하그의 정리

Haag's theorem

루돌프 하그는 상호작용을 하는 상대론적 양자장 이론에는 상호작용이 존재하지 않는다고 가정했는데,[1] 현재 하그의 정리라고 흔히 알려진 것이다.Hag의 초기 증거는 많은 저자들, 특히 Hall & Wightman (1957)에 의해 일반화되었다. 그는 Hall & Wightman은 하나의 보편적인 Hilbert 공간 표현만으로는 자유 분야와 상호 작용하는 분야를 묘사하기에 충분하지 않다는 결론에 도달했다.[2]리드 앤 사이먼(1975)은 서로 다른 질량의 자유 중성 스칼라 장에도 해그와 같은 정리가 적용된다는 것을 증명했는데,[3] 이는 상호작용이 없어도 상호작용 그림이 존재할 수 없음을 암시한다.

형식 설명

현대적 형태에서 하아그 정리는 다음과 같이 명시할 수 있다.[4]

표준 정류 관계의 두 가지 충실한 표현을 고려하십시오H ,{ i ) 및( 2,{ O ) 각 n ,n= ,,\;)}은(는) 두 개의 힐버트 공간 중 하나를 의미하며, 각 세트 { 는 표준 정류 관계에서 각 공간에 대한 연산자 집합이다.

이 두 가지 표현은 일부 단일 매핑 가 존재하는 경우에만 단위 당량이라고 불린다. 스페이스 H 에서 U 을(를) Hilbert 스페이스 에 연결{\\;; , O 2 j = U j U-. 모든 에 H_{[4]

단일 등가치는 두 표현 모두 해당 관측 가능성의 동일한 기대값을 제공하기 위해 필요한 조건이다.하그의 정리에는 두 가지 표현이 단위적으로 스칼라 장의 등가 표현이고, 두 가지 표현 모두 고유한 진공 상태를 포함하고 있다면, 두 진공 상태는 그 자체로 단일적 등가성에 의해 관련된다.따라서 두 필드 모두 다른 필드의 진공 상태를 양극화할 수 없다.더구나 두 개의 진공이 로렌츠 불변성인 경우, 두 필드의 처음 네 개의 와이트만 함수는 같아야 한다.

특히 한 밭이 자유롭다면 다른 밭도 자유롭다.

이러한 상황은 두 가지 표현 사이에 항상 단일적 등가성이 존재하는 일반적인 비-상대적 양자역학과 극명한 대조를 이룬다.이러한 사실은 상호 작용 그림을 구성하는 데 사용된다. 반면에 상태는 상호 작용하는 필드 표현을 사용하여 진화하는 반면에 운영자는 상호 작용하는 필드 표현을 사용하여 진화한다.양자장 이론(QFT)의 형식주의 내에서는 이러한 두 가지 표현이 단위적으로 불평등하기 때문에 그러한 그림은 일반적으로 존재하지 않는다.따라서 양자장 이론가는 소위 선택 문제와 직면하게 된다.등가물이 아닌 무한대의 표현 집합 중에서 '올바른' 표현을 선택해야 한다.

물리적/휴리스틱한 관점

하악이 원작에서 이미 주목했듯이 하악의 정리의 핵심에 놓여 있는 것은 진공 양극화다.상호 작용하는 양자장(다른 질량의 비 상호작용장 포함)은 진공을 양극화시키고, 그 결과 진공 상태는 새로워진 Hilbert 공간 안에 있다. 힐버트 공간 과(와) 다른 내용자유 free}\;}비록 힐버트 공간을 다른 공간에 매핑하는 이소모르피즘이 항상 발견될 수 있었지만, 헤그의 정리는 그러한 매핑이 그에 상응하는 표준적 정류 관계, 즉 모호하지 않은 물리적 결과의 단위적으로 동등한 표현을 전달할 수 없다는 것을 암시한다.

해결 방법

하악의 정리를 이끌어내는 가정 중에는 시스템의 번역불변성이 있다.따라서 주기적인 경계 조건이 있는 상자 안에서 설정될 수 있거나 적절한 외부 전위와 상호작용하는 시스템은 정리의 결론에서 탈출한다.[5]

Haag(1958)[6]와 Ruelle(1962)은 [7]점증적 자유 상태를 다루며, 따라서 LSZ 감소 공식에 필요한 일부 가정을 공식화하는 역할을 하는 Haag-Ruelle 산란 이론을 제시했다.[8]그러나 이러한 기법은 질량이 없는 입자에는 적용할 수 없으며 결합 상태에서는 해결되지 않은 문제가 있다.

양자장 이론가들의 상반된 반응

물리학의 일부 물리학자와 철학자들은 하그의 정리가 QFT의 기초를 얼마나 심각하게 흔들고 있는지를 거듭 강조해 왔지만, 실천적인 양자장 이론가 대다수는 단순히 이 문제를 무시한다.기초 입자 상호작용의 표준모델의 실질적인 감상에 맞춘 대부분의 양자장 이론 텍스트는 그것을 언급조차 하지 않고, 그들이 보고하는 강력하고 잘 확인된 경험적 결과들을 확고히 하기 위해 어떤 엄격한 정의와 절차들이 발견될 수 있다고 암묵적으로 가정한다.

예: 점근 구조(cf)QCD 제트기)는 실험과 강한 합의 하에 이루어진 구체적인 계산이지만 그럼에도 불구하고 하그의 정리를 함으로서 실패해야 한다.일반적인 느낌은 이것은 단지 우연히 발견한 어떤 계산이 아니라 오히려 육체적인 진리를 구현한다는 것이다.실제적인 계산과 도구는 QFT라고 불리는 대수학적 형식주의에 호소함으로써 동기 부여와 정당성을 갖는다.하그의 정리는 형식주의가 근거가 충분치 않음을 시사하지만, 실제적인 계산은 거기에 있는 어떤 약점도 실제 결과에 영향을 미치지 않는다는 일반화된 형식주의와 충분히 거리가 있다(또는 무효화).

텔러(1997)가 지적한 바와 같이:[9]

수학의 한 조각으로서 하그의 정리가 적어도 양자장 이론을 상호작용하는 수학적 토대를 문제삼는 것처럼 보이는 유효한 결과라는 점에 모두가 동의해야 하며, 동시에 그 이론이 실험 결과에 대한 적용에 놀랄 만큼 성공적임이 입증되었다는 데 동의해야 한다.[9]

루퍼(2005)[10]는 Haag의 정리에 대한 상충되는 반응의 광범위한 범위는 부분적으로 동일한 것이 다른 제형에 존재한다는 사실에 기인할 수 있으며, 이는 Wightman의 자명적 접근법이나 LSZ 공식과 같은 QFT의 다른 제형 안에서 증명되었다.[10]루퍼에 따르면

그것을 언급하는 소수의 사람들은 그것을 누군가(엘세)가 철저히 조사해야 할 중요한 것으로 여기는 경향이 있다.[10]

스카라(2000년)[11]는 더 나아가 다음과 같이 지적했다.

수학적 유물의 결과로 보이는 개념적 문제의 이론 안에 존재감이 있을 수 있다.이것들은 이론의 어떤 깊은 물리적 실수에 뿌리를 둔 근본적인 문제가 아니라 이론이 표현된 방식에서 어떤 불행의 결과인 것처럼 보인다.하그의 정리는 아마도 이런 종류의 난관일 것이다.[11]

월리스(2011년)[12]는 기존 QFT의 장점을 대수 양자장 이론(AQFT)의 장점들과 비교하며 다음과 같이 관찰했다.

...대수 양자장 이론은 공간적으로 유한한 지역에서도 단위적으로 불평등한 표현을 가지고 있지만, 이러한 단일성 등가성의 결여는 임의의 소공간적 지역에 대한 기대치에 관해서만 나타날 뿐이며, 이것들은 정확히 세상에 대한 실제 정보를 전달하지 않는 기대값들이다.[12]

그는 현대 신원화 집단 이론, 즉 이 이론에서 얻은 통찰력으로 후자의 주장을 정당화한다.

... 우리는 컷오프[즉, 리노말화 절차를 수행하는 데 필요한 단거리 컷오프]가 어떻게 구현되는가에 대한 모든 무지를 경험적으로 측정할 수 있는 정밀하게 많은 계수의 값으로 흡수할 수 있다.[12]

하그의 정리의 결과와 관련하여, 월리스의 observation[12]o. 뒤 QFT 입자의 질량 또는 연결 상수, 잠재적으로 해로운 영향 한개로.non-equivalent 표현에서 발생하는 등의 근본적인 매개 변수 예측하려고 하지 않을 경우 측정에서 줄기 경험적 가치 안에 열중하여 남아 있음을 암시한다.f가 현장 흙esese 매개변수(특정 길이 척도) 및 QFT로 쉽게 가져오는 매개변수.따라서 양자장 이론가들에게는 실제로 보이지 않는 상태로 남아있다.

참조

  1. ^ Haag, Rudolf (1955). "On quantum field theories" (PDF). Matematisk-fysiske Meddelelser. 29: 12.
  2. ^ Hall, Dick; Wightman, A.S. (1957). "A theorem on invariant analytic functions with applications to relativistic quantum field theory". Matematisk-fysiske Meddelelser. 31: 1.
  3. ^ Reed, Michael C.; Simon, Barry (1975). Fourier analysis, self-adjointness. Methods of Modern Mathematical Physics. Vol. II. New York, NY: Academic Press. Theorem X.46.
  4. ^ a b Earman, John; Fraser, Doreen (2006). "Haag's theorem and its implications for the foundations of quantum field theory". Erkenntnis. 64 (305) – via philsci-archive.
  5. ^ Reed, Michael C.; Simon, Barry (1979). Scattering theory. Methods of Modern Mathematical Physics. Vol. III. New York, NY: Academic Press.
  6. ^ Haag, R. (1958). "Quantum field theories with composite particles and asymptotic conditions". Physical Review. 112 (2): 669–673. Bibcode:1958PhRv..112..669H. doi:10.1103/PhysRev.112.669.
  7. ^ Ruelle, David (1962). "On the asymptotic condition in quantum field theory". Helvetica Physica Acta. 35: 147–163.
  8. ^ Fredenhagen, Klaus (2009). Quantum Field Theory (PDF). Lecture Notes. Universität Hamburg.
  9. ^ a b Teller, Paul (1997). An Interpretive Introduction to Quantum Field Theory. Princeton University Press. p. 115.
  10. ^ a b c Lupher, Tracy (2005). "Who proved Haag's theorem?". International Journal of Theoretical Physics. 44 (11): 1993–2003. Bibcode:2005IJTP...44.1995L. doi:10.1007/s10773-005-8977-z.
  11. ^ a b Sklar, Lawrence (2000). Theory and Truth: Philosophical critique within foundational science. Oxford University Press.
  12. ^ a b c d Wallace, David (2011). "Taking particle physics seriously: A critique of the algebraic approach to quantum field theory". Studies in History and Philosophy of Science. Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 42 (2): 116–125.

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