삼각 부등식

변

의

길이

가 x,

y

, z인 삼각형에 대한 삼각형 부등식의 세 가지 예제입니다.위 예제는 z가 다른 두 변의

합

x +

y

보다 훨씬 작은

경우

를 나타내고 아래 예제는 z

변이

x +

y

보다

약간

작은 경우를 나타냅니다.

수학에서, 삼각 부등식(삼각형 부등식)은 모든 삼각형의 경우, 임의의 두 변의 길이의 합이 ^[1]^[2]나머지 변의 길이보다 크거나 같아야 한다고 말한다.이 진술은 퇴화 삼각형을 포함시키는 것을 허용하지만, 일부 저자들, 특히 기초 기하학에 대해 쓰는 사람들은 이러한 가능성을 배제하고,^[3] 따라서 평등 가능성을 배제한다. $만약$ x, $y$ , $z$ 가 삼각형의 변의 길이이고, 변이 $z$ 보다 크지 않다면, 삼각 부등식은 다음과 같이 기술한다.

z\leq x+y,

면적이 0인 삼각형의 퇴화된 경우에만 동일하다.유클리드 기하학과 다른 기하학에서 삼각 부등식은 거리에 대한 정리이며 벡터와 벡터 길이(정규)를 사용하여 작성된다.

\displaystyle \\mathbf {x} +\mathbf {y} \leq \\mathbf {x} \ +\\mathbf {y} \,}

여기서 세 번째 변의 $길이$ z는 벡터 $합$ x + $y$ 로 대체되었습니다. $x$ 와 y가 실수일 $때$ , 그것들은 $R$ 에서¹ 벡터로 볼 수 있고, 삼각형 부등식은 절대값 사이의 관계를 나타냅니다.

유클리드 기하학에서, 직각 삼각형의 경우 삼각형 부등식은 피타고라스 정리의 결과이고, 일반 삼각형의 경우, 비록 이러한 이론 없이 증명될 수 있지만 코사인 법칙의 결과이다.부등식은 $R$ 이나²³ R에서 직관적으로 볼 수 있다.오른쪽 그림은 명확한 불평등(위)에서 시작하여 평등에 가까워지는 세 가지 예를 보여줍니다.유클리드에서는 삼각형이 180 $°$ 의 각도와 $2개$ 의 0 $°$ 의 각도를 가질 경우에만 등식이 발생하며, 아래 예시와 같이 세 개의 정점이 동일하게 됩니다.따라서 유클리드 기하학에서 두 점 사이의 가장 짧은 거리는 직선이다.

구면 기하학에서, 두 점 사이의 최단 거리는 대원호이지만, 구면상의 두 점 사이의 거리가 이러한 ^[4]^[5]끝점과 함께 작은 구면 선분( $즉,$ [0, $θ]$ 에 중심각을 가진 것)의 길이인 경우 삼각 부등식이 성립한다.

삼각 부등식은 규범과 거리의 척도를 정의하는 속성이다.이 특성은 각 특정 공간에 대해 그러한 목적을 위해 제안된 모든 함수에 대한 정리로 확립되어야 한다. 예를 들어, 실수, 유클리드 공간, L $공간 p$ ( $p$ ), 1) 및 내부 곱 공간과 같은 공간이다.

유클리드 기하학

평면 기하학에 대한 삼각 부등식의 증명을 위한 유클리드의 구성.

유클리드는 ^[6]그림의 구조를 이용하여 평면 기하학에서 거리에 대한 삼각 부등식을 증명했다. $삼각형$ ABC에서 시작하여, 한 변은 BC로 $하고$ 다른 한 변은 $AB$ 의 연장을 따라 같은 $다리$ BD로 이등변 삼각형을 구성한다. $그러면$ 각도 β는 $각도$ α보다 큰 측정값을 가지므로 측면 $AD$ 가 $측면$ AC보다 길다고 주장됩니다.그러나 AD = $AB$ + $BD$ $= AB$ + $BC$ 이므로 변 $AB$ 와 BC의 길이의 합이 AC의 $길이$ 보다 크다.이 증거는 유클리드의 원소, 제1권, 발의안 ^[7]제20호에 나타난다.

삼각형의 변에 있는 구속조건의 수학식

적절한 삼각형의 경우, 삼각형 부등식은 말 그대로 세 개의 부등식으로 변환된다(정삼각형은 모두 양의 변 $길이$ a, $b$ , $c$ 를 가지며 0 면적의 퇴화된 경우를 제외한다).

\displaystyle a+b>c,\display b+c>a,\display c+a>b.}

이 불평등 시스템의 보다 간결한 형태는 다음과 같은 것을 보여줄 수 있다.

(\displaystyle a-b <c<a+b).}

다른 말로 하자면

\displaystyle \max(a,b,c) <a+b+c-\max(a,b,c)}

함축적

2\max(a,b,c)<a+b+c

따라서 가장 긴 변의 길이가 반지름보다 작습니다.

수학적으로 동등한 공식은 변이 a, b, c인 삼각형의 면적은 0보다 큰 실수여야 한다는 것입니다.헤론의 지역 공식은

{\text{area}}&=syslogrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a+b+c)(a+b-c)}}\\&=sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}.\end { aligned}

어느 하나의 영역식에 있어서, 모든 변에 부과되는 삼각 부등식은 제곱근 기호 아래의 식이 실재하고 0보다 큰 조건과 같다(따라서 영역식은 실재하고 0보다 크다.

삼각형 부등식은 변이 a, b, c인 삼각형에 두 가지 더 흥미로운 제약 조건을 제공합니다. 여기서 a b and c와 ${\$ { $displaystyle \phi }$ 는 $\phi$ 황금 비율입니다.

1<\frac {a+c}{b}}<3

1\leq \leftfac {a} {b} , {\frac {b} {c}} \right } <\phi

^[8]

직각삼각형

등변

AB =

AC

인 이등변 삼각형은 두 개의 기본 각도 중 하나에서 끌어낸 고도에 의해 두 개의 직각 삼각형으로 나뉩니다.

직각삼각형의 경우, 삼각 부등식은 빗변은 양변보다 크고 ^[9]합보다 작다는 진술에 특화된다.

이 정리의 두 번째 부분은 삼각형의 어떤 변에 대해서도 이미 위에 확립되어 있다.첫 번째 부분은 아래 그림을 사용하여 확립됩니다.그림에서는 오른쪽 $삼각형$ ADC를 고려합니다. $등변$ AB = $AC$ 로 이등변 $삼각형$ ABC를 구성한다.삼각형 공식에서 직각 $삼각형$ ADC의 각도는 다음을 만족합니다.

\displaystyle \alpha +\display = \pi / 2 \ . }

마찬가지로, 이등변 $삼각형$ ABC에서 각도는 다음을 만족한다.

(\displaystyle 2\display +\display =\pi \ .})

그러므로,

\alpha =\pi /2-\mathrm {while} \\mathrm =\pi /2-\mathrm /2\

특히,

\displaystyle \alpha <\displaystyle \ . }

즉, $AD$ $대향각α$ 가 AB $대향각β$ $대향각$ 보다 짧다. $단$ , AB = $AC$ .이 때문에,

{\displaystyle} {\mathrm {AC}} {\displaystyle} {\mathrm {AD}} \ .}

같은 구조에서는 AC > $DC$ 가 정리가 확립되어 $있습니다$ .

수익금(또한 삼각형에 상정한다 근거한)묘사되어(이것은 명백해질 것이다)또는(ii)BD(는 2등변의 삼각형 베이스 각도가 향점 각도 γ를 삼각지 공준을 위반한 것 2직각이 있다는 것을 뜻할 것), 또는 마지막으로,(iii과 일치하는 예로 B를 위해 3가지 위치[10](나는)고려하여 대안적인 증거이다.)BA와 $D$ $지점$ 사이의 직각 내부(이 경우 $각도$ ABC는 직각 $BDC$ 의 외부 각도이므로 $θ$ / $2$ 보다 크다. 즉, 이등변 삼각형의 다른 기본 각도도 $θ$ / $2$ 보다 크고 삼각형의 합계가 $θ$ 를 초과한다.)

부등식을 확립하는 이 정리는 빗변 길이의 제곱이 다른 두 변의 제곱합과 같다는 피타고라스의 정리에 의해 더욱 명확해졌다.

사용 예

변이 산술적 수열인 삼각형을 생각하고 변을 $a,$ $a$ + $d,$ a + $2$ d로 $둡니다$ .그러면 삼각 부등식은 다음을 요구한다.

0<a<2a+3d

0<a+d<2a+2d

0<a+2d<2a+d.

이 모든 불평등을 충족시키려면

\displaystyle a > 0 텍스트 및 }}-{\frac {a}{3}} <d<a.}

^[11]

d가 $d =$ a/ $3$ 이 $되도록$ $선택$ 되면, $그것$ 은 $항상$ 변 3, $4$ , 5를 가진 피타고라스 삼각형과 유사한 직각 삼각형을 생성한다.

삼각형의 변이 기하급수이고 변이 $a$ , $ar 2$ , ar가 $되도록$ 합시다.그러면 삼각 부등식은 다음을 요구한다.

0<a<ar+ar^{2}}

\displaystyle 0 < ar < a + ar ^ { 2 }}}

(\displaystyle 0<ar^{2}<a+ar})

첫 번째 부등식에는 > $0$ 이 $필요$ 합니다.따라서 이 부등식을 분할하여 제거할 수 있습니다.a > $0$ 의 $경우$ , 중간 부등식은 $r$ > 0 $만$ 이 필요합니다.이것은 이제 첫 번째와 세 번째 불평등을 만족시킬 필요가 있다.

{{aligned}r^{2}+r-1&{}>0\r^{2}-r-1&{}<0.\end { aligned}

이러한 2차 부등식 중 첫 번째 $부등식$ 은² $r$ 이 $2차 방정식$ r + r - 1 = 0의 양근 값보다 큰 영역, 즉 $r > δ$ - 1 이며 여기서 $r$ 은 황금 $비율$ 이다.두 번째 2차 부등식에서는 r이 0과 $2차 2$ 방정식 $r$ - r - $1$ = 0의 양근 $사이$ 여야 $한다.$ $즉,$ 0 < r < $δ$ 이다.결합된 요건은 r이 범위로 제한되는 $결과$ 를 초래합니다.

\displaystyle \varphi - 1 <r <\varphi >, {\text{ 및 }}a> 0 입니다.}

^[12]

r의 $공통$ 비율을 r $=$ 로 $선택$ 하면 $항상$ 케플러 삼각형과 유사한 직각 삼각형이 생성됩니다.

임의의 폴리곤에 대한 일반화

삼각형 부등식은 수학적 유도에 의해 임의의 다각형 경로로 확장될 수 있으며, 이러한 경로의 총 길이가 끝점 사이의 직선 길이보다 작지 않다는 것을 보여준다.이것에 의해, 어느 폴리곤측의 길이는, 항상 다른 폴리곤측의 길이의 합계보다 작아진다.

사각형에 대한 일반화 다각형 부등식의 예제

변이 기하급수인 사변형을 생각하고 변이 $a$ , $ar 2$ , ar, $ar$ 가³ $되도록$ 하자.그리고 일반화 다각형 부등식은 다음을 요구한다.

0<a+ar^{2}+ar^{3}}

0<ar<a+ar^{2}+ar^{3}}

0<ar^{2}<a+ar+ar^{3}}

(\displaystyle 0<ar^{3}<a+ar+ar^{2}).}

$a$ > 0에 $대한$ 이러한 부등식은 다음과 같이 감소합니다.

r^{3}+r^{2}+r-1>0

(\displaystyle r^{3}-r^{2}-r-1<0).}

^[13]

이 두 부등식의 왼쪽 다항식은 트리보나치 상수와 그 역수인 근을 가진다. $따라서$ r은 trivonacci $상수$ 인 1/ $t$ $< r$ < $t$ 로 제한된다.

최단 경로와의 관계

원곡선의 호 길이는 폴리곤 근사 길이의 최소 상한으로 정의됩니다.

이 일반화는 유클리드 기하학에서 두 점 사이의 최단 곡선이 직선임을 증명하기 위해 사용될 수 있다.

두 점 사이의 다각형 경로가 두 점 사이의 선보다 짧지 않습니다.즉, 원곡선은 끝점 사이의 거리보다 작은 호 길이를 가질 수 없습니다.정의상 곡선의 호 길이는 곡선의 모든 다각형 근사 길이의 최소 상한입니다.다각형 경로에 대한 결과는 끝점 사이의 직선이 모든 다각형 근사치 중 가장 짧음을 나타냅니다.원곡선의 호 길이는 모든 다각형 근사치의 길이보다 크거나 같기 때문에 곡선 자체는 직선 ^[14]경로보다 짧을 수 없습니다.

컨버스

삼각 부등식 정리의 역행은 또한 사실이다: 만약 3개의 실수가 각각 다른 것의 합보다 작다면, 이 숫자들의 변 길이와 양의 면적을 가진 삼각형이 존재한다; 만약 한 숫자가 다른 두 개의 합과 같다면, th와 함께 퇴화 삼각형이 존재한다.ese 숫자를 측면 길이로 지정합니다.

어느 경우든, 변의 길이가 a, b, c라면 우리는 다이어그램에 표시된 것처럼 유클리드 평면에 삼각형을 배치하려고 시도할 수 있다.우리는 이 삼각형이 존재하는 a, b, c 값과 일치하는 실수 h가 존재한다는 것을 증명해야 한다.

고도

h 절단

베이스

c를 d + (

c

-

d)

로 하는 삼각형.

피타고라스 정리에 따르면 오른쪽 그림에 따라 b $= h 2$ + $d$ 와² a $= h 2$ + ( $c$ - $d) 2$ 가²² 있습니다.이 값을 빼면 a - $b 2 = c 2$ - $2cd$ 가 $됩니다 2$ .이 방정식을 사용하면 삼각형의 변으로 d를 $표현$ 할 수 있습니다.

d=syslogfrac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2c}}.

삼각형의 높이에 대해 h $= b 2$ - $d$ 가²² 있다. d를 위에 주어진 공식으로 $치환$ 하면, 다음과 같이 된다.

\displaystyle h^{2}=b^{2}-\leftfrac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2c}}\right)^{2}.

실수 h가 이를 만족시키려면 h $(\$ h $^{2})$ 가 $h^{2}$ 음수가 아니어야 합니다.

\displaystyle b^{2}-\leftfrac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2c}\right)^{2}\geq 0,}

\displaystyle \left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{2c}\오른쪽)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{2c}}\right)\geq 0,}

\displaystyle \left(a^2}-(b-c)^{2}(b+c)^{2}-a^{2}\right)\geq 0,}

(a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)\geq 0,

(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\geq 0,

삼각 부등식이 모든 변에 대해 충족될 경우 유지된다.따라서 변 a, b, c와 일치하는 실수 h가 존재하며 삼각형이 존재한다.각 삼각 부등식이 엄밀하게 유지되면 h > 0이고 삼각형이 비퇴화(양수 면적을 가지며)하지만 부등식 중 하나가 동등하게 유지되면 h = 0이면 삼각형이 퇴화된다.

높은 차원으로의 일반화

사면체의 삼각형 면적은 다른 세 개의 삼각형 면적의 합보다 작거나 같다.보다 일반적으로, 유클리드 공간에서, n-단순의( $n$ - $1)-$ 패스의 하이퍼볼륨은 다른 $n개$ 의 패싯의 하이퍼볼륨의 합보다 작거나 같다.

삼각 부등식이 다각형 부등식으로 일반화되는 것처럼, 모든 차원의 심플렉스 부등식은 모든 차원의 폴리토프로 일반화된다: 폴리토프의 어떤 면의 하이퍼볼륨은 나머지 면의 하이퍼볼륨의 합보다 작거나 같다.

어떤 경우에는 사면체 부등식이 삼각형 부등식의 여러 응용 프로그램보다 더 강하다.예를 들어, 삼각형 부등식은 유클리드 공간에서 다음과 같은 거리들의 네 점 $A$ , $B$ , $C$ , $그리고$ Z의 가능성을 허용하는 것으로 보인다.

AB = BC = CA = 26

그리고.

AZ

=

BZ

=

CZ

=

14

.

그러나, 그러한 거리를 가진 점들은 존재할 수 없다: $26-26$ 등변 $삼각형$ ABC의 면적은 169 $⁄ 3$ 으로, 이것은 3 $곱하기 39º3$ 보다 크다, 26-14 등변 삼각형의 면적 (모두 헤론의 공식에 의해) 그래서 배열은 사면체 부등식에 의해 금지된다.

노름 벡터 공간

벡터의 규범에 대한 삼각 부등식입니다.

노름 벡터 $공간$ V에서 노름의 정의 특성 중 하나는 삼각 부등식이다.

\displaystyle \x+y\leq \x+\y\\quad \forall \,x,y\in V}

즉, 두 벡터의 합계의 노름은 기껏해야 두 벡터의 합계와 같다.이를 서브애드리티라고도 합니다.제안된 기능이 표준으로 동작하기 위해서는 이 ^[15]요건을 충족해야 한다.노름 공간이 유클리드이거나, 보다 일반적으로 볼록한 $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ x + y $+$ $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ + $y$ $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ y $=$ \ $x \$ x \ + \ $y$ \ $}$ 는 $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ x, $y$ , $y$ 가 같은 광선, 즉 x, y에 의해 $형성$ 된 삼각형이 축퇴하는 경우에만, 즉 $x$ 와 y가 같은 광선, i $=e$ 에 있는 $경우$ 이다.이 속성은 1 $< p$ < $> 1$ 의_p 공간 등 엄밀하게 볼록한 규범 공간을 특징으로 합니다.그러나 이것이 사실이 아닌 표준적인 공간이 있습니다.예를 들어, $θ 1$ 노름(맨하탄 거리)을 가진 평면을 고려하고 x = ( $1, 0)$ $및$ y = ( $0, 1$ )를 $나타낸다$ .그러면 x, $y$ , $x$ + $y$ 로 $이루어진$ 삼각형은 퇴화되지 않지만

\ displaystyle \ x + y \ = \ ( 1, 1) = 1 + 1 = 2 = \ x \ + \ y \ . }

규범 예시

실제 라인의 표준으로서의 절대값.표준이 되려면 삼각 부등식은 절대값이 모든 $실수$ $x$ 와 y를 만족해야 합니다. $(\displaystyle x+y \leq x + y , )$ 그렇긴 하지

실증:^[16]

(\displaystyle -\left\vert x\right\vert \leq \좌회전 x\right\vert }

\displaystyle -\left\vert y\right\vert y\leq \left\vert y\right\vert }

추가 후,

(\displaystyle - (\left\vert x\right\vert +\leq x+y\leq x\right\vert +\left\vert y\right\vert)

$b$ 는 x $\left\vert b\right\vert \leq a\Leftrightarrow -a\leq b\leq a$ y로 대체되고 $\left\vert b\right\vert \leq a\Leftrightarrow -a\leq b\leq a$ a는 x $+$ $y$ 로 $\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert$ 되며 a는 $\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert$ x $+$ $\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert$ 로 $대체$ 되며 a는 x $\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert$ y로 대체됩니다.\ $displaystyle x\vert +\left y$ \vert $\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert$ right y $\$ $leq$ a $}$ $\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert$ 는 다음과 $\left\vert b\right\vert \leq a\Leftrightarrow -a\leq b\leq a$ .

\displaystyle x+y \leq x + y }

삼각 부등식은 수학 분석에서 개별 숫자의 크기 측면에서 두 숫자의 합계에 대한 최상의 상위 추정치를 결정하는 데 유용합니다.

또한 더 낮은 추정치가 있는데, 이는 $임의$ 의 실수 $x$ 와 y에 대해 다음과 같이 기술하는 역삼각형 부등식을 사용하여 확인할 수 있다.

(*displaystyle x-y x-geq x - y )

내부 제품 공간에서 표준으로 사용되는 내부 제품.노름이 내부적(유클리드 공간의 경우와 마찬가지로)에서 발생하는 경우, 삼각형 부등식은 다음과 같이 코시-슈바르츠 부등식에서 나옵니다. 벡터 $x$ {\ $displaystyle$ x}와 $x$ y {\ $displaystyle$ y $y$ 가 주어진 경우, 내부적은 $\langle x,y\rangle$ x $,$ y, \ $displaystyle$ \ $langle$ x $,y\rangle$ $\langle x,y\rangle$ ^[17]로 표시됩니다.

${\displaystyle\x+y\^{2}}$	$=\displayle x+y,x+y\rangle$
	$=\x\^{2}+\rangle x,y\rangle +\rangle y,x\rangle +\y\{2}$
	$\displaystyle \leq \x\^{2}+2 \slandle x,y\rangle +\y\^{2}}$
	$\leq \\|x\\|^{2}+2\\|x\\|\\|y\\|+\\|y\\|^{2}$ $\leq \\|x\\|^{2}+2\\|x\\|\\|y\\|+\\|y\\|^{2}$ + 2 $x$ x $\leq \\|x\\|^{2}+2\\|x\\|\\|y\\|+\\|y\\|^{2}$ y $\leq \\|x\\|^{2}+2\\|x\\|\\|y\\|+\\|y\\|^{2}$ + $\leq \\|x\\|^{2}+2\\|x\\|\\|y\\|+\\|y\\|^{2}$ 2 \ display \ $leq \$ x \ $^{2}$ + \ $y \ ^{$ 2} $\leq \\|x\\|^{2}+2\\|x\\|\\|y\\|+\\|y\\|^{2}$ （ Cauchy - Schwarz 부등식에 의해)
	$=$ ( $=\left(\\|x\\|+\\|y\\|\right)^{2}$ x $=\left(\\|x\\|+\\|y\\|\right)^{2}$ x $=\left(\\|x\\|+\\|y\\|\right)^{2}$ x x $=\left(\\|x\\|+\\|y\\|\right)^{2}$ x x x $=\left(\\|x\\|+\\|y\\|\right)^{2}$ x x $=\left(\\|x\\|+\\|y\\|\right)^{2}$ x $=\left(\\|x\\|+\\|y\\|\right)^{2}$ x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x \ $right )$ 2 $=\left(\\|x\\|+\\|y\\|\right)^{2}$

코시-슈바르츠 부등식은 $x$ 와 y가 선형에 의존하는 $경우$ 에만 동등하게 변합니다.x, y $\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|$ + $\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|$ $\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|$ 2 $\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|$ x $\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|$ y $display$ { $\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|$ $style$ \ $langle$ x , $y$ \ $langle$ + \ $langle$ y , $x$ \ $langle 2$ $\ left$ \ $langle$ x , $y$ \ $right$ \ langle $\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|$ x $\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|$ , $y$ $style$ \ langle \ langle x , y style $x$ $y$ \ langle \ langle \ $right$ } 부등식으로 $.$ 다른.

최종 결과의 제곱근을 구하면 삼각 부등식이 됩니다.

p-norm: 일반적으로 사용되는 노름은 p-norm입니다. $\x\_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n} x_{i}^{p}\오른쪽)^{1/p}\,$ 여기서 $x$ 는_i $벡터$ x의 성분이다. p = $2$ 의 $경우$ p-노름은 유클리드 노름이 된다. $\ x\ _{2} =\left(\sum _ {i=1}^{n}\right)^{{i2}=\left(\sum _i=1}^{n}x_{2}\right)^{1/2}\,$ 피타고라스의 N차원 정리인데, 내적 규범에 해당하는 매우 특별한 경우입니다. $p-노름$ 은 p = $2$ 인 경우를 제외하고 평행사변형 법칙을 만족시키지 못하기 때문에 내적 표준이 아닙니다.p의 $일반$ 값에 대한 삼각 부등식을 민코프스키 [18]부등식이라고 합니다.다음과 같은 형태를 취합니다. $\displaystyle \x+y\_{p}\leq \x\_{p}+\y\_{p}\ .}$

미터법 공간

$미터법$ d를 갖는 $미터법$ 공간 M에서 삼각 부등식은 거리에 대한 요구 사항이다.

\displaystyle d(x,\z)\leq d(x,\y)+d(y,\z)\,}

$모든$ x, $y$ , $z$ $in$ M에 대해.즉, $x$ 에서 $z$ 까지의 거리는 $x$ 에서 $y$ 까지의 거리와 $y$ 에서 $z$ 까지의 거리의 합만큼 커야 합니다.

삼각 부등식은 미터법 공간에서 대부분의 흥미로운 구조, 즉 수렴에 책임이 있다.이는 메트릭에 대한 나머지 요구사항이 비교적 단순하기 때문입니다.예를 들어 삼각 부등식의 사실은 계량 공간에 수렴 시퀀스의 코오 시 순서는 직접적인 결과, 왜냐하면 만일 우리가 그리고 xm 어떤 xn을 선택하도록 d(xn, 음)<>ε/2과 d(xm, 음)<>ε/2,ε>0은 주어진 임의의(제한의 미터 법 공간의 정의에), 그때까지 그 삼각 부등식., d(xn, xm)≤ $d (x n, x)$ + $d (x m, x)$ < $θ$ /2 $+ θ$ /2= $θ$ 이므로 시퀀스 { $x n}$ 은 정의상 코시 시퀀스이다.

이 삼각 부등식의 버전은 d $(x,$ $y) ≔ x$ x - $y$ ,를 $통해$ 메트릭이 유도되고 x - $y$ 가 $y점$ 에서 $x점$ 까지의 벡터인 노름 벡터 공간의 경우 위의 버전으로 감소한다.

역삼각형 부등식

역삼각 부등식은 상한 대신 하한을 주는 삼각 부등식의 기본적인 결과이다.평면 형상의 경우 문장은 다음과 같습니다.^[19]

삼각형의 어떤 변도 다른 두 변의 차이보다 크거나 같다.

정규 벡터 공간의 경우, 다음과 같이 기술한다.

displaystyle (디스플레이 스타일) - y - y

또는 메트릭 공간의 $경우$ d $(y,$ $x)$ - $d (x, z$ ) $d$ d $(y, z$ )이다.즉, 표준 $‖({displaystyle \\cdot \})$ 및 거리 $d(x,\cdot )$ d $d(x,\cdot )$ )({ $displaystyle$ d $(x,\cdot)}$ 는 $\|\cdot \|$ $d(x,\cdot )$ Lipschitz $상수$ 1과 연속이므로 특히 균일하게 연속됨을 의미합니다.

역삼각형의 증명은 정삼각형의 부등식을 사용하며 $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ " $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ - $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ ( $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ - $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ )" $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ " $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ - $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ " $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ " x - $"$ = " x - y" $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ " x - y" = " x - y $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$ " x - y = { - $y$ - 1 ( x - y )\ $displaysty =$ { - 1 ( x - 1 ( x - y )\ displaysty )\ display sty \ = { - = { - = { - 1 \ } \ $display$ sty $=$ { - = {

\displaystyle \x\=\(x-y)+y\leq \x-y\+\y\\rightarrow \x\ -\y\\leq \x-y\,}

\ displaystyle \ y \ = \ ( y - x ) + \ x \ \ \ rightarrow \ x \ - \ y \ geq - \ x - y \ , }

이 두 문장을 조합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\displaystyle -\x-y\leq \leq \x-y\\rightarrow \x\-\y\leq \x-y\}

코사인 유사성에 대한 삼각형 부등식

호 길이에 대한 삼각 부등식과 역 삼각 부등식에 코사인 함수를 적용하고 코사인들에 대한 각도 덧셈과 뺄셈 공식을 사용함으로써, 즉시 다음과 같이 된다.

\displaystyle \operatorname {sim}(x,z)\geq \operatorname {sim}(x,y)\cdot \operatorname {sim}(y,z)-{\cdot rt {left(1-\operatorname {sim}(x,y)^2}\right)\cdot \left(1-(1-\operatorname {sim}(x,y}) {sim}(x, y, y)}}}

그리고.

{\displaystyle \operatorname {sim}(x,z)\leq \operatorname {sim}(x,y)\cdot \operatorname {sim}(y,z)+{\cdot \left(1-\operatorname {sim}(x,y)^2}\right)\cdot \left(1-(1-\operatorname {sim}(x,y}) {sim}(x, y, y)

이러한 공식에서는 검사된 각 $벡터$ 쌍 { $x,$ y}에 대해 $arccos(x,$ $y)$ 가 아니라 검사된 벡터 쌍 { $x, y$ , z $}$ 의 각 트리플에 대해 제곱근을 계산해야 하며, 검사된 트리플의 수가 검사된 쌍의 수보다 적을 때 성능 향상이 될 수 있습니다.

민코프스키 공간의 반전

민코프스키 공간 메트릭 $\eta _{\mu \nu }$ μ $\eta _{\mu \nu }$ （ \ $displaystyle$ \ $eta$ $_$ { \ $mu$ \ nu $\eta _{\mu \nu }$ } } $\|x\|^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ 2 $\|x\|^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ $\|x\|^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ $\|x\|^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ x $\|x\|^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ † { \ $displaystyle \ x$ \ ^ { } = \ $eta$ _ { \ $mu$ \ nu } $x$ { \ nu } } {\ nu $\|x\|^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ } } x x $\|x\|^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ 는 x {\ $nu$ } } 가 x {\ nu } } } or or or or x or or x or x or or or or or게다가 x와 y가 모두 미래의 광원뿔에 놓여 있는 시간 같은 벡터일 경우 삼각 부등식은 반전됩니다.

(\displaystyle\x+y\\geq\x+\y\.}

이 부등식의 물리적 예는 특수상대성이론의 쌍둥이 역설이다.두 벡터가 과거의 광원뿔에 있고 둘 중 하나 또는 둘 다 늘 벡터일 경우 부등식의 동일한 반전 형식이 유지됩니다.결과는 임의의 n 1 1에 대해 n + 1 차원으로 유지된다. x와 y로 정의되는 평면이 공간과 같다면(따라서 유클리드 부분 공간) 일반적인 삼각 부등식은 유지된다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

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레퍼런스

를 클릭합니다Pedoe, Daniel (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 0-486-65812-0..
를 클릭합니다Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X..

외부 링크

프루프위키의 삼각형 부등식

[1] Wolfram Math World – http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html

[Khamsi-2] Mohamed A. Khamsi; William A. Kirk (2001). "§1.4 The triangle inequality in $R n$ ". An introduction to metric spaces and fixed point theory. Wiley-IEEE. ISBN 0-471-41825-0.

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[Stillwell-17] John Stillwell (2005). The four pillars of geometry. Springer. p. 80. ISBN 0-387-25530-3.

[Saxe-18] Karen Saxe (2002). Beginning functional analysis. Springer. p. 61. ISBN 0-387-95224-1.

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최단 경로와의 관계

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