퀘이레강 다면체

4각형 숫자
오른쪽 삼각형 도메인(p q 2) = r{p,q}
r{4,3}	r{5,3}	r{6,3}	r{7,3}...	r{{{195,3}

(3.4)²	(3.5)²	(3.6)²	(3.7)²	(3.∞)²
Isosceles 삼각형 도메인(p p 3), = h{6,p}
h{6,4}	h{6,5}	h{6,6}	h{6,7}...	h{6,618}
=	=	=	=	=
(4.3)⁴	(5.3)⁵	(6.3)⁶	(7.3)⁷	(∞.3)^∞
Isosceles 삼각형 도메인(p p 4), = h{8,p}
h{8,3}	h{8,5}	h{8,6}	h{8,7}...	h{8,618}
=	=	=	=	=
(4.3)³	(4.5)⁵	(4.6)⁶	(4.7)⁷	(4.∞)^∞
스칼린 삼각형 도메인(5 4 3)

(3.5)⁴	(4.5)³	(3.4)⁵
4각형 다면체나 타일링은 각 꼭지점을 교대로 도는 정확히 두 종류의 보통 얼굴을 가지고 있다. 그들의 정점 수치는 등각 다각형이다.

정규 및 준정형 수치
직각 삼각형 도메인(pp2),))r{p,p}={p,4}.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄2
{3,4}_1⁄2 r{3,3}	{4,4}_1⁄2 r{4,4}	{5,4}_1⁄2 r{5,5}	{6,4}_1⁄2 r{6,6}...	{∞,4}_1⁄2 r{{{propert,properties}
=	=	=	=	=
(3.3)²	(4.4)²	(5.5)²	(6.6)²	(∞.∞)²
등각 삼각형 도메인(p p 3), = {p,6}_1⁄2
{3,6}_1⁄2	{4,6}_1⁄2	{5,6}_1⁄2	{6,6}_1⁄2...	{∞,6}_1⁄2
=	=	=	=	=
(3.3)³	(4.4)³	(5.5)³	(6.6)³	(∞.∞)³
등각 삼각형 도메인(p p 4), = {p,_1⁄28}
{3,8}_1⁄2	{4,8}_1⁄2	{5,8}_1⁄2	{6,8}_1⁄2...	{∞,8}_1⁄2
=	=	=	=	=
(3.3)⁴	(4.4)⁴	(5.5)⁴	(6.6)⁴	(∞.∞)⁴
일반 다면체나 타일링은 각 꼭지점 주위에 일정한 수의 얼굴이 있는 경우(따라서 번갈아 색칠된 얼굴을 가질 수 있다) 정사각형으로 간주할 수 있다.

기하학에서 퀘이레강 다면체는 정점마다 번갈아 가며 정확히 두 종류의 정면을 가진 균일한 다면체다. 그들은 정점-변환적이고, 따라서 단지 정점-변환일 뿐인 반정형보다 일반 다면체에 한 걸음 더 가깝다.

그들의 이중 형상은 얼굴-변환적이고 가장자리-변환적이다; 그들은 정확히 두 종류의 정점형상을 가지고 있는데, 이것은 각각의 얼굴을 번갈아 보여준다. 그들은 또한 때때로 정맥류로 여겨지기도 한다.

볼록한 콰시레구형 다면체만 있는데, 큐옥타헤드론과 이코시다데코헤드론이다. 케플러에 의해 붙여진 그들의 이름은 그들의 얼굴이 모두 이중 쌍면체(변형)와 팔면체(팔면체)의 얼굴(변형)이며, 첫 번째 경우에는 이중면체(dual-pair icosahedron)와 도면체(dodecheadron)의 얼굴이라는 것을 인식한 데서 유래한다.

일반 인물 쌍과 그 이중 형상을 나타내는 이러한 형태는 수직 Schléfli 기호 ${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ { ${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ ${\$ 또는 ${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ r{p,q}를 주어 이들의 얼굴이 정규 {p,q}와 이중 정규 {q,p}의 모든 얼굴(변형)임을 나타낼 수 있다. 이 기호가 있는 정점 다면체는 정점 구성 p.q.p.q(또는 (p.q)²를 갖는다.

보다 일반적으로, 정점 주위의 면의 r(2개 이상) 시퀀스를 나타내는 ^r정점 구성(p.q)을 가질 수 있다.

또한 평면의 기울기는 정점 구성(3.6)과 함께 특히 3헥각형 타일링으로 Quasiregular일 수 있다.² 3헥타곤 타일링(3.7)과 같은 쌍곡면에는 다른 퀘이콜라 기울기가 존재한다.² 또는 더 일반적으로: (p.q),² 1/p + 1/q < 1/2이다.

각 꼭지점에 일정한 수의 면이 있는 일반 다면체 및 틸팅도 (표면 방향을 정의하지 않고) 교대로 색칠하는 것처럼 서로 다르게 표현하여 동일한 순서의 면들을 구별하여 정사각형으로 간주할 수 있다. 슐래플리 기호가 {p,q}인 정규 수치는 q가 짝수인 경우 꼭지점 구성(p.p)^q/2이 있는 quasiregular로 간주할 수 있다.

예:

슐래플리 기호가 {3,4}이고 4가 짝수인 정규 팔면체는 사면체(사면체 4개의 삼각형 중 2세트)로서 정점 구성(3.^4/23) = (3_a_b.3)²으로 삼각형의 두 가지 색상을 번갈아 가며 4면체로서 정점으로 간주할 수 있다.

정점 구성 4와⁴ 4가 짝수인 정사각형 타일링은 정점 구성(^4/24.4) = (4.4_a_b)²을 체커보드로 색칠한 정점 구성으로 정점 구성(Quasiregular)으로 간주할 수 있다.

정점 구성 3과⁶ 6이 짝수인 삼각형 타일링은 정점 구성(3.^6/23) = (3_a_b.3)³과 삼각형 면의 두 가지 색상을 교대로 하여 정점 구성으로 간주할 수 있다.

와이토프 건설

발전기 지점이 기본 영역의 3개 모서리 중 한 곳에 있는 와이토프 건설에서 정규 (p 2 q)와 quasiregular polyhedra (2 p q)가 생성된다. 이것은 기본 영역 내의 단일 에지를 정의한다.

직각이 없는 슈바르츠 삼각형의 기본 영역의 세 모서리에서 모두 4각형 다면체(Quasiregular polyedra)가 생성된다.
q 2 p, p 2 q, 2 p q

Coxeter는 quasiregular 다면체를 p q r 형식에 Wythoff 기호가 있는 것으로 정의하며, q=2 또는 q=r일 경우 규칙적이다.^[1]

Coxeter-Dynkin 다이어그램은 두 개의 이중 정규 형태 사이의 quasiregular 관계를 보여주는 또 다른 상징적 표현이다.

슐레플리 기호		콕시터 다이어그램	와이토프 기호
${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}$	{p,q}		q2 p
${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}$	{q,p}		p 2 q
${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}$	r{p,q}	또는	2p q

볼록수 퀘이레강 다면체

2개의 균일한 볼록수 퀘이레규어 다면체가 있다.

큐보타헤드론 ${\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}$ { 3 ${\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}$ ${\$ 꼭지점 구성(3.4),² Coxeter-Dynkin 다이어그램
Icosidodecahedron ${\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}$ { ${\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}$ ${\$ 꼭지점 구성(3.5),² Coxeter-Dynkin 다이어그램

또한 정규적인 옥타헤드론도 대체 면에 다른 색상이 ${\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ 정점 구성(3.3) ${\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ 3 3 ${\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ ${\$ 정점 구성(3.3)을 쿼티레그럴로 간주할 수 있다.² 이 형태에서 그것은 때때로 4면체라고 알려져 있다. 나머지 볼록한 일반 다면체는 각 꼭지점에 홀수의 면이 있으므로 가장자리 전이성을 보존하는 방법으로 색칠할 수 없다. Coxeter-Dynkin 도표를 가지고 있다.

이들 각각은 일반 다면체의 이중 쌍의 공통 핵심을 형성한다. 이 중 두 개의 이름은 각각 큐브 $\cap$ $\cap$ 옥타헤드론과 $\cap$ 이코사헤드론 $\cap$ 도데카헤드론에 $\cap$ 대한 단서를 제공한다. 팔면체는 이중 한 쌍의 사면체(스텔라 옥탄굴라 알려진 화합물)의 공통 핵심이다. 이런 식으로 파생될 때 팔면체는 사면체 $\cap$ $\cap$ 사면체로서 $\cap$ 사면체라고도 한다.

정규	듀얼 레귤러	쿼이레겔러 공통 코어	정점수
사면체 {3,3} 3 2 3	사면체 {3,3} 3 2 3	사방면체 r{3,3} 2 3 3	3.3.3.3
큐브 {4,3} 3 2 4	팔면체 {3,4} 4 2 3	큐폭타헤드론 r{3,4} 2 3 4	3.4.3.4
도데카헤드론 {5,3} 3 2 5	이코사헤드론 {3,5} 5 2 3	이코시다데카헤드론 r{3,5} 2 3 5	3.5.3.5

이러한 각 정맥 다면체는 각 원래 가장자리가 중간점으로 축소될 때까지 정점을 완전히 자르는 정규 부모 중 하나에 대한 정류 연산에 의해 구성될 수 있다.

쿼시레겔러 틸팅

이 시퀀스는 삼각 타일링과 육각 타일링에 기초한 정점 그림(3.6)²으로 계속된다.

정규	듀얼 레귤러	쿼시레겔러 조합	정점수
육각 타일링 {6,3} 6 2 3	삼각 타일링 {3,6} 3 2 6	삼헥사각 타일링 r{6,3} 2 3 6	(3.6)²

체커보드 패턴은 사각 타일링, 꼭지점 그림(4.4):²

정규	듀얼 레귤러	쿼시레겔러 조합	정점수
{4,4} 4 2 4	{4,4} 4 2 4	r{4,4} 2 4 4	(4.4)²

삼각형 타일링은 각 꼭지점에 3개의 교차 삼각형이 있는 쿼시레겔(Quasiregular)으로도 간주할 수 있다(3.3).³

h{6,3} 3 3 3 =

쌍곡면에서는 이 시퀀스가 더 계속되는데, 예를 들어 삼각형 타일링, 정점 그림(3.7)² - 순서 7 삼각 타일링 및 헵탄 타일링에 기초한 퀘이심각 타일링이다.

정규	듀얼 레귤러	쿼시레겔러 조합	정점수
헵타곤 타일링 {7,3} 7 2 3	삼각 타일링 {3,7} 3 2 7	삼헥타곤 타일링 r{3,7} 2 3 7	(3.7)²

비콘벡스 예제

Coxeter, H.S.M. 외 연구진(1954)도 같은 특성을 가진 특정 항성 다면체를 quasiregular로 분류한다.

2는 볼록한 예와 같은 방식으로 정규 Kepler-Poinsot 고형물의 이중 쌍에 기초한다.

대 icosidodecahedron ${\begin{Bmatrix}3\\5/2\end{Bmatrix}}$ { 3 ${\begin{Bmatrix}3\\5/2\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}3\\5/2\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}5\\5/2\end{Bmatrix}}$ ${\$ \end ${$ Bmatrix}} ${\begin{Bmatrix}3\\5/2\end{Bmatrix}}$ 및 doddecadodecahedron ${\begin{Bmatrix}5\\5/2\end{Bmatrix}}$ { ${\begin{Bmatrix}5\\5/2\end{Bmatrix}}$ ${\displaysty$ }{ $begin}5\5/$ 2\ $end{bMatrix}}$ :

정규	듀얼 레귤러	쿼이레겔러 공통 코어	정점수
그레이트 스틸 도데카헤드론 {⁵/₂,3} 3 2 5/2	대이코사면체 {3,⁵/₂} 5/2 2 3	대이코시다데카헤드론 r{3,⁵/₂} 2 3 5/2	3.⁵/₂.3.⁵/₂
소절개도면체 {⁵/₂,5} 5 2 5/2	대두면체 {5,⁵/₂} 5/2 2 5	도데카데카헤드론 r{5,⁵/₂} 2 5 5/2	5.⁵/₂.5.⁵/₂

9개가 더 있는데, 이것은 일반 다면체의 교정에서 유래한 앞에서 언급한 정엽 다면체의 면면 형태다. 여기에는 다면체의 중심을 통과하는 적도면이 포함된다.

쿼시레구럴(수정)	사방면체	큐폭타헤드론	이코시다데카헤드론	대이코시다데카헤드론	도데카데카헤드론
퀘이레규어(혈구면체	테트라헤미헥사헤드론 ³/₂ 3 2	옥타헤미오크타헤드론 ³/₂ 3 3	소이코시헤미도데코헤드론 ³/₂ 3 5	대이코시헤미도데코헤드론 ³/₂ 3 ⁵/₃	작은 도데카헤미코사헤드론 ⁵/₃⁵/₂ 3
정점수	3.4.³/₂.4	3.6.³/₂.6	3.10.³/₂.10	3.¹⁰/₃.³/₂.¹⁰/₃	⁵/₂.6.⁵/₃.6
퀘이레규어(혈구면체		큐보헤미오크타헤드론 ⁴/₃ 4 3	소도데카헤미도데코헤드론 ⁵/₄ 5 5	대 도데카헤미도데코헤드론 ⁵/₃⁵/₂⁵/₃	도데카헤미코사헤드론 ⁵/₄ 5 3
정점수		4.6.⁴/₃.6	5.10.⁵/₄.10	⁵/₂.¹⁰/₃.⁵/₃.¹⁰/₃	5.6.⁵/₄.6

마지막으로 3개의 직각형식이 있는데, 정점형상은 두 얼굴형식의 세 가지 교대체를 포함한다.

이미지	면 형태 와이토프 기호 콕시터 다이어그램	정점수
	직교 도데코데카헤드론 3 5/3 5 또는	(5.5/3)³
	소형 이코시다데카헤드론 3 5/2 3 또는	(3.5/2)³
	대직류 이코시다데카헤드론 3/2 3 5 또는	((3.5)³)/2

유클리드 평면에서 혈류면체의 순서는 다음과 같은 네 개의 별 기울기로 계속되는데, 여기서 페이로곤은 앞서 말한 적도 다곤으로 나타난다.

오리지 수정한 타일링	꼭지점 구성	와이토프	대칭군
사각형 타일링	4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 ∞	p4m
삼각형 타일링	(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 3 ∞	p6m
삼색각형 타일링	6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 ∞
삼색각형 타일링	∞.3.∞.3/2 ∞.3.∞.-3	3/2 3 ∞

퀘이레겔러 듀얼

일부 당국은 쿼시레겔러 고형물의 듀얼이 동일한 대칭을 공유하기 때문에 이러한 듀얼도 쿼시레겔러라고 불러야 한다고 주장한다. 그러나 모든 사람이 이 용어를 사용하는 것은 아니다. 이 이중은 가장자리와 면(정점에는 없지만)에서 전이적이다. 가장자리에는 카탈로니아 고형물이 있다. 볼록한 것은 위와 같은 순서에 따른다.

롬빅 도데카헤드론(Rhombic dodecheadron)은 두 가지 정점이 번갈아 나타나며, 8개는 롬빅 면 3개가 있고, 6개는 롬빅 면 4개가 있다.
정점 2종류의 교대로 이루어진 롬빅 삼정면, 3종류의 롬빅 면 20종, 5종류의 롬빅 면 12종이다.

또한 팔면체와의 이중성에 의해 대체 정점이 다른 색을 부여하면 보통 규칙적인 정육면체도 정사각형으로 만들 수 있다.

얼굴 구성은 V3.n.3.n 및 Coxeter-Dynkin 다이어그램 형식이다.


큐브 V(3.3)²	롬빅 도데카헤드론 V(3.4)²	롬빅 삼권면체 V(3.5)²	롬빌 타일링 V(3.6)²	V(3.7)²	V(3.8)²

이 세 가지 quasiregular 이중은 또한 rhombic 면으로 특징지어진다.

이 롬비 표면 패턴은 ²롬빌 타일링인 V(3.6)로 계속된다.

quasiregular polytopes and honeycombs

더 높은 치수에서, Coxeter는 정규 면과 정점 형상을 갖도록 Quasiregular polytope 또는 벌집합을 정의했다. 모든 꼭지점 수치는 일치하며 두 종류의 면이 있는데, 이는 교대로 나타난다.^[2]

유클리드 4-공간에서 정규 16-셀은 교번형 테세락트, h{4,3,3}, 콕시터 다이어그램: = , 4면체 세포와 4면체 세포로 구성된 quasiregular로도 볼 수 있다. 그것의 꼭지점은 사면체 대칭이 있는 팔면체(八面體)이다.

유클리드 3-공간에서 유일한 준입방형 벌집형 벌집형(Quasiregular honeycomb), h{4,3,4}, Coxeter 다이어그램: = , 4면체와 8면체 세포로 구성되어 있다. 그것의 꼭지점 모양은 정사각형 큐빅헤드론이다.^[2]

쌍곡선 3-공간에서 하나의 quasiregular 꿀콤은 교번 순서-5입방 벌집, h{4,3,5}, Coxeter 다이어그램: = , 사면체와 고면체 세포로 구성되어 있다. 그것의 정점 수치는 정점 모양인 quasiregular icosidodechadron, . 관련 파라콤팩트 교대 순서-6입방 벌집, h{4,3,6}는 정점 모양인 quasifular 3hexangular tiling, . .

Quasiregular polychora 및 honeycombs: h{4,p,q}
공간	유한한	아핀	작은	파라콤팩트
슐레플리 심볼	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
슐레플리 심볼	$\왼쪽\{3,{3\op 3}\오른쪽\}}$	$\왼쪽\{3,{4\atop 3}\오른쪽\}}$	$\왼쪽\{3,{5\atop 3}\오른쪽\}}$	$\왼쪽\{3,{6\atop 3}\오른쪽\}}$	$\좌측\{4,{4 \atop 3}\우측\}}$	$\왼쪽\{4,{4\op 4}\오른쪽\}}$
콕시터 도표를 만들다	↔	↔	↔	↔	↔	↔
콕시터 도표를 만들다	↔					↔
이미지
꼭지점 형상을 나타내다 r{p,3}

{p,3,4} 형식의 일반 폴리초라 또는 허니콤은 대칭이 쿼티레구럴 형태로 반으로 잘라서 다른 색상의 {p,3}개의 셀을 만들 수 있다. 입방세포가 있는 유클리드 큐빅 벌집 {4,3,4}과(와)면체세포가 있는 콤팩트 쌍곡선 {5,3,4}, 무한 육각형 타일링세포가 있는 파라콤팩트 {6,3,4} 등이 이에 해당한다. 그들은 각 가장자리 둘레에 4개의 셀을 가지고 있고, 2가지 색으로 교대로 있다. 그들의 꼭지점 수치는 정맥류 테트라트라헤드라, = 입니다.

일반적인 정점 수치는 정점 8면체(일반적인 8면체)와 같은 4면체(Quasiregular tetratrahedron)이다.

정규 및 Quasiregular 허니컴: {p,3,4} 및 {p,3^1,1}
공간	유클리드 4-공간	유클리드 3-공간	쌍곡선 3-공간
이름	{3,3,4} {3,3^1,1} = $\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$ { $\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$ , $\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$ $\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$ ${\$ 3 $}\right\}}}}$	{4,3,4} {4,3^1,1} = $\left\{4,{3 \atop 3}\right\}$ { $\left\{4,{3 \atop 3}\right\}$ , $\left\{4,{3 \atop 3}\right\}$ $\left\{4,{3 \atop 3}\right\}$ ${\$ 3 $}\right\}}}$	{5,3,4} {5,3^1,1} = $\left\{5,{3 \atop 3}\right\}$ { $\left\{5,{3 \atop 3}\right\}$ , $\left\{5,{3 \atop 3}\right\}$ $\left\{5,{3 \atop 3}\right\}$ ${\$ 3 $}\right\}}}}$	{6,3,4} {6,3^1,1} = $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$ { $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$ , $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$ $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$ $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$ ${\$ 3 $}\right\}}}$
콕시터 도표를 만들다	=	=	=	=
이미지
세포 {p,3}

마찬가지로 {p,3,6} 형태의 일반 쌍곡선 허니콤이나 그 대칭이 quasiregular 형태로 반으로 잘라서 다른 색상의 {p,3}개의 세포를 만들 수 있다. 그들은 각 가장자리 둘레에 6개의 셀을 가지고 있으며, 2가지 색으로 교대로 있다. 그들의 정점 수치는 삼각형 기울기 입니다.

일반적인 정점 수치는 4각 삼각 타일링, =

쌍곡선 균일 벌집: {p,3,6} 및 {p,3^[3]}
v
t
형태	파라콤팩트				비컴팩트
이름	{3,3,6} {3,3^[3]}	{4,3,6} {4,3^[3]}	{5,3,6} {5,3^[3]}	{6,3,6} {6,3^[3]}	{7,3,6} {7,3^[3]}	{8,3,6} {8,3^[3]}	... {∞,3,6} {∞,3^[3]}

이미지
세포	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

참고 항목

메모들

^ H.S.M., M.S., Miller, J.C.P., Longuet-Higgins, M.S., Miller. 균일한 폴리헤드라, 런던 왕립학회 철학거래 (1954년), 페이지 401–450 (제7장, 정규 및 준정형 폴리헤드라 p q r)
^ ^a ^b Coxeter, 일반 폴리토페스, 4.7 기타 허니컴. 페이지 69, 페이지 88

참조

Cromwell, P. P. P. Polyedra, Cambridge University Press (1977년)
Coxeter, 일반 폴리토페스, (3판, 1973), Dover 에디션, ISBN0-486-61480-8, 2.3 준정규격 다면체(p. 17), 준정규격 꿀벌 p.69

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Quasiregular polyhedron". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Uniform polyhedron". MathWorld. 준정규 다면체: (p.q)^r
조지 하트, 퀘이레구아 다면체

[1] H.S.M., M.S., Miller, J.C.P., Longuet-Higgins, M.S., Miller. 균일한 폴리헤드라, 런던 왕립학회 철학거래 (1954년), 페이지 401–450 (제7장, 정규 및 준정형 폴리헤드라 p q r)

[regpol-2] Coxeter, 일반 폴리토페스, 4.7 기타 허니컴. 페이지 69, 페이지 88

[1]

[2]

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