平均

平均（粵拼：ping4 gwan1）喺概念上係指將兩個或者更多嘅數「拉勻去計」。喺統計學上，平均可以細分做平均數、中位數同眾數呢三種計法，當中日常生活講嘅「平均」多數都係指平均數。

點計平均值

喺科學觀測或者社會調查度攞到嘅數據，通常會攞算術平均嚟做代表值。但係，要諗清楚下算術平均係咪真係幫到你反映數據特徵，有時可能未必。通常如果數據係正態分佈，咁你用算術平均同標準差就啱晒啦。但係，如果數據唔係正態分佈，咁算術平均就可能唔係咁啱用，未必反映到大家普遍嘅情況。

舉個例，諗下香港人嘅收入。根據2023年嘅數據，香港打工仔每個月嘅中位數收入係$19,800，但平均收入就有$36,583。呢個咁大嘅差距其實係因為一小撮高收入人士拉高咗個數。結果就係，現實中好少家庭收入真係啱啱中晒呢個平均數。所以喺呢個情況下，數據唔係跟正態分佈。如果真係想睇到一般家庭收入，中位數或者最常見值會準啲。^[1]

仲有，由於97%至99%嘅收入對數係跟對數正態分佈，咁用收入嘅幾何平均值嚟代表可能仲更啱。

如果數據分佈唔係對稱嘅，或者有啲極端數據值（即係啲離譜嘅數），你可以諗下用刈除平均，即係剔除最大同最細值，再計返個平均數。如果平均同中位數、最常見值、中點值有段距離，可能要諗下唔好用平均數，用啲第啲方法嚟表達數據會好啲。

統計學

講開統計學呢樣嘢，講「平均值」通常講緊算術平均，講白啲就係平均數啦。呢個係用啲數據計出嚟嘅統計指標值嚟㗎。

阿媽平均同細路平均

統計學入面有阿媽平均同細路平均之分。阿媽平均就係將成揪嘢平均，即係全部數據加埋嘅平均啦。細路平均就係喺抽返啲數出嚟嘅（即係抽樣）嘅平均數。啲學者慣常用 $μ$ 嚟代表阿媽平均，用 $m$ 嚟代表細路平均。

算術平均

又叫算術平均，英文：arithmetic mean。

算術平均嗰條數就係咁㗎：

\mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\dfrac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}

即係話，將成堆數加埋，再擘開嚟計。你都可以咁樣寫：

n\mu =\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}

$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 呢啲數嘅算術平均可以用 ${\bar {x}}$ 嚟寫。

算術平均啱用喺有得加有得乘嘅數，譬如實數、複數、向量噉。

加權平均

如果啲數據有唔同嘅權重，咁就唔可以淨係攞算術平均，而係要考慮埋權重嚟計平均值。當每個數據 $x i$ 係有自己嘅權重 $w i$ 嘅時候，呢個加權平均（權重平均）就係咁計：

{\cfrac {w_{1}x_{1}+\dots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+\dots +w_{n}}}

如果所有數據嘅權重都一樣，咁呢個加權平均就係一般嘅算術平均。

舉個例：喺權重最小二乘法裡面，我哋會比誤差細嘅數據更大嘅權重，然後最小化呢啲殘差嘅加權平均^{[註 1]}，咁樣就可以最大化似然。而喺優先抽樣入面，我哋喺用蒙地卡羅估計期望值嘅時候，會用求得嘅期望值嘅機率密度同樣本嘅機率密度比值作為權重，再攞加權平均嚟做估計量。

至於幾何平均嘅加權平均定義如下：

\left({x_{1}}^{w_{1}}\dotsb {x_{n}}^{w_{n}}\right)^{1/p}

不過呢度嘅 $p=\sum _{i=1}^{n}w_{i}$ 。

連續分布嘅算術平均

如果數據 $x (t)$ 喺區間 $[a, b]$ 裏面連續分布，咁佢嘅算術平均就係積分

{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}x(t)\,dt

呢個積分係將離散分布嘅算術平均推廣到無限個平均值嘅極限形式。

對數平均

如果 $x (t)$ 係指數函數，咁佢嘅算術平均可以用端點嘅函數值 $x (a), x (b)$ 嚟計算，

{\frac {x(b)-x(a)}{\ln \left(x(b)\right)-\ln \left(x(a)\right)}}

呢個結果叫做對數平均，喺對數平均溫度差等應用中用得上。

向量平均

算術平均同加權平均都可以擴展到向量情況，向量平均同物理學入面嘅質心概念有關。幾何平均同調和平均就冇辦法定義。

算術平均

對於向量 $x 1, \dots, x n$ ，佢哋嘅（算術）平均定義為：

{\frac {{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +{\boldsymbol {x}}_{n}}{n}}

如果 $n = 3$ ，咁 $x 1, x 2, x 3$ 嘅平均就係呢三點所形成嘅三角形嘅重心。呢個結果可以推廣到 $n$ 個向量嘅情況， $x 1, \dots, x n$ 嘅平均就係呢 $n$ 點所形成嘅 $n$ 單體嘅重心。

加權平均

加權平均都可以同樣擴展到向量情況，定義為：

{\frac {w_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +w_{n}{\boldsymbol {x}}_{n}}{w_{1}+\dots +w_{n}}}

$m$ 次方平均同一般化平均係按標量定義為：

{\frac {\|{\boldsymbol {x}}_{1}\|^{m}+\dots +\|{\boldsymbol {x}}_{n}\|^{m}}{n}},\quad {\sqrt[{m}]{\frac {\|{\boldsymbol {x}}_{1}\|^{m}+\dots +\|{\boldsymbol {x}}_{n}\|^{m}}{n}}}

呢度嘅 $・$ 係向量嘅範數。當 $m = 2$ 嘅時候， $x$ ²}} 同內積 $\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle$ 相等，所以當 $m = 2$ 嘅時候， $m$ 次方平均同一般化平均特別重要。例如物理學中速率嘅平均值（均方根速度）有時會用 $m = 2$ 嘅一般化平均。

對於向量加權平均嘅概念，我哋可以賦予其物理意義。假設質點 $P 1, \dots, P n$ 分別喺位置 $x 1, \dots, x n$ ，佢哋嘅質量分別係 $m 1, \dots, m n$ ，咁加權平均

{\cfrac {m_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +m_{n}{\boldsymbol {x}}_{n}}{m_{1}+\dots +m_{n}}}

就係系統嘅重心。

算術幾何平均

假設 $a 0, b 0$ 係兩個滿足 $a 0 > b 0$ 嘅非負實數。然後我哋定義 $a 1, a 2, \dots; b 1, b 2, \dots$ 如下：

a_{i+1}={\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}

b_{i+1}={\sqrt {a_{i}b_{i}}}

咁

\lim _{i\to \infty }a_{i}=\lim _{i\to \infty }b_{i}

就係 $a 0$ 同 $b 0$ 嘅算術幾何平均。

移動平均

時間序列嘅數據會平滑化。呢個手法唔單止用喺數碼信號處理，例如圖像同聲音，仲用喺技術分析等金融領域，仲有氣象、水象等測量領域。

平均嘅各種花款

幾何平均（相乘平均）

幾何平均（有時叫相乘平均）係咁搞㗎：

\mu _{\mathrm {G} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\dotsb x_{n}}}

講普通啲，就係將成班數撈埋，然後開 n 次方根。呢個幾何平均同相乘平均其實係同一碟餸。

再講多次：

{\mu _{\mathrm {G} }}^{n}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}x_{2}\dotsb x_{n}

如果玩對數：

\mu _{\mathrm {G} }=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)

n\log \mu _{\mathrm {G} }=\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}

即係幾何平均其實係對數嘅算術平均，再整返個指數出嚟。或者你諗下，幾何平均嘅對數其實係啲對數嘅算術平均啫。

如果你啲數有零，幾何平均就變零。如果成堆數乘埋一齊係負嘅，咁幾何平均就唔喺實數度。如果你玩複數，就算你啲數全部都係實數，幾何平均都可能唔係得一個。

幾何平均啱用喺啲有得乘有得開根嘅數，譬如實數或者複數咁。

調和平均

調和平均咁樣計：

\mu _{\mathrm {H} }={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\tfrac {1}{x_{1}}}+{\tfrac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\tfrac {1}{x_{n}}}}}

或者

{\frac {n}{\mu _{\mathrm {H} }}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}

調和平均其實係逆數嘅算術平均嘅逆數。反過嚟講，逆數嘅算術平均就係調和平均嘅逆數。

如果你啲數有零，照原本嘅講法，調和平均就冇得計，但係如果當零係個極限，調和平均就會變零（即係 $x_{i}\to 0$ 嘅時候 $\mu _{\mathrm {H} }\to 0$ ）。就算你啲數有負嘅，調和平均都計得出，但如果正負數撈埋一舊，逆數加埋可能變零，咁極限就會甩轆。

一般化平均

算術平均、幾何平均、同調和平均都可以用呢個公式嚟講：

\mu _{p}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\right)^{1/p}

或者

n{\mu _{p}}^{p}=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}

呢個係對應實數 $p$ 嘅值，呢個平均數叫 $p$ 一般化平均。

當 $p = 1$ 就係算術平均， $p = -1$ 就係調和平均，而 $p \to 0$ 嘅極限就係幾何平均。仲有， $p = 2$ 嘅時候，就係二乘平均平方根 (RMS)，喺物理同工程度成日見。 $p \to \infty$ 嘅極限係最大值，而 $p \to -\infty$ 嘅極限就係最細值。

一般化平均其實係將條數 $(x_{1},\dots ,x_{n})$ 嘅 $p$ 範數除以 $n^{1/p}$ 嘅結果。

啲數嘅 $p$ 次方平均，或者話，一般化平均嘅 $p$ 次方：

{\mu _{p}}^{p}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}

叫做 $p$ 次方平均。

呢個 $p$ 次方平均、一般化平均喺統計學度都有用，譬如用喺方差同標準偏差。偏差（啲數減咗平均數之後嘅值）嘅 $2$ 次方平均就係方差。

一般化平均仲可以再玩多啲，例如用全射函數 $f$ 嚟講：

\mu _{f}=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)

譬如， $f (x) = x$ 就係相加平均， $f (x) = 1 / x$ 就係調和平均， $f (x) = log x$ 就係幾何平均。

	相加平均	幾何平均	調和平均
$f(x)$	$x$	$\log x$	$x^{-1}$
$f^{-1}(y)$	$y$	$\exp y$	$y^{-1}$
$f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)$	${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$	$\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)$	$\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{-1}\right)^{-1}$

咩數先計得

講 $p$ 一般化平均呢樣嘢，通常啲數要係正數先得㗎，因為要開 $p$ 次方根（即係冪函數），負數唔畀咁計。但係算術平均同調和平均（即係 $p = \pm1$ ）就唔怕負數。除咗呢兩個之外，負數可能會整到一般化平均計唔到實數，就算計到都唔知點解釋好。

如果 $p < 0$ ，你啲數有零，咁就冇得用一般化平均嗰條數，但係可以學調和平均咁搞，當零係個極限，咁一般化平均就會變零。幾何平均（即係 $0$ 一般化平均）都係咁，所以 $p \leq 0$ 嘅時候，一般化平均通常當係零。

實際啲嘅例子

幾何平均

 ** 譬如話1978年經濟飆升20%，1979年再升80%，咁呢兩年平均起咗幾多呢？就係  ${\sqrt {1.2\times 1.8}}=1.469693846\cdots$ ，即係差唔多47%啦。

調和平均

 ** 假設你去嘅時候每個鐘行60公里，返嘅時候每個鐘行90公里，咁成程平均行幾快呢？就係  ${\frac {2}{1/(60~\mathrm {km~h^{-1}} )+1/(90~\mathrm {km~h^{-1}} )}}=72~\mathrm {km~h^{-1}}$ 。
 ** 調和平均仲可以用嚟計並聯電阻有幾大（例如喺串聯電路同並聯電路度計）。

佢哋點相關法

算術平均≧幾何平均≧調和平均

如果你有 $n$ 個正數，咁一定係：

算術平均 ≥ 幾何平均 ≥ 調和平均

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}

要等號成立，就要：

x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}

。

左邊嗰個不等式可以用對兩邊取對數，再用log嘅凸性（即係延森不等式）嚟證（都有人用數學歸納法嚟證）。右邊嗰個不等式就係用調和平均係逆數嘅算術平均嘅逆數呢個特性，再用返左邊嗰個不等式嚟證。

呢個不等式仲可以擴到 $p$ 嘅一般化平均度。

註

↑ 喺最小二乘法入面，加權和最小化同加權平均最小化其實係一樣嘅意思。

疏仕

↑ 政府統計處工資及勞工成本統計組。〈二零二三年收入及工時按年統計調查結果公布〉。

睇埋

[2] 喺最小二乘法入面，加權和最小化同加權平均最小化其實係一樣嘅意思。

[1] 政府統計處工資及勞工成本統計組。〈二零二三年收入及工時按年統計調查結果公布〉。

[1]

[註 1]