허수단위

허수 단위 또는 단위 허수 ( $i$ )는 2차 방정식 $x$ + 1 = 0의 해입니다 $.$ 이 성질을 가진 실수는 없지만, 덧셈과 곱셈을 사용하여 실수를 복소수라고 불리는 것으로 확장하는 데 $사용$ 할 수 있습니다. 복소수에서 $i$ 가 사용되는 간단한 예로는 $2$ + $3i$ 가 있습니다 $.$

허수는 중요한 수학적 개념입니다. 이들은 실수계 $\mathbb {R}$ ${\$ 을 모든 비정수 다항식에 대해 적어도 하나의 근이 존재하는 $\mathbb {C} ,$ $\mathbb {C} ,$ C $\mathbb {C} ,$ $\mathbb {C$ 로 $\mathbb {R}$ 확장합니다(대수학적 폐쇄 및 대수학의 기본 정리 참조). 여기서 음의 제곱을 갖는 실수가 없기 때문에 "상상"이라는 용어를 사용합니다.

0을 제외한 모든 실수의 복소수 제곱근이 두 개 있는 것처럼, $-1$ 의 복소수 제곱근은 두 개가 있습니다 $:$ $i$ 와 $-i$ .

$i$ 라는 글자의 사용이 모호하거나 문제가 있는 상황에서는 $j$ 라는 글자를 대신 사용하기도 합니다. 예를 들어, 전기 공학 및 제어 시스템 공학에서 $가상$ 단위는 일반적으로 전류를 나타내는 데 i가 사용되기 때문에 i $대신$ j로 표시됩니다.^[1]

용어.

음수의 제곱근은 초기-현대 수학에서는 물리적 측정이나 기본적인 산술로 얻을 수 있는 현재의 실수라고 불리는 것만 허수라고 불립니다. 심지어 음수도 회의론자로 취급되어 이전에는 음수의 제곱근이 정의되지 않거나 무의미한 것으로 간주되었습니다. 허수라는 이름은 일반적으로 르네 데카르트의 것으로 여겨지며, 아이작 뉴턴은 일찍이 1670년에 이 용어를 사용했습니다.^[2]^[3] $i$ 표기법은 레온하르트 오일러에 의해 도입되었습니다.^[4]

단위는 분할되지 않은 전체이며, 통일성 또는 단위 번호가 1번( $1$ )입니다.

정의.

$i$ 의 거듭제곱들 순환형:
$\ \vdots$
$\ i^{-4}={\phantom {-}}1{\phantom {i}$
$\ i^{-3}={\phantom {-}i{\phantom {1}$
$\ i^{-2}=-1{\phantom {i}$
$\ i^{-1}=-i{\phantom {1}$
$\ \ i^{0}\ ={\ phantom {-}}1{\ phantom {i}$
$\ \ i^{1}\ ={\ phantom {-}i{\ phantom {1}$
$\ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}$
$\ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}$
$\ \ i^{4}\ ={\ phantom {-}}1{\ phantom {i}$
$\ \ i^{5}\ ={\ phantom {-}i{\ phantom {1}$
$\ \ i^{6}\ =-1{\phantom {i}$
$\ \ i^{7}\ =-i{\phantom {1}$
$\ \vdots$

허수 단위 $i$ 는 오직 그것의 제곱이 -1이라는 성질에 의해서만 정의됩니다.

i^{2}=-1.

$이런$ 식으로 정의하면, 대수학에서는 $i$ 와 $-i$ 가 둘 다 -1의 제곱근이라는 것을 직접적으로 알 수 있습니다.

비록 그 구성을 "상상적"이라고 하고, 허수의 개념이 실수의 개념보다 직관적으로 파악하기 어려울 수 있지만, 수학적인 관점에서 그 구성은 타당합니다. 실수 연산은 표현식을 $조작$ 하는 동안 i를 미지수로 취급함으로써 허수와 복소수로 확장될 수 있습니다(그리고 정의를 $사용$ 하여² i의 $발생$ 을 -1로 대체함). $따라서$ i의 더 높은 적분 거듭제곱은

{\begin{alignedat}{3}i^{3}&=i^{2}i&&=(-1)i&&=-i,\\[3mu]i^{4}&=i^{3}i&&=\;\!(-i)i&&=\ \,1,\\[3mu]i^{5}&=i^{4}i&&=\ \,(1)i&&=\ \ i,\end{alignedat}}

다음으로,

네

개의 값 1,

i

,

-1

,

-i

를 순환합니다. 0이 아닌 실수와

마찬가지

로 i = 1

.

복소수로서 $i$ 는 실수 성분이 0이고 단위 허수 성분이 있는 $0+1i$ 로 직사각형 형태로 나타낼 수 있습니다. 극 형태에서 $i$ 는 절대값(또는 크기)이 1이고 인수(또는 각도)가 ${\tfrac {\pi }{2}}$ π 2 ${\tfrac {\pi$ }{2}} 라디안으로 $1$ × $e$ (또는 그냥 $e$ )로 표현될 수 있습니다. (이 각도에 2 π의 $정수배$ 를 추가하는 것도 효과가 있습니다.) 데카르트 평면의 특별한 해석인 복소평면에서 $i$ 는 원점에서 (실제 축과 직교하는) 가상축을 따라 한 단위 떨어진 점입니다.

i 대 -i

정의 방정식 $x$ = $-1$ 은 복수의 근이 없는 2차 다항식으로 동일하게 유효하고 서로의 덧셈과 곱셈의 역이 되는 두 개의 다른 해를 갖습니다. 두 개의 해는 서로 다른 수이지만, 그 성질은 구별할 수 없습니다. 하나는 다른 하나는 그렇지 않은 성질을 가지고 있지 않습니다. 이 두 솔루션 중 하나는 + $i$ (또는 $단순히$ i)로 표시되고 다른 하나는 $-i$ 로 표시되지만 본질적으로 모호합니다.

$+ i$ 와 $-i$ 의 유일한 차이점은 이 라벨링에서 발생합니다. 예를 들어 관례에 따라 + $i$ 는 $+{\tfrac {\pi }{2}}$ + $+{\tfrac {\pi }{2}}$ π 2 ${\displaystyle +{\tfrac {\pi$ }{ $2$ }}의 인수를 가지고, -i는 - $-{\tfrac {\pi }{2}},$ π 2 $, {\displaystyle$ - ${\$ tfrac {\pi }{2 $-{\tfrac {\pi }{2}},$ 의 인수를 가지고 있다고 합니다. $}$ 양의 각도가 양의 y축 방향으로 반시계 방향으로 회전하는 양의 x축에 대한 데카르트 평면의 라벨링 방향의 관례와 관련이 있습니다 $-{\tfrac {\pi }{2}},$ . 그들과 함께 쓰여진 부호에도 불구하고, + $i$ 나 $-i$ 는 실수라는 의미에서 본질적으로 양수나 음수가 아닙니다.^[5]

$+ i$ 와 $-i$ 의 구별 불가능성에 대한 더 공식적인 표현은 복소수 필드가 동형까지 유일하지만, 고유 동형까지는 유일하지 않다는 것입니다. 즉, 복소수 $\mathbb {C}$ ${\$ 의 $\mathbb {C}$ 두 개의 필드 오토모피즘, 즉 항등식과 복소 켤레가 고정되어 있습니다. 이 일반적인 현상에 대한 자세한 내용은 Galois 그룹을 참조하십시오.

행렬

행렬과 행렬 곱의 개념을 사용하여 복소수를 선형 대수로 나타낼 수 있습니다. 실수 단위 $1$ 과 허수 단위 $i$ 는 $I$ = $I,$ $IJ$ = $JI$ = J $,$ $J$ = $-I$ 를 만족하는 임의의 행렬 $I$ 과 $J$ 로 표현될 수 있습니다 $.$ 그러면 복소수 $a$ + $bi$ 는 행렬 $aI$ + $bJ$ 로 표현될 수 있고 $,$ 모든 복소수의 일반적인 규칙들은 행렬 산술의 규칙들로부터 유도될 수 있습니다.

가장 일반적인 선택은 $1$ 과 $i$ 를 $2\times2$ 항등 행렬 $I$ 과 행렬 $J$ 로 표현하는 것입니다.

I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.

그러면 임의의 복소수 $a$ + $bi$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.

더 일반적으로, $J$ 에 대해 0의 흔적과 $-I$ 에 대한 1제곱 행렬식을 갖는 실수 값 $2$ × 2 $행렬$ 을 선택할 수 있습니다. $더$ 큰 행렬도 사용할 수 $있는데$ , 예를 들어 1은 4 × $4$ 항등 행렬로 표현할 수 있고 $i$ 는 공간 차원의 디랙 행렬로 표현할 수 있습니다.

$X$ 의² 근 + 1

다항식(변수의 거듭제곱의 가중치 합)은 대수학의 기본 도구입니다. 계수가 실수인 다항식은 $\mathbb {R} [X],$ [ $\mathbb {R} [X],$ $\mathbb {R} [X],$ 덧셈과 곱셈이 있고 정수의 고리와 많은 특성을 공유하는 대수 $\mathbb {R} [X],$ 구조를 나타냅니다.

다항식 $X^{2}+1$ $X^{2}+1$ + 1 ${\displaystyle$ $X$ $^{2}+1}$ 은 실수 근이 없지만, $X^{2}+1$ $X^{2}+1$ + $X^{2}+1$ ${\displaystyle$ X $^{2}+1}$ 로 나누는 모든 실수 계수 다항식의 집합은 이상을 이루며, $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle .$ 몫환 R $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle .$ [ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle .$ / ⟨ $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle .$ X $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle .$ 2 $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle .$ + 1 ⟩가 있습니다. ${\displaystyle \mathbb$ {R $}$ $[X]/\langle$ X^{2}+1\rangle. $}$ 이 $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle .$ 몫환은 복소수와 동형이며 변수 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 는 허수 단위를 표현합니다 $X$ .

그래픽 표현

복소수는 실수선을 가로축으로 그리고 허수를 복소평면이라고 부르는 데카르트 평면의 세로축으로 그려서 그래프로 나타낼 수 있습니다. 이 표현에서 숫자 $1$ 과 $i$ 는 $0$ 에서 같은 거리에 있으며, 그 사이에 직각입니다. 복소수에 의한 덧셈은 평면에서의 번역에 해당하는 반면, 단위 크기의 복소수에 의한 곱셈은 원점에 대한 회전에 해당합니다. 평면의 모든 유사도 변환은 복소 선형 $z\mapsto az+b.$ z ↦ $z\mapsto az+b.$ z + $b$ 로 나타낼 수 있습니다. ${\displaystyle$ z $\maps$ to az+b.}

기하대수학

유클리드 평면의 기하 대수학에서 임의의 벡터 두 개의 기하 곱 또는 몫은 스칼라(실수) 부분과 쌍벡터 부분의 합입니다. (스칼라는 방향성이 없는 양, 벡터는 선처럼 방향성이 있는 양, 쌍벡터는 평면처럼 방향성이 있는 양입니다.) 벡터의 제곱은 길이 제곱을 나타내는 양의 스칼라인 반면, 양의 벡터의 제곱은 음의 스칼라입니다.

벡터 자체의 몫은 스칼라 1 = $u$ /u이고 벡터에 곱하면 변하지 않습니다(동일성 변환). 동일한 크기의 두 수직 벡터의 몫 $J$ = $u$ / $v$ 이며, 곱하면 1/4이 배당으로 바뀌는 Jv = u는 -1로 제곱하는 단위 이벡터이므로 가상 단위의 대표로 간주할 수 있습니다. 스칼라와 쌍벡터의 임의의 합은 벡터에 곱하여 축척하고 회전할 수 있으며, 그러한 합의 대수는 복소수의 대수와 동형입니다. 이 해석 점에서 스칼라와 쌍벡터의 벡터와 합은 모두 별개의 기하학적 개체 유형입니다.^[6]

더 일반적으로, 고차원 유클리드 공간의 기하 대수에서 임의의 평면 방향 제곱의 단위 쌍대 벡터는 $-1$ 이므로 가상 단위 $i$ 를 나타내는 것으로 간주될 수 있습니다.

적정사용

가상의 단위는 ${\textstyle {\sqrt {-1}},}$ 으로 ${\textstyle {\sqrt {-1}},}$ 1 $,$ {\ $textstyle$ {\ $sqrt$ {- $1}}$ 로 쓰여졌으며 ${\textstyle {\sqrt {-1}},}$ , 아직도 일부 현대 작품에 남아 있습니다 ${\textstyle {\sqrt {-1}},}$ 그러나 라디칼이 포함된 공식을 조작할 때는 주의가 필요합니다. ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ 부호 표기 x ${\$ $textstyle$ ${\sqrt {x}}$ 은 실수 x ≥ 0에 $대해서$ 만 정의된 주 제곱근 함수 또는 복소 제곱근 함수의 주 분기에 대해 예약됩니다. 복잡한 제곱근 함수의 주 분기를 조작하기 위해 주(실제) 제곱근 함수의 계산 규칙을 적용하려고 하면 잘못된 결과를 얻을 수 있습니다.^[7]

-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\mathrel {\stackrel {\mathrm {fallacy}}{=} {\textstyle {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1\qquad {\text{(incorrect)}}

Generally, the calculation rules ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot \!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}}$ and ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}{\big /}\!$ ${\sqrt {y{\vphantom {ty$ }}} $=$ {\ $sqrt {x/y}}$ 는 $x$ 와 $y$ 의 실제 양의 값에 대해서만 유효함이 보장됩니다.

$x$ 또는 $y$ 가 실제이지만 음수일 때 ${\textstyle {\sqrt {-7}}}$ ${\$ 이 ${\textstyle i{\sqrt {7}}}$ 아닌 ${\textstyle i{\sqrt {7}}}$ 7 ${\$ i ${\sqrt {7}}$ 와 같은 표현을 쓰고 조작하면 이러한 문제를 피할 수 있습니다 ${\textstyle {\sqrt {-7}}}$ 더 자세한 논의는 제곱근 및 분기점을 참조하십시오.

특성.

복소수로서 허수 단위는 복소수의 모든 규칙을 따릅니다.

허수와 허수

허수 단위를 반복적으로 더하거나 뺄 때, 그 결과는 허수 단위의 몇 배의 정수, 즉 허수의 정수가 됩니다. 그러한 숫자는 모두 더해질 수 있고, 그 결과도 허수의 정수입니다.

ai+bi=(a+b)i.

따라서, 허수 단위는 덧셈 중인 군, 구체적으로 무한 순환 군의 생성기입니다.

허수 단위는 임의의 실수에 임의의 실수를 곱하여 허수를 형성할 수도 있습니다. 이 숫자들은 숫자선, 즉 허수축 위에 그려질 수 있는데, 허수축은 복소평면의 일부로서 일반적으로 수직 방향으로 그려지며, 수평으로 그려지는 실제 축에 수직으로 그려집니다.

가우스 정수

실수 단위 $1$ 과 허수 단위 $i$ 의 정수 합은 가우시안 정수라고 불리는 복잡한 평면에서 정사각형 격자를 형성합니다. 가우스 정수의 합, 차 또는 곱도 가우스 정수입니다.

{\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{align}}

4분의 1회전

허수 단위 $i$ 를 곱하면 복소 평면의 임의의 복소수가 1/4회전(12 ${\tfrac {1}{2}}\pi$ π {\ $displaystyle {\tfrac {1}{$ 2}}\pi} $라디안$ 또는 90°)으로 회전합니다. 시계 반대의 $-i$ 를 곱하면 임의의 복소수는 시계 방향으로 1/4회전합니다. 극 형식:

i\,re^{\varphi}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi}=re^{(\varphi -\pi /2)i}

직사각형 형태로.

i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.

정수 거듭제곱

$i$ 의 거듭제곱은 다음과 같은 패턴으로 표현 가능한 사이클로 반복되며, $여기$ 서 n은 임의의 정수입니다.

i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.

따라서, 곱셈 하에서 $i$ 는 곱셈 하에서 단위 복소수의 연속 원군의 이산 부분군인 차수 4의 순환 군의 생성자입니다.

정수 $n$ 에 대한 오일러 공식의 특별한 경우로 쓰입니다.

i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.

분기 절단 및 주값을 신중하게 선택하기 위해 $이$ 마지막 방정식은 n = $i$ 와 같은 경우를 포함하여 $n$ 의 임의의 복소수 값에도 적용됩니다.

뿌리.

0이 아닌 모든 복소수들과 ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$ 로, ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$ = ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$ e π i / 2 {\textstyle i = e^{\pi i/2}는 두 개의 뚜렷한 제곱근을 가지며, 이는 덧셈적인 역이다. 극과 극 형태로, 그들은

{\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignat}}

직사각형 형태로, 그것들은^[a]

{\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&=\ (1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-(1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignat}}

둘 중 하나의 식을 제곱하면 산출량이 줄어듭니다.

\left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.

$i$ 의 세제곱근은^[13]

{\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.

일반적인 양의 정수 $n$ 에 대하여, $i$ 의 n번째 근은 $k$ = 0, 1, $..., n$ - $1,$

\exp \left(2\pii {\frac {k+{\frac {1}{4}}{n}}\right)=\cos \left ({\frac {4k+1}{2n}\pi \right)+i\sin \left ({\frac {4k+1}{2n}\pi \right)

k

=

0

과 관련된 값은

i

의 주 n번째 루트입니다. 근들의 집합은

i

의 주 n번째 근에 의해 회전된 대응하는 근들의 집합과 같습니다. 이것들은 복소 단위 원 안에 내접하는 정다각형의 꼭짓점들입니다.

지수 및 로그

복소 지수 함수는 도메인의 복소 덧셈과 코드 도메인의 복소 곱셈을 연관시킵니다. 도메인의 실수 값은 1이 $e$ 의 곱을 나타내는 코도메인( $실제$ 스칼라의 곱)의 스케일링을 나타내고, 도메인의 허수 값은 i가 1 라디안의 $회전$ 을 $나타내는$ 코도메인(단위 복소수의 곱)의 회전을 나타냅니다. 따라서 복소 지수는 가상 방향의 주기 함수이며, 모든 정수 k에 $대해$ 2k π $i$ 지점에서 주기 2 πi와 이미지 1이 있으며, 이는 가상 정수 격자의 실수 배수입니다.

복소 지수는 짝수 성분과 홀수 성분, 쌍곡 함수 $cosh$ 와 $sinh$ 또는 삼각 함수 $cos$ 와 $sin$ 으로 나눌 수 있습니다.

\exp z=\cosh z+\sinh z=\cos (-iz)+i\sin (-iz)

오일러 공식은 회전을 나타내는 허수의 지수를 분해합니다.

\expi\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .

몫 $coth$ $z$ = $cosh$ z/ $sinh$ $z$ 는 적절한 스케일링을통해 무한 부분 분수 분해로 표현할 수 있으며, 가상 정수로 변환된 역함수의 합입니다.

\pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty}\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}

복소 지수를 기반으로 하는 다른 함수는 가상 입력으로 잘 정의되어 있습니다. 예를 들어, $ni$ 거듭제곱으로 증가된 숫자는 다음과 같습니다.

x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x)

지수는 주기적이기 때문에 복소수 로그의 역수는 다중 값 함수이며, 도메인의 각 복소수는 코도메인의 여러 값에 해당하며, 서로 $2$ πi의 정수배로 분리됩니다. 단일 값 함수를 얻는 한 가지 방법은 $2$ πi의 정수배로 분리된 복소수 값을 동일한 값으로 처리하는 코도메인을 실린더로 처리하는 것입니다. 다른 방법은 도메인을 음의 실수 축을 따라 연결된 복소 평면의 여러 복사본으로 구성된 리만 표면으로 간주하는 것입니다. 정의역의 각 가지가 코드 정의역의 하나의 무한 띠에 대응하는 경우.^[15] 따라서 복소 로그에 따른 함수는 명확하게 정의하고 평가하기 위해 분기를 신중하게 선택해야 합니다.

예를 들어, $\ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i$ ⁡ i = $12$ π i {\ $displaystyle$ \ln i={\tfrac {1}{2}\pii}인 임의의 가지를 선택한 다음 x가 양의 실수일 때,

{\displaystyle \log_{i}x=-{\frac {2i\lnx}{\pi}}.

요인

가상 단위 $i$ 의 계승은 $1$ + $i$ 에서 평가된 감마 함수에 따라 가장 많이 주어집니다.^[16]

i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.4980-0.1549\,i.

이 숫자의 크기와 인수는 다음과 같습니다.^[17]

\Gamma (1+i) ={\sqrt {\frac {\pi}}{\sinh \pi}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.

참고 항목

쌍곡 단위

메모들

^ 이러한 숫자를 찾기 위해서는 $(x$ + $iy)$ = $i$ (여기서 x와 y는 결정해야 할 실제 매개변수) 또는 이와 동등하게 x + 2ixy - y = $i$ 의 식을 풀 수 있습니다 $.$ 실수부와 허수부는 항상 분리되어 있기 때문에 $x$ - $y$ + $2ixy$ = 0 + i라는 항을 다시 모읍니다. 계수를 동일시하여 실수부와 허수부를 분리함으로써 우리는 다음과 같은 두 방정식 체계를 갖게 됩니다. ${\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\[3mu]2xy&=1.\end{align}}$ Substituting ${\textstyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}}$ into the first equation, we get ${\textstyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0}$ ${\textstyle \implies 4x^{4}=1.}$ Because $x$ is a real number, this equation has two real solutions for $x$ $x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}$ 그리고 $x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ = $x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ - $12$ {\displaystyle x =-{\tfrac { $1$ }{\sqrt {2}}}. 이 두 결과를 차례로 2xy = 1 식에 대입하면 y에 대한 대응되는 결과를 얻을 수 있습니다. $따라서$ i의 제곱근은 숫자 ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ + ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}i}$ 및 ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ - $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{\$ sqrt {2}}-{\ $tfrac {1}{\sqrt {2}}i}$ 입니다 $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ ^[12]

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외부 링크

Euler, Leonhard. "Imaginary Roots of Polynomials". 에

[13] 이러한 숫자를 찾기 위해서는 $(x$ + $iy)$ = $i$ (여기서 x와 y는 결정해야 할 실제 매개변수) 또는 이와 동등하게 x + 2ixy - y = $i$ 의 식을 풀 수 있습니다 $.$ 실수부와 허수부는 항상 분리되어 있기 때문에 $x$ - $y$ + $2ixy$ = 0 + i라는 항을 다시 모읍니다. 계수를 동일시하여 실수부와 허수부를 분리함으로써 우리는 다음과 같은 두 방정식 체계를 갖게 됩니다. ${\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\[3mu]2xy&=1.\end{align}}$ Substituting ${\textstyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}}$ into the first equation, we get ${\textstyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0}$ ${\textstyle \implies 4x^{4}=1.}$ Because $x$ is a real number, this equation has two real solutions for $x$ $x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}$ 그리고 $x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ = $x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ - $12$ {\displaystyle x =-{\tfrac { $1$ }{\sqrt {2}}}. 이 두 결과를 차례로 2xy = 1 식에 대입하면 y에 대한 대응되는 결과를 얻을 수 있습니다. $따라서$ i의 제곱근은 숫자 ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ + ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}i}$ 및 ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ - $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{\$ sqrt {2}}-{\ $tfrac {1}{\sqrt {2}}i}$ 입니다 $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ ^[12]

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