최대화 조치

수학 - 특히, 에고다이즘 이론에서 - 최대화 측정은 특정한 종류의 확률 측정이다.비공식적으로 확률 측정 μ는 μ에 대한 f의 적분이 "가능한 한 큰" 경우 일부 함수 f에 대한 최대 측정값이다.대책의 최대화 이론은 비교적 어리고 그 일반적인 구조와 속성에 대해서는 알려진 바가 거의 없다.

정의

X를 위상학적 공간으로 하고 T : X → X를 연속함수로 한다.Let Inv(T)는 모든 Borel 측정 가능한 부분 집합 A의 X, μ(T⁻¹(A) = μ(A)의 모든 Borel 확률 측정값을 나타낸다.(크릴로프-보골류보프 정리에서는 X가 콤팩트하고 메트리저블이라면 Inv(T)는 비어 있지 않다는 점에 유의한다.)연속함수 f : X → R의 경우 최대 적분함수 β를 정의한다.

$[\displaystyle \cHB(f):=\supp \왼쪽.\left\{\int _{X}f\,\mathrm {d} \nu \right \nu \in \mathrm {Inv}(T)\right\}.}$

Inv(T)의 확률 측정 μ는 f에 대한 최대치라고 한다.

${\displaystyle \int _{X}f\,\mathrm {d} \mu =\beta (f).}$

특성.

• X가 콤팩트한 공간이라면, 조치의 약한 수렴의 위상에 관해서도 Inv(T)가 콤팩트하다는 것을 알 수 있다.따라서 이 경우, 각 연속함수 f : X → R에는 최소한 하나의 최대화 측정치가 있다.
• T가 콤팩트한 미터법 공간 X의 연속적인 지도이고 E가 C(X; R)에 밀도 있고 연속적으로 내장된 위상학적 벡터 공간이라면, E의 모든 f의 집합은 E의 개방된 밀도 하위 집합의 계수 가능한 교차점과 동일하다.

참조

• Morris, Ian (2006). Topics in Thermodynamic Formalism: Random Equilibrium States and Ergodic Optimisation (PostScript). University of Manchester, UK: Ph.D. thesis. Retrieved 2008-07-05.^{[영구적 데드링크]}
• Jenkinson, Oliver (2006). "Ergodic optimization". Discrete and Continuous Dynamical Systems. 15 (1): 197–224. doi:10.3934/dcds.2006.15.197. ISSN 1078-0947. 미스터2191393