볼츠만 방정식

볼츠만 방정식 또는 볼츠만 운송 방정식(BTE)은 1872년 루트비히 볼츠만이 고안한 평형 상태가 아닌 열역학 시스템의 통계적 행동을 설명한다.^[2] 그러한 체계의 전형적인 예로는 공간의 온도 구배를 가진 유체가 열을 뜨거운 지역에서 차가운 지역으로 흐르게 하는 것인데, 이는 입자가 그 유체를 구성하는 임의의 편향적인 수송에 의해 이루어진다. 현대 문헌에서 볼츠만 방정식이라는 용어는 에너지, 전하 또는 입자 번호와 같은 열역학적 시스템에서 거시적 양의 변화를 설명하는 운동 방정식을 언급하면서 더 일반적인 의미로 자주 사용된다.

이 방정식은 유체 내 각 입자의 개별 위치와 모멘텀을 분석하는 것이 아니라, 일반적인 입자의 위치와 운동량에 대한 확률 분포, 즉 입자가 주어진 매우 작은 공간 영역을 차지할 확률(대략적으로 체적 요소 d 3 r)을 고려함으로써 발생한다.${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{\bf {r}}}$) centered at the position ${\displaystyle {\bf {r}}}$, and has momentum nearly equal to a given momentum vector ${\displaystyle {\bf {p}}}$ (thus occupying a very small region of momentum space ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{\bf {p}}}$), at an instant of 시간을 재다

볼츠만 방정식은 유체가 수송 중일 때 열 에너지와 운동량과 같은 물리적 양이 어떻게 변화하는지 결정하는 데 사용될 수 있다. 또한 점성, 열전도도 및 전기전도도와 같은 유체에 특징적인 다른 특성을 유도할 수 있다(자재의 충전 캐리어를 기체로 처리함).^[2] 대류-확산 방정식을 참조하십시오.

방정식은 비선형 정수-차분 방정식이며, 방정식의 미지각 함수는 입자 위치와 운동량의 6차원 공간에 있는 확률밀도함수다. 해결책의 존재와 고유성 문제는 아직 완전히 해결되지 않았지만, 최근의 몇몇 결과는 꽤 유망하다.^[3][4]

개요

위상공간 및 밀도함수

가능한 모든 위치 r과 모멘텀a p의 집합을 시스템의 위상 공간이라고 한다. 즉, 각 위치의 좌표 3개를 좌표 x, y, z, 각_x 모멘텀_y 성분 p, p에_z 대해 3개를 더한다. 전체 공간은 6차원이다: 이 공간의 한 점은 (r, p) = (x, y, z, p_x, p_y, p_z)이며, 각 좌표는 시간 t에 의해 매개변수화된다. 작은 볼륨("차동 볼륨 요소")이 기록됨

${\displaystyle {\text{d}}^{3}\mathbf {r} \,{\text{d}}^{3}\mathbf {p} ={\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\,{\text{d}}p_{x}\,{\text{d}}p_{y}\,{\text{d}}p_{z}.}$

모두 d 3 r ${\$ 3 p ${\$ 내에 r과 p를 갖는 N 분자의 확률은 문제가 있으므로 방정식의 중심에는 위상-공간 부피 당 이 확률을 나타내는 f가 있다. 한 순간의 시간 t에 큐브된 단위 운동량 당 큐브. 이것은 확률밀도함수: f(r, p, t)를 정의하여 다음과 같이 한다.

${\d스타일 {\d}N=f(\mathbf {r},\mathbf {p},t)\,{\text{d}^{3}\mathbf {r} \{\text{d}}}\mathbf {p}}}}}}}$

모두 시간 t에서 3 r ${\$에 놓여 있는 분자의 수로서, 모멘텀 공간 요소 d 3 p {\$dyplaysty$\^[5]$mathrm{d}{3}{\bf$ {$p}}}}$에 놓여 있다. 위치 공간과 모멘텀 공간의 영역에 걸쳐 통합하면 해당 영역에 위치 및 모멘텀을 갖는 총 입자 수를 알 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}N&=\int \limits _{\mathrm {momenta}{\text{d}^{3}\mathbf {p}\mathbf {p}{d}}{3}}\mathbf {r} \mathbf {p},t\5]=\iiint \limits _{\mathrm {momenta} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {positions} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\,{\text{d}}p_{x}\,{\text{d}}p_{y}\,{\text{d}}p_{z}\end{aligned}}}$

6배 적분이야 f는 다수의 입자와 연관되어 있는 반면, 위상 공간은 단 하나의 r과 p만이 문제시되기 때문에 단 하나의 입자(결정론적 다체계의 경우는 대개 다 아니다)를 위한 것이다. 입자 N의 경우 r₁, p₁, 입자 1, r₂, p₂ 등을 r_N, p까지_N 사용하는 것은 분석의 일부가 아니다.

시스템 내 입자가 동일하다고 가정한다(따라서 각 입자는 동일한 질량 m을 가진다). 둘 이상의 화학 종을 혼합한 경우, 각 종에 대해 하나의 분포가 필요하다(아래 참조).

주명세서

그러면 일반 방정식은 다음과^[6] 같이 기록될 수 있다.

${\dplaystyle {\frac{df}}{dt}}=\left\frac\frac{\precipal f}{\force}+\frac{\precipal t}\{\frac}}{\precolline}, {\colline}, {\colline},},}$

"힘"이라는 용어는 외부 영향(입자 자체에 의한 것이 아님)에 의해 입자에 가해지는 힘에 해당하며, "충돌" 용어는 입자의 확산을 나타내며, "충돌"은 충돌 용어로서 충돌 시 입자 간에 작용하는 힘을 고려한다. 오른쪽의 각 용어에 대한 표현은 다음과 같다.^[6]

일부 저자는 모멘텀 p 대신 입자 속도 v를 사용한다는 점에 유의하십시오. 이러한 속도는 모멘텀 p = mv에 의한 모멘텀 정의와 관련이 있다.

힘 및 확산 용어

f로 기술된 입자를 고려하십시오. 각 입자는 다른 입자 때문이 아니라 외부 힘 F를 경험하십시오(후기 치료의 충돌 항 참조).

Suppose at time t some number of particles all have position r within element ${\displaystyle d^{3}{\bf {r}}}$ and momentum p within ${\displaystyle d^{3}{\bf {p}}}$. If a force F instantly acts on each particle, then at time t + Δt their position will be r + Δr = ${\displaystyle \m$$atsbf {r} +{\frac {p}{{m}\,\Delta t}$ 및 모멘텀 p + Δp = p + FΔt. 그렇다면 충돌이 없을 때는 f가 만족해야 한다.

${\displaystyle f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \,\Delta t,t+\Delta t\right)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$

위상 공간 볼륨 요소 d 3 r ${\$ 3 p ${\$이(가) 일정하다는 사실을 사용했다는 점에 유의하십시오(Louville의 정리 아래 논의 참조). 그러나 충돌이 발생하기 때문에 위상 공간 볼륨 d 3 r ${\$ d$^{3}{\bf {r}$ 3 p ${\$의 입자 밀도가 변경되므로

${\displaystyle{\begin{정렬}dN_{\mathrm{coll}}&=\left({\frac{\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm{coll}}\Delta td^{3}\mathbf{r}d^{3}\mathbf{p}\\[5pt]&, =f\left(\mathbf{r}+{\frac{\mathbf{p}}{m}}\Delta t,\mathbf{p}+\mathbf{F}\Delta t,t+\Delta t\right)d^{3}\mathbf{{p}-f(\mathbf{r},\mathbf{p},t)\,d^ d^{3}\mathbf{r}.3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \\\[5pt]&=\Delta f\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p}\ed}}}}}}}}$

(1)

여기서 Δf는 f의 총 변화량이다. (1)을 d 3 r ${\$ d$^{3}{\bf{r}}$ 3 p ${\$ d$^{3}{\bf{p}}$ Δt로 나누고 Δt → 0, Δf → 0으로 제한하면 다음과 같다.

${\dplaystyle {\frac {df}{dt}}=\left\frac\frac {\reft f}{\reflict t}\right)_{\mathrm {coll}}}}}}}}}}}$

(2)

f의 총 차이점은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}df&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz\right)+\left({\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}\,dp_{x}+{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}\,dp_{y}+{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}\,dp_{z}\right)\\[5pt]&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\nabla f\cdot d\mathbf {r} +{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot d\mathbf {p} \\[5pt]&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\nabla f\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}dt+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} \,dt\end{aligned}}}$

(3)

여기서 ∇은 그라데이션 연산자, ·는 도트 제품이다.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\mathbf {\hat {e}} _{x}{\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}+\mathbf {\hat {e}} _{y}{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}+\mathbf {\hat {e}} _{z}{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}=\nabla _{\mathbf {p} }f}$

momentum의 모멘텀 아날로그의 속칭이며, ê_x, ê_y, ê은_z 카르테시안 단위 벡터다.

최종명세서

(3)을 dt로 나누고 (2)로 대체하면 다음을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}$

이 맥락에서 F(r, t)는 유체의 입자에 작용하는 힘장이고, m은 입자의 질량이다. 오른쪽에 있는 용어는 입자 간의 충돌 효과를 설명하기 위해 추가된다. 0이면 입자가 충돌하지 않는다. 개별 충돌이 장기 집계 상호작용(예: 쿨롱 상호작용)으로 대체되는 충돌 없는 볼츠만 방정식을 흔히 블라소프 방정식이라고 부른다.

이 방정식은 위의 주요 방정식보다 더 유용하지만, f의 충돌 조건을 알지 못하면 f를 해결할 수 없기 때문에 여전히 불완전하다. 이 용어는 다른 용어와 같이 쉽게 또는 일반적으로 찾을 수 없으며, 입자 충돌을 나타내는 통계 용어로, Maxwell-Boltzmann, Fermi-Dirac 또는 Bose-Einstein 분포와 같이 입자가 준수하는 통계에 대한 지식을 요구한다.

충돌 용어(Stosszahlansatz)와 분자 혼돈

2차체 충돌 용어

볼츠만이 적용한 핵심 통찰력은 충돌 전에 상관관계가 없는 것으로 가정되는 입자 사이의 2체 충돌로 인한 충돌 조건을 결정하는 것이었다. 볼츠만은 이러한 가정을 "Stosszahlansatz"라고 불렀으며 "분자혼란 가정"이라고도 한다. 이러한 가정 하에서 충돌 항은 단일 입자 분포 함수의 곱에 대한 모멘텀-공간 적분으로 작성할 수 있다.^[2]

${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{A}\,d^{3}\mathbf {p} _{B},}$

여기서 p와_A p는_B 충돌 전 두 입자(편의상 A와 B로 표시됨)의 모멘트, pp와 _ABpp는 충돌 후 모멘텀이다.

${\displaystyle g= \mathbf {p} _{B}-\mathbf {p} _{A} = \mathbf {p'} _{B}-\mathbf {p'} _{A}}}}$

상대 모멘텀a의 크기(이 개념에 대한 자세한 내용은 상대 속도 참조)이며, I(g, Ω)는 충돌 입자의 상대 모멘텀a가 충돌로 인해 angle 각도를 통과하여 고체 각도 DΩ의 요소로 회전하는 충돌의 차동 단면이다.

충돌 용어의 단순화

볼츠만 방정식을 풀어나가는 난제의 상당 부분은 복잡한 충돌 항에서 비롯되기 때문에, 충돌 항을 "모델화"하고 단순화하려는 시도가 있었다. 가장 잘 알려진 모델 방정식은 Bhatnagar, Gross, Krook 때문이다.^[7] BGK 근사치의 가정은 분자 충돌의 영향은 물리적 공간의 한 지점에서 비균형 분포 함수를 다시 맥스웰리 평형 분포 함수로 강제하는 것이며, 이것이 발생하는 속도는 분자 충돌 주파수에 비례한다는 것이다. 따라서 볼츠만 방정식은 BGK 형태로 수정된다.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}+{\frac {}{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\partial \f}}}}}}}}\partial \mathbf(f_{0}-f),}-f),}}),}}}}}}}$

여기서 ν ${\displaystyle \nu}$은 분자 충돌 빈도이며, f 0 ${\$은 우주 이 지점의 가스 온도를 감안한 국소 맥스웰리아 분포 함수다.

일반 방정식(혼합물의 경우)

지수 i = 1, 2, 3, ...로 표시된 화학종 혼합물의 경우, n 종 i에 대한 방정식은 다음과^[2] 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\cdot \nabla f_{i}+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$

여기서 f_i = f_i(r, p_i, t) 및 충돌 조건은

${\displaystyle \left({\frac {\put f_{i}{\n1}}\mathrm {coll}}\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Oomega )[f'_{i}-f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\Oomega \,d^{3}\mathbf {p'},},}$

여기서 f′ = f′(p′,_i t)은 상대 순간의 크기가

${\displaystyle g_{ij}= \mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{j} = \mathbf {p'} _{j},}$

그리고 나는_ij 입자 i와 j의 미분 단면이다. 통합은 통합의 모멘텀 컴포넌트(i와 j라고 이름 붙여짐)를 넘어선다. 통합의 합은 위상 공간 요소 내 또는 외부 종 i의 입자의 진입과 출구를 설명한다.

애플리케이션 및 확장

보존 방정식

볼츠만 방정식은 질량, 전하, 운동량 및 에너지에 대한 유동 동적 보존 법칙을 도출하는 데 사용될 수 있다.^{[8]: p 163} 한 종류의 입자로만 구성된 유체의 경우 n은 다음과 같이 숫자의 밀도를 나타낸다.

$\displaystyle n=\int f\,d^{3}p).}$

A 함수의 평균값은

${\displaystyle \langle A\angle ={\frac {1}{n}\int Af\,d^{3}p.}$

보존 방정식은 텐셔너를 포함하므로, 제품의 반복된 지표가 그러한 지수에 대한 합계를 나타내는 아인슈타인 종합 규약이 사용될 것이다. 따라서 x ↦ x i ${\$ $\mathbf {x} \mapsto x_{i}$ 및 p ↦ p= m ${\${i}=mw_${i}}}}}}},$ 여기서 w는 입자 속도 벡터다. 충돌 시 보존되는 모멘텀 p i ${\$의 일부 기능으로 A(p i $){\displaystyle$ A$(p_{i}})$를 정의하십시오. 또한 힘 F i{\$displaystyle F_{i}}$는 위치 함수일 뿐이고, f는 p i→± ∞ ${\displaystyle p_{i}\to \pm$ \pm $\infty}$에 대한 0이라고 가정하자. 볼츠만 방정식을 A로 곱하고 모멘텀에 대한 통합은 4항이며, 부품별 통합을 사용하여 표시할 수 있다.

${\displaystyle \int A{\frac {\partial f}{\partial t}\,d^{3}p={\frac {\partial t}{\partial t}}}(n\langle A\rangle ),}$

${\displaystyle \int {\frac {p_{j}A}{{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}\,d^{3}p={\frac {1}{m}{\partial x_{j}}}}(n\langle Ap_{j}\rangele )},}}$

${\displaystyle \int AF_{j}{\frac {\partial p_{j}}\,d^{3}p=-nF_{j}\leflangle {\partial A}{\partial p_}}{j}}\partial p_}\rigle,},},}$

${\displaystyle \int A\left({\frac {\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}\,d^{3}p=0,}$

A가 충돌 시 보존되기 때문에 마지막 기간이 0인 경우 A의 값은 속도 v i ${\$및 모멘텀 p i ${\$의 모멘트에 해당하며, 이는 선형적으로 의존하기 때문이다.

제롯 모멘트

A= m( v i) 0= m ${\displaystyle A=m(v_{i}})^{0}=m$ 입자의 질량인 통합 볼츠만 방정식을 다음과 같이 보존한다.^{[8]: pp 12, 168}

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{j})=0,}$

여기서 ρ= m ${\displaystyle \rho =mn}$은(는) 질량 밀도이고, Vi =w ww i ⟩ ${\displaystyle V_{i}=\langle w_{i}\angle }$은(는) 평균 유체 속도다.

퍼스트 모멘트

입자의 운동량인A= m(vi )1 = p i ${\$A=$m({i}})^{1}=p_{i}}}}$을(를) 놓아두면, 통합된 볼츠만 방정식은 다음과 같은 운동 방정식의 보존이 된다.^{[8]: pp 15, 169}

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\rho V_{i}}+{\partial }{\partial x_{j}}}}(\rho V_{i}V_{j}+P_{ij}-nF_{i}=0,}}$

여기서 P i j= ρ ⟨ (wi- V i)(w j- V j) ⟩ ⟩ {{ { { { \$displaystyle P_{ij}=\rho \langle (w_{i}-V_{i})(w_{j}-V_{j$}\$angle })$은 압력 텐서(점성 스트레스 텐서(정압력)이다.

세컨드 모멘트

A= m(v i) 2= p i 2m ${\$ A$={\frac {m(v_{i}}^{2$}}:2$}}={\frac$ {$p_{i}p_{i}}}{2m$ 입자의 운동 에너지를 다음과 같이 하면 통합된 볼츠만 방정식이 에너지 방정식의 보존이 된다.^{[8]: pp 19, 169}

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(uV_{j}+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i}V_{j}+J_{qj}+P_{ij}V_{i})-nF_{i}V_{i}=0,}$

where ${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (w_{i}-V_{i})(w_{i}-V_{i})\rangle }$ is the kinetic thermal energy density, and ${\displaystyle J_{qi}={\tfrac {1}{2}}\rho \langl$$e (w_{i}-V_{i})(w_{k}-V_{k})(w_{k}-V_{k})\rangele }$은 열유속 벡터다.

해밀턴 역학

해밀턴 역학에서 볼츠만 방정식은 흔히 다음과 같이 보다 일반적으로 쓰여진다.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L}}}}}}}[f]=\mathbf {C}[f],\,}$

여기서 L은 Louville 연산자(여기서 정의한 Louville 연산자와 연결된 논문에서 정의한 Louville 연산자 사이에 불일치 정의가 있음)이며, C는 충돌 연산자다. L의 비상대적 형태는

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$

양자 이론 및 입자 번호 보존 위반

충돌 시 입자 수가 보존되지 않는 상대론 양자 시스템에 대해 상대론 양자 볼츠만 방정식을 적는 것이 가능하다. 이것은 빅뱅 핵합성체의 빛 원소 형성과 암흑물질의 생산과 쌍생식을 ^[9]포함한 물리적 우주론에 여러 가지 응용이 있다. 양자 시스템의 상태가 고전적인 위상 공간 밀도 f로 특징지어질 수 있다는 것은 선례가 아니다. 그러나, 넓은 범위의 어플리케이션의 경우, 양자장 이론의 첫 번째 원리에서 도출할 수 있는 효과적인 볼츠만 방정식의 해결책인 f의 잘 정의된 일반화가 존재한다.^[10]

일반 상대성 및 천문학

볼츠만 방정식은 은하 역학에서 사용된다. 은하는 어떤 가정 하에서 연속 유체로서 근사치 될 수 있다; 그 대량 분포는 f로 표현된다; 은하의 경우, 별들 사이의 물리적 충돌은 매우 드물며, 중력 충돌의 영향은 우주의 나이보다 훨씬 더 긴 시간 동안 방치될 수 있다.

일반 상대성에서의 일반화.^[11] 이다

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{\partial p^{\alpha }}},}$

여기서 γ은^α_βγ 제2종류의 크리스토펠 기호(이것은 외부 힘이 없다고 가정하여 충돌이 없을 때 입자가 지오디컬을 따라 이동한다고 가정함)이며, 밀도는 완전 반대편(xⁱ, pⁱ) 위상 공간과 반대로 혼합 반대편(xⁱ, p_i) 위상 공간에서의 함수라는 중요한 미묘함이다.^[12][13]

물리적 우주론에서 완전한 공변량 접근법은 우주 마이크로파 배경 방사선을 연구하기 위해 사용되어 왔다.^[14] 보다 일반적으로 초기 우주의 공정에 대한 연구는 종종 양자역학과 일반상대성이론의 영향을 고려하려고 시도한다.^[9] 빅뱅 이후 원시 혈장이 형성한 매우 조밀한 매개체에서는 입자가 지속적으로 생성되고 소멸된다. 그러한 환경에서는 파동함수의 공간적 확장과 양자 일치성이 역학관계에 영향을 미칠 수 있어 볼츠만 방정식에 나타나는 고전적 위상공간 분포 f가 시스템을 설명하는 데 적합한지 의문이다. 그러나 많은 경우에 양자장 이론의 첫 번째 원리로부터 일반화된 분포 함수에 대한 효과적인 볼츠만 방정식을 도출하는 것이 가능하다.^[10] 여기에는 빅뱅 핵합성체에서 빛 원소의 형성, 암흑물질의 생성과 쌍생성 등이 포함된다.

방정식 풀기

볼츠만 방정식에 대한 정확한 해법은 경우에 따라 존재한다는 것이 입증되었다.^[15] 이러한 분석적 접근방식은 통찰력을 제공하지만 실제적인 문제에서는 일반적으로 사용할 수 없다.

대신, 볼츠만 방정식의 다양한 형태에 대한 근사적인 해결책을 찾기 위해 일반적으로 수치적 방법(유한 원소 및 격자형 볼트만 방법 포함)을 사용한다. 예로는 희귀 가스 흐름의^[16][17] 극초음속 공기역학부터 플라즈마 흐름까지 있다.^[18] 전기역학에서 볼츠만 방정식의 적용은 전기 전도성의 계산이다. 그 결과는 반전율 결과와 동일한 선행 순서가 된다.^[19]

국부 평형에 가까운 볼츠만 방정식의 용액은 크누드센 수(Chapman-Enskog 확장^[20])의 힘의 점증적 확장으로 나타낼 수 있다. 이 팽창의 처음 두 항은 오일러 방정식과 Navier-Stokes 방정식을 제공한다. 상위 용어에는 특이점이 있다. 원자론적 관점(볼츠만의 방정식으로 표현)에서 연속체의 운동 법칙으로 이어지는 제한 과정을 수학적으로 발전시키는 문제는 힐베르트의 여섯 번째 문제에서 중요한 부분이다.^[21]

참고 항목

메모들

참조

• 현대적 프레임워크에 대한 매우 저렴한 도입부(Liouville과 Bogolyubov-Born-Green-Kirkwood-의 공식 추론에서 출발함Harris, Stewart (1971). An introduction to the theory of the Boltzmann equation. Dover Books. p. 221. ISBN 978-0-486-43831-3.)볼츠만 방정식이 배치된 Yvon 계층 구조(BBGKY). 황교수와 같은 대부분의 통계학 교과서는 여전히 볼츠만의 원래 주장을 이용하여 이 주제를 다루고 있다. 방정식을 도출하기 위해, 이 책들은 유효성의 범위와 볼츠만의 것을 포커-플랑크 또는 랜도 방정식과 같은 다른 운송 방정식과 구별하는 특징적인 가정들을 끄집어내지 않는 경험적 발견적 설명을 사용한다.

• Arkeryd, Leif (1972). "On the Boltzmann equation part I: Existence". Arch. Rational Mech. Anal. 45 (1): 1–16. Bibcode:1972ArRMA..45....1A. doi:10.1007/BF00253392. S2CID 117877311.
• Arkeryd, Leif (1972). "On the Boltzmann equation part II: The full initial value problem". Arch. Rational Mech. Anal. 45 (1): 17–34. Bibcode:1972ArRMA..45...17A. doi:10.1007/BF00253393. S2CID 119481100.
• Arkeryd, Leif (1972). "On the Boltzmann equation part I: Existence". Arch. Rational Mech. Anal. 45 (1): 1–16. Bibcode:1972ArRMA..45....1A. doi:10.1007/BF00253392. S2CID 117877311.
• DiPerna, R. J.; Lions, P.-L. (1989). "On the Cauchy problem for Boltzmann equations: global existence and weak stability". Ann. of Math. 2. 130 (2): 321–366. doi:10.2307/1971423. JSTOR 1971423.

외부 링크

• 프란츠 베슬리의 볼츠만 교통 방정식
• 볼츠만 기체 거동 해결