등가급

수학에서, 일부 $집합$ S{\ $displaystyle$ S}의 원소들이 (동등 관계로 공식화된) 동치의 개념을 가질 $S$ 때, 집합 $S$ $S$ 를 자연스럽게 동치 클래스로 $S$ 분할할 수 있습니다. $이러한$ 동등성 클래스는{\ $displaystyle$ a $}$ $b$ b{\ $displaystyle$ b} 요소가 동등한 경우에만 동일한 동등성 클래스에 속하도록 $b$ 구성됩니다.

Formally, given a set $S$ and an equivalence relation $\,\sim \,$ on $S$ , the equivalence class of an element $a$ in $S$ , denoted by $[a]$ ,^[1] is the set^[2]

\{x\in S:x\sima\}

a

와 동치인 원소들의

a

동치 관계의 정의적 성질로부터 동치

S

이 S

{\

displaystyle

S

}

의 파티션을 형성한다는 것이 증명될 수 있습니다

S

동등성 클래스의 집합인 이 파티션은

\,\sim \,

~

\,\sim \,

{\

displaystyle \,\sim \,}

에서

S

S

{\

displaystyle

S

}

의 몫 집합 또는 몫 공간이라고 하며 S /

\,\sim \,

~

{\

로 표시됩니다

S/{\sim }

집합 $S$ $S$ 에 $S$ 일부 구조(예: 그룹 작업 또는 토폴로지)가 있고 $\,\sim \,$ 등가 $\,\sim \,$ 관계 ~ {\ $displaystyle$ \,\sim $\,}$ 가 이 구조와 호환되면 $\,\sim \,$ 몫 집합은 종종 상위 집합에서 유사한 구조를 상속합니다. 선형 대수의 몫 공간, 위상수학의 몫 공간, 몫 그룹, 동차 공간, 몫 고리, 몫 모노이드 및 몫 범주가 예입니다.

예

$X$ $X$ 를 $X$ 평면에 있는 모든 직사각형의 집합이라고 하고 $\,\sim \,$ ~ ${\$ 등가 $\,\sim \,$ 관계가 "같은 면적"을 가지며, 각 양의 $실수$ A $,$ ${\displaystyle$ A $,}$ 에 대해 면적 $A.$ 를 갖는 모든 직사각형의 등가 클래스가 있다고 $A,$ 가정합니다 $.$ ${\displaystyle$ A $}$
$x\sim y$ 집합 $\mathbb {Z} ,$ $\mathbb {Z},$ 에서 $\mathbb {Z} ,$ 모듈로 2 등가 관계를 고려하여 x - $x\sim y$ y ${\displaystyle$ x $\simy$ }의 차이 $x\sim y$ x - $x-y$ $x-y$ 가 짝수인 $x-y$ 경우에만 x - $x\sim y$ {\displaystyle x $\simy}$ 가 되도록 합니다. 이 관계는 정확히 두 개의 동등성 클래스를 발생시킵니다. 하나의 클래스는 모든 짝수로 구성되고 다른 클래스는 모든 홀수로 구성됩니다. 클래스의 한 멤버 주변에 있는 대괄호를 사용하여 이 관계에 따른 동등성 클래스를 표시합니다 $[7],[9],$ [ $[7],[9],$ [ $[7],[9],$ {\ $displaystyle [7],$ [ $9]$ 및 $[7],[9],$ $[1]$ ${\displaystyle [1]$ 은 $\mathbb {Z} /{\sim }.$ Z $\mathbb {Z} /{\sim }.$ / $\mathbb {Z} /{\sim }.$ ~의 동일한 요소를 나타냅니다 $\mathbb {Z} /{\sim }.$ $\mathbb {Z$ / ${\sim}}$
Let $X$ be the set of ordered pairs of integers $(a,b)$ with non-zero $b,$ and define an equivalence relation $\,\sim \,$ on $X$ such that ${\displaystyle (a,b)\sim (c,$ $d)$ $ad=bc,$ $=$ b $ad=bc,$ , {\ $displaystyle$ ad $=$ bc,}인 경우에만 쌍 ( $a/b,$ $b$ ) {\displaystyle (a $,$ b)}의 동치 클래스를 유리수 a / b, {\displaystyle a/b, $}$ 그리고 $a/b,$ 이 동치 관계와 동치 클래스는 유리수 집합의 공식적인 정의를 내리는 데 사용될 수 있습니다.^[5] 동일한 구성은 임의의 적분 영역의 분수 분야로 일반화될 수 있습니다.
$X$ $X$ 가 예를 들어 유클리드 평면의 모든 $X$ 선으로 $L\sim M$ 되고 $L\sim M$ L $L\sim M$ ~ M {\ $displaystyle$ L\ $sim M}$ 은 $L$ ${\displaystyle$ L $}$ 과 M $L$ $M$ 이 $M$ 평행선인 경우 서로 평행한 $L\sim M$ 선들의 집합은 동등성 클래스를 형성합니다. 선이 자신과 평행하다고 간주되는 한. 이 경우 각 등가 클래스는 무한대의 한 점을 결정합니다.

정의 및 표기

$집합$ $X$ ${\$ $displaystyle X$ $}$ 의 등가 관계는 X {\ $displaystyle X$ $}$ 의 {\displaystyle $\,\sim \,}$ 이항 $\,\sim \,$ 관계로 다음 $X$ 세 가지 속성을 만족합니다 $X$ $\,\sim \,$ ^[6]^[7]

$a\sim a$ $a$ $a\sim a$ ~ $a\sim a$ $a\in X$ $∈$ $a\in X$ ${\displaystyle$ $a$ \in X}에 $a\sim a$ ${\displaystyle$ a $\sima}($ 반사율),
$a\sim b$ $a,b\in X$ $a\sim b$ ~ $a\sim b$ $a\simb$ 는 모든 $a,b\in X$ $a\sim b$ $b ∈$ X ${\displaystyle a$ $,$ b\in X}(대칭)에 대해 $b\sim a$ ~ {\ $displaystyle$ b $\sima$ }를 의미합니다.
$a\sim b$ ~ b $a\sim b$ {\ $displaystyle$ a\ $simb}$ 이고 $b\sim c$ b ~ c $b\sim c$ {\ $displaystyle$ b\ $simc}$ 이면 모든 $a,b,c\in X$ $a,b,c\in X$ $c$ ∈ X ${\displaystyle a$ $\simc$ }(트랜스시티)에 $a\sim c$ ~ c ${\displaystyle$ a\simc $}$ 입니다.

The equivalence class of an element $a$ is often denoted $[a]$ or $[a]_{\sim },$ and is defined as the set $\{x\in X:a\sim x\}$ of elements that are related to $a$ by ${\displaystyle \,$ $\sim.}$ "등식 클래스"라는 용어에서 "클래스"라는 $\,\sim .$ ^[2] 단어는 일반적으로 "집합"의 동의어로 간주될 수 있지만, 일부 등식 클래스는 집합이 아니라 적절한 클래스입니다. 예를 들어, "동형임"은 그룹에 대한 동치 관계이며 동치 클래스라고 하는 동치 클래스는 집합이 아닙니다.

The set of all equivalence classes in $X$ with respect to an equivalence relation $R$ is denoted as $X/R,$ and is called $X$ modulo $R$ (or the quotient set of $X$ by $R$ ).^[8] X ${\displaystyle$ $X/R,$ }에서 X $X/R,$ / R $X/R,$ ${\displaystyle$ X/R}로 각 요소를 등가 클래스에 매핑하는 대상 맵 $x\mapsto [x]$ ↦ [x] ${\displaystyle$ x $\mapsto$ [ $X$ ]}을(를) 표준 투영 또는 표준 투영이라고 합니다.

동등성 클래스의 모든 요소는 클래스를 특성화하며 이를 나타내는 데 사용할 수 있습니다. 그런 요소를 선택하면 클래스의 대표라고 합니다. 각 클래스의 대표자를 선택하면 $X/R$ / $X/R$ ${\displaystyle$ X $/R}$ 에서 $X/R$ $X$ 로의 주입이 정의됩니다. 정준 투영과의 구성은 $R$ 의 항등식이므로 $범주$ 이론의 용어를 사용할 때 이러한 $주입$ 을 $X/R,$ 섹션 $($ section $)$ 이라고 합니다 $.$

때때로 다른 섹션보다 더 "자연스러운" 섹션이 있습니다. 이 경우 대표자를 표준 대표자라고 합니다. 예를 들어, 모듈러 산술에서 $1$ 보다 큰 모든 $정수$ m에 대해 합동 $모듈롬$ 은 정수 $a$ 와 b가 $동등$ 한 정수에 대한 등가 관계입니다. 이 경우 $m$ 이 $a-b;$ - $a-b;$ 를 분할하면 합동이라고 합니다 $a-b;$ $a-b;$ ${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$ 은 ≡ ${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$ (mod $m$ )로 표시됩니다. ${\textstyle$ a $\equiv b{\$ pmod {m}}. $}$ 각 ${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$ 클래스에는 $,$ {\displaystyle $m,}$ 보다 작은 고유한 $음$ 이 아닌 정수가 포함되며 이러한 $m,$ 정수가 표준 대표입니다.

수업을 표현하기 위해 대표자를 사용하면 수업을 세트로 명시적으로 고려하는 것을 피할 수 있습니다. 이 경우 요소를 클래스에 매핑하는 표준 돌출은 요소를 클래스의 대표에 매핑하는 함수로 대체됩니다. 앞의 예에서 이 함수는 $a{\bmod {m}},$ $a{\bmod {m}}$ 로 표시되고 $a{\bmod {m}},$ $a$ 의 유클리드 나눗셈의 나머지를 $m$ 으로 생성합니다.

특성.

$X$ $X$ 의 $x$ 모든 요소 $x$ $x$ 는 $X$ 동등성 클래스 $[x].$ [ $[x].$ 의 멤버입니다 $[x].$ ${\displaystyle [x].$ $}$ $[x]$ ${\displaystyle [x]$ 및 $[x]$ $[y]$ [ $[y]$ ${\displaystyle [y]$ 의 동등성 클래스는 $[x].$ 모두 $[y]$ 같거나 서로소입니다. $따라서$ X ${\displaystyle$ $X$ $}$ 의 모든 동등성 클래스 집합은 $X$ $X$ 의 파티션을 형성합니다 $X$ $X$ $X$ {\ $displaystyle$ X}의 모든 요소는 하나의 동등성 클래스에만 속합니다 $X$ .^[9] 반대로 $X$ ${\displaystyle$ $X$ $}$ 의 모든 파티션은 이러한 방식으로 동등성 관계에서 비롯되며 $X$ , x ${\displaystyle$ $x$ $}$ 와 $x$ $y$ ${\displaystyle$ y $}$ 가 $파티션$ 의 동일한 집합에 $y$ 속하는 $x\sim y$ 에만 $x\sim y$ $x\sim y$ ~ y ${\displaystyle$ x $\simy}$ 입니다.^[10]

다음은 동치 관계의 성질로부터 다음과 같습니다.

x\simy

[x]=[y].

[x]=[y].

] =

[x]=[y].

[

[x]=[y].

y

]

. {\displaystyle [x] = [y]인 경우에만 해당됩니다.}

즉 $\,\sim \,$ ~ ${\$ $displaystyle \,\sim \,}$ 가 $\,\sim\,$ 집합 $X$ 의 등가 $관계$ 이고, ${\displaystyle$ $,}$ 및 x ${\$ $y$ x $}$ 및 y ${\displaystyle$ $}$ 가 X, {\ $displaystyle$ X $,}$ 의 두 요소일 $y$ 경우 $X,$ 다음 문장은 동등합니다.

$x\simy$
$[x]=[y]$
$[x]\cap [y]\neq \emptysset.$

그래픽 표현

방향이 없는 그래프는 집합 $X,$ {\ $displaystyle X,}$ 에서 임의의 대칭 관계와 연관될 수 있습니다. 여기서 $X,$ $X,$ 은 X $,$ {\ $displaystyle$ X $,}$ 의 $X,$ 요소이고 두 $정점$ $s$ 및 $t$ ${\displaystyle$ t $}$ 는 $s$ $t$ $s\sim t.$ ~ $s\sim t.$ 인 경우에만 결합됩니다 $s\sim t.$ ${\displaystyle$ s $\simt.$ $}$ 이 $s\sim t.$ 그래프 중에는 동등성 관계에 대한 그래프가 있습니다. 클러스터 그래프라고 하는 이러한 그래프는 연결된 구성 요소가 클리크인 그래프로 특징지어집니다.^[4]

불변량

$\,\sim \,$ ${\$ 가 $\,\sim\,$ $X,$ ${\displaystyle$ X $,}$ 이고 $X,$ , P( $x\sim y,$ ${\displaystyle$ P $(x))$ 가 $P(x)$ $X$ $X$ $X$ 요소의 속성이므로 x ~ $x\sim y,$ y $x\sim y,$ ${\displaystyle$ x $\simy,$ $}$ $P(x)$ is true if $P(y)$ is true, then the property $P$ is said to be an invariant of $\,\sim \,,$ or well-defined under the relation $\,\sim .$

A frequent particular case occurs when $f$ is a function from $X$ to another set $Y$ ; if $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ whenever ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},$ $}$ $f$ f $f$ 는 $\,\sim \,,$ $\,\sim \,$ 아래에서 클래스 불변이거나 $\,\sim \,,$ $\,\sim .$ ~ 아래에서 단순히 불변이라고 합니다 $f$ $\,\sim .$ $\,\sim.$ 이것은 $\,\sim .$ 예를 들어 유한 그룹의 문자 이론에서 발생합니다. 일부 저자는 $\,\sim \,$ ${\$ 에서 불변" 대신 $"~{\$ \,\sim \,}와 호환 $\,\sim \,$ 또는 "respects $\,\sim \,$ ~ ${\$ $\,\sim \,$ 을 사용합니다. $\,\sim \,$

Any function $f:X\to Y$ is class invariant under $\,\sim \,,$ according to which $x_{1}\sim x_{2}$ if and only if ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).$ $}$ The equivalence class of $x$ is the set of all elements in $X$ which get mapped to $f(x),$ that is, the class $[x]$ is the inverse image of ${\displaystyle f(x).$ $}$ 이 $f(x).$ 동등성 관계를 $f$ 의 커널이라고 $합니다$ . {\ $displaystyle$ f $.}$

더 일반적으로 함수는 $등가$ 인수 $\sim _{X}$ 등가 관계 ~ $\sim _{X}$ ${\displaystyle$ X $}$ 의 $\sim _{X}$ $\sim _{Y}$ X ${\$ $X$ 를 $\sim _{Y}$ 값(등가 관계 $\sim _{Y}$ ~ $Y$ ${\displaystyle$ $\sim_{Y})$ 으로 매핑할 수 있습니다. $Y$ 이러한 함수는 동치 관계를 갖는 집합들의 모피즘입니다.

토폴로지의 몫 공간

몫 공간(quotient space)은 위상 공간의 등가 관계의 등가 클래스 집합에 형성되는 위상 공간으로, 원래 공간의 위상을 사용하여 등가 클래스 집합에 대한 위상을 만듭니다.

추상대수학에서, 대수학의 기본 집합에 대한 합동 관계는 대수학이 그 관계의 등가 클래스에 대한 대수학을 유도할 수 있도록 허용하며, 이를 몫 대수학이라고 합니다. 선형 대수학에서 몫 공간은 몫군을 취하여 형성된 벡터 공간이며, 여기서 몫 동형은 선형 지도입니다. 확장하여, 추상 대수에서, 몫 공간이라는 용어는 몫 모듈, 몫 링, 몫 그룹 또는 임의의 몫 대수에 사용될 수 있습니다. 그러나 더 일반적인 경우에 대한 용어의 사용은 종종 집단 행동의 궤도와 유추될 수 있습니다.

집합에서 그룹 작용의 궤도는 집합에서 작용의 몫 공간이라고 할 수 있습니다. 특히 그룹 작용의 궤도가 그룹의 부분군의 오른쪽 부분군의 오른쪽 부분군인 경우 왼쪽 부분군의 왼쪽 부분군 또는 오른쪽 부분군의 궤도로 각각 발생합니다.

위상군의 정상 부분군은 위상수학, 추상대수학, 그룹행동학에서 동시에 그 군에 작용하는 몫공간입니다.

이 용어는 어떠한 동치 관계의 동치 클래스들의 집합에 대해서도 사용될 수 있지만, 그 용어를 사용하는 목적은 일반적으로 $집합$ X에서 그 동치 관계의 유형을 비교하는 것이지만 $,$ $X,$ 는 $X,$ $X,$ 의 동일한 종류의 구조에서 $X,$ 등가 클래스 집합의 일부 구조를 그룹 액션의 궤도로 유도하는 등가 관계입니다 $X,$ . 등가 관계에 의해 보존되는 구조에 대한 감각과 그룹 행동에 따른 불변량에 대한 연구는 모두 위에서 제시된 등가 관계의 불변량에 대한 정의로 이어집니다.

참고 항목

동등성 파티셔닝, 가능한 프로그램 입력을 해당 입력에 대한 프로그램의 동작에 따라 동등성 클래스로 나누는 것에 기초하여 소프트웨어 테스트에서 테스트 세트를 고안하는 방법
동차 공간, 리 군들의 몫 공간
부분 등가 관계 – 대상을 비교하기 위한 수학적 개념
등가 관계에 의한 몫
세토이드 – 등가 관계를 갖는 집합의 수학적 구성
횡단(조합형) – 집합 집합의 모든 집합과 교차하는 집합

메모들

^ "7.3: Equivalence Classes". Mathematics LibreTexts. 2017-09-20. Retrieved 2020-08-30.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Equivalence Class". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-30.
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^ ^a ^b Devlin 2004, 페이지 123
^ Maddox 2002, 페이지 77–78
^ 데블린 2004, 페이지 122
^ Weisstein, Eric W. "Equivalence Relation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-30.
^ Wolf 1998, p. 178
^ Maddox 2002, p. 74, Thm. 2.5.15
^ Avelsgaard 1989, p. 132, Thm. 3.16

참고문헌

Avelsgaard, Carol (1989), Foundations for Advanced Mathematics, Scott Foresman, ISBN 0-673-38152-8
Devlin, Keith (2004), Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics (3rd ed.), Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-449-1
Maddox, Randall B. (2002), Mathematical Thinking and Writing, Harcourt/ Academic Press, ISBN 0-12-464976-9
Wolf, Robert S. (1998), Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox, Freeman, ISBN 978-0-7167-3050-7

외부 링크

Wikimedia Commons의 Equivalence 클래스 관련 미디어

[1] "7.3: Equivalence Classes". Mathematics LibreTexts. 2017-09-20. Retrieved 2020-08-30.

[:1-2] Weisstein, Eric W. "Equivalence Class". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-30.

[3] 아벨스가드 1989, 페이지 127

[Devlin_2004_loc=p._123-4] Devlin 2004, 페이지 123

[5] Maddox 2002, 페이지 77–78

[6] 데블린 2004, 페이지 122

[7] Weisstein, Eric W. "Equivalence Relation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-30.

[8] Wolf 1998, p. 178

[9] Maddox 2002, p. 74, Thm. 2.5.15

[10] Avelsgaard 1989, p. 132, Thm. 3.16

[1]

[2]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[4]

v t 집합론
개요	세트(수학)
공리	덧셈 선택. 셀 수 있는 의존하는 세계적인 구성가능성(V=L) 결정성 확장성 Infinity 크기의 제한 페어링 멱집합 규칙성 연합 마틴의 공리 공리 스키마 대체품 사양
오퍼레이션스	데카르트 곱 보완(즉, 설정 차이) 드 모르간의 법칙 이산조합 아이덴티티 교차점 멱집합 대칭차 연합
컨셉트 방법들	거의. 카디날리티 기수(대) 학급 구성 가능한 우주 연속체 가설 대각선 논법 원소 순서쌍 투플 가족 강제력 일대일 대응 서수 세트 빌더 표기법 트랜스피니트 유도 벤 다이어그램
유형 설정	비정질 셀 수 있는 빈 유한(유전적) 필터 기초 서브베이스 울트라필터 퍼지 무한(Dedekind-infinite) 재귀적 싱글턴 부분집합 · 초집합 트랜지티브 셀 수 없음 유니버설
이론들	대안 공리적 순진한 칸토어 정리 제르멜로 일반 마테마티카 공국 새 재단 Zermelo–Fraenkel 폰 노이만-베르네이스–괴델 모스켈리 Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
패러독스 문제	러셀의 역설 서슬린의 문제 부라리-포르티 역설
집합론자	폴 버네이스 게오르크 칸토어 폴 코헨 리처드 디데킨드 에이브러햄 프랭켈 쿠르트 괴델 토마스 제흐 존 폰 노이만 윌러드 퀸 버트런드 러셀 토랄프 스콜렘 에른스트 저멜로

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