有可能的量子數是件沒有意義的工作。

有多少個量子數？

「要多少個量子數才能描述任何已知系統？」這道問題並沒有一致的答案，儘管要解決每一個系統都必需要對系統進行全面分析。任何系統的動力學都由一量子哈密頓算符，H，所描述。系統中有一量子數對應能量，即哈密頓算符的特徵值。對每一個算符O而言，還有一個量子數可與哈密頓算符交換（即滿足OH = HO這條關係式）。這些是一個系統中所能有的所有量子數。注意定義量子數的算符O應互相獨立。很多時候，能有好幾種選擇一組互相獨立算符的方法。故此，在不同的條件下，可使用不同的量子數組來描述同一個系統。

原子內的單個電子

本節並非該問題的完整描述。詳見類氫原子、波耳原子、薛定諤方程及狄拉克方程。

最被廣為研究的量子數組是用於一原子的單個電子：不只是因為它在化學中有用（它是週期表、化合價及其他一系列特性的基本概念），還因為它是一個可解的真實問題，故廣為教科書所採用。

在非相對論性量子力學中，這個系統的哈密頓算符由電子的動能及勢能（由電子及原子核間的庫侖力所產生）。動能可被分成，有環繞原子核的電子角動量，J的一份，及餘下的一份。由於勢能是球狀對稱的關係，其完整的哈密頓算符能與J²交換。而J²本身能與角動量的任一分量（按慣例使用J_z）交換。由於這是本題中唯一的一組可交換算符，所以會有三個量子數。

它們慣例上被稱為

• 主量子數（n=1，2，3，4 …）代表除掉J²以後H的特徵值。這個數因此會視電子與原子核間的距離（即半徑座標r）而定。平均距離會隨着n增大，因此不同量子數的量子態會被說成屬於不同的電子層。
• 角量子數（l=0，1 … n-1）（又稱方位角量子數或軌道量子數）通過關係式$L^{2}=\hbar ^{2}l(l+1)$來代表軌道角動量。在化學中，這個量子數是非常重要的，因為它表明了一軌道的形狀，並對化學鍵及鍵角有重大形響。有些時候，不同角量子數的軌道有不同代號，l=0的軌道叫s軌道，l=1的叫p軌道，l=2的叫d軌道，而l=3的則叫f軌道。
• 磁量子數（m_l= -l，-l+1 … 0 … l-1，l）代表特徵值，$L_{z}=m_{l}\hbar$。這是軌道角動量沿某指定軸的射影。

從光譜學中所得的結果指出一個軌道最多可容納兩個電子。然而兩個電子絕不能擁有完全相同的量子態（泡利不相容原理），故也絕不能擁有同一組量子數。所以為此特別提出一個假設來解決這問題，就是設存在一個有兩個可能值的第四個量子數。這假設以後能被相對論性量子力學所解釋。

• 自旋量子數（m_s= -1/2 或 +1/2）代表電子的固有角動量。這是自旋 s=1/2沿某指定軸的射影。

作為摘要，一電子的量子態視下列各量子數而定：

名稱	符號	軌道意義	取值範圍	取值例子
主量子數	$n\$	殼層	$1\leq n\,\!$	$n=1,2,3...\,\!$
角量子數（角動量）	$\ell \$	次殼層	$0\leq \ell \leq n-1\$	若$n=3\,\!$: $\ell =0,1,2\,(s,p,d)\$
磁量子數（角動量之射影）	$m_{\ell }\$	能移	$-\ell \leq m_{\ell }\leq \ell \$	若$\ell =2\$: $m_{\ell }=-2,-1,0,1,2\,\!$
自旋量子數	$m_{s}\,\!$	自旋	$-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\$	只能是$-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\$

例：用於描述氟（F）原子最外層電子（即價電子，位於原子軌道2p）的各量子數值為：n=2，l=1，m_l=1或0或-1，m_s=-1/2或1/2。

注意分子軌道需要使用完全不同的量子數組，因為其哈密頓算符及對稱跟上述相當不同。

適用於自旋－軌道交互作用的量子數

詳見克里布希－戈登係數

當考慮到自旋-軌道作用時，l、m及s就再不能與哈密頓算符交換，因而它們的值會隨時間改變。故應該使用另一組量子數。這組包括了

• 總角動量量子數（j=1/2，3/2 … n-1/2）通過關係式$J^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)$代表着總角動量。
• 總角動量沿某指定軸的射影（m_j=-j，-j+1 … j-1，j），此數與m類似，且滿足關係式$m_{j}=m_{l}+m_{s}$。
• 宇稱。它是經反射所得的特徵值，當態之l為偶數時其值為正（即+1），奇數時其值為負（即-1）。前者亦被稱為偶宇稱，後者則為奇宇稱。

例：考慮以下八個態，定義它們的量子數：

• （1） l = 1，m_l = 1，m_s = +1/2
• （2） l = 1，m_l = 1，m_s = -1/2
• （3） l = 1，m_l = 0，m_s = +1/2
• （4） l = 1，m_l = 0，m_s = -1/2
• （5） l = 1，m_l = -1，m_s = +1/2
• （6） l = 1，m_l = -1，m_s = -1/2
• （7） l = 0，m_l = 0，m_s = +1/2
• （8） l = 0，m_l = 0，m_s = -1/2

系統的量子態能被這八個態的線性組合所描述。但由於自旋-軌道作用的關係，如欲使用八個由哈密頓算符的特徵向量（即每一個代表一個態且不會因時間而跟其他態混合）所組成的態來描述同一個系統，應考慮以下這八個態：

• （1） j = 3/2， m_j = 3/2，偶宇稱 （從上態（1）得）
• （2） j = 3/2， m_j = 1/2，偶宇稱 （從上態（2）及（3）得）
• （3） j = 3/2， m_j = -1/2，偶宇稱 （從上態（4）及（5）得）
• （4） j = 3/2， m_j = -3/2，偶宇稱 （從上態（6）得）
• （5） j = 1/2， m_j = 1/2，偶宇稱 （從上態（2）及（3）得）
• （6） j = 1/2， m_j = -1/2，偶宇稱 （從上態（4）及（5）得）
• （7） j = 1/2， m_j = 1/2，奇宇稱 （從上態（7）得）
• （8） j = 1/2， m_j = -1/2，奇宇稱 （從上態（2）及（3）得）

基本粒子

如欲見更完整的基本粒子量子態敍述，可參閱標準模型理論及味 (粒子物理學)

基本粒子包含不少量子數，一般來說它們都是粒子本身的。但需要明白的是，基本粒子是粒子物理學上標準模型的量子態，所以這些粒子量子數間的關係跟模型的哈密頓算符一樣，就像波耳原子量子數及其哈密頓算符的關係那樣。亦即是說，每一個量子數代表問題的一個對稱性。這在場論中有着更大的用處，被用於識別時空及內對稱。

一般跟時空對稱有關係的量子數有自旋（跟旋轉對稱有關）、宇稱、C-宇稱、T-宇稱（跟時空上的龐加萊對稱有關係）。一般的內對稱有輕子數、重子數及電荷數。條目味有這些量子數的更詳細列表。

值得一提的是較次要但常被混淆的一點。大部分守恒量子數都是可相加的。故此，在一基本粒子反應中，反應前後的量子數總和應相等。然而，某些量子數（一般被稱為宇稱）是可相乘的；即它們的積是守恒的。所以可相乘的量子數都屬於一種對稱（像守恒那樣），而在這種對稱中使用兩次對稱變換式跟沒用過是一樣的。它們都屬於一個叫Z₂的抽象群。

參考資料暨外部連結

基本原理

• Dirac, Paul A.M. Principles of quantum mechanics. Oxford University Press. 1982. ISBN 0-19-852011-5. 

原子物理

• 量子數與電子排佈（英文）
• 氫原子的量子數（英文）

粒子物理

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X. 
• Halzen, Francis and Martin, Alan D. QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2. 
• 粒子數據小組（英文）